הראו כי, הוכיחו כי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבחינה כמעט כל שאלה על exe^x מבקשת מכם לבדוק משהו שכבר כתוב בשאלה: «הראו כי f′(x)=…f'(x) = \dots», או «הוכיחו כי f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה». התשובה כבר נתונה. מה שבודקים הוא הדרך: איך מגיעים מ-ff אל הביטוי הנתון, שלב אחרי שלב, בלי לדלג ובלי לרמות.

להראות שהנגזרת שווה לביטוי נתון

הכלל הראשון: מתחילים מ-ff, ולא מהתשובה. גוזרים את ff (כלל המכפלה, כלל המנה, כלל השרשרת), ואחר כך מסדרים: מוציאים גורם משותף, מביאים למכנה משותף, מפרקים לגורמים. ממשיכים עד שמקבלים בדיוק את הביטוי שבשאלה. השורה האחרונה בפתרון היא הביטוי הנתון.

אחרי השלב «גורם משותף» קיבלנו e−x(2x−x2+3)e^{-x}(2x - x^2 + 3). זה שווה לביטוי שבשאלה. האם אפשר לעצור כאן?

להציג את התשובה והפתרון

לא כדאי. הביטוי נכון, אבל השאלה ביקשה צורה מסוימת. צריך להראות שהשניים שווים: לפרק את 2x−x2+32x - x^2 + 3 לגורמים, או לפתוח את הסוגריים של −(x−3)(x+1)-(x-3)(x+1) ולקבל אותו טרינום. בלי השורה הזאת, הבודק לא רואה שהגעתם לביטוי הנתון.

לא הצלחתם להגיע לביטוי? אל תעצרו את השאלה. הביטוי הנתון נכון, ומותר להשתמש בו בסעיפים הבאים: לחפש איפה f′(x)=0f'(x) = 0, לבנות טבלת עלייה וירידה. מאבדים רק את הנקודות של הסעיף הזה, ולא את כל השאלה.

שתי כתיבות של אותה פונקציה

לפעמים מבקשים להראות ששני ביטויים שווים: שתי כתיבות שונות של אותה פונקציה. גם כאן מתחילים מאגף אחד בלבד, ומשנים אותו עד שמקבלים את האגף השני. שני כלים חוזרים כל הזמן: מכנה משותף, וכפל המונה והמכנה באותו ביטוי, למשל ב-exe^{x} או ב-e−xe^{-x}.

הראו כי 1ex+1+1e−x+1=1\frac{1}{e^x + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1} = 1 לכל xx

מתחילים מאגף שמאל. השבר השני מכיל e−xe^{-x}, ולכן כופלים את המונה והמכנה שלו ב-exe^x.

1e−x+1=1⋅ex(e−x+1)⋅ex=ex1+ex\begin{aligned}\frac{1}{e^{-x} + 1} &= \frac{1 \cdot e^x}{(e^{-x} + 1) \cdot e^x} \\ &= \frac{e^x}{1 + e^x}\end{aligned}

e−x⋅ex=e0=1e^{-x} \cdot e^x = e^0 = 1. הערך של השבר לא השתנה, כי כפלנו את המונה ואת המכנה באותו מספר, שאינו 00.

1ex+1+exex+1=1+exex+1\frac{1}{e^x + 1} + \frac{e^x}{e^x + 1} = \frac{1 + e^x}{e^x + 1}

עכשיו לשני השברים יש אותו מכנה, ומחברים את המונים.

=1✓= 1 \quad \checkmark

המונה שווה למכנה, ו-ex+1>0e^x + 1 > 0, ולכן השבר שווה ל-11. הגענו לאגף ימין.

הראו כי exex+1=11+e−x\frac{e^x}{e^x + 1} = \frac{1}{1 + e^{-x}}. באיזה ביטוי כדאי לכפול?

להציג את התשובה והפתרון

ב-e−xe^{-x}, את המונה ואת המכנה של אגף שמאל: ex⋅e−x(ex+1)e−x=11+e−x\frac{e^x \cdot e^{-x}}{(e^x + 1)e^{-x}} = \frac{1}{1 + e^{-x}}. מתחילים מאגף אחד, ומגיעים לאגף השני.

להוכיח סימן בכל תחום ההגדרה

«הוכיחו כי f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה» היא טענה על כל xx, ולכן אי אפשר להוכיח אותה בהצבה של מספרים. הדרך: כותבים את f′f' כמכפלה או מנה של גורמים, שהסימן של כל אחד מהם ידוע. ואז קובעים את הסימן של כולו.

eu>0e^{u} > 0

חזקה של ee חיובית תמיד, יהיה המעריך אשר יהיה.

(… )2≥0(\dots)^2 \ge 0

ריבוע אינו שלילי. הוא יכול להיות 00.

(ex−a)2>0(e^x - a)^2 > 0

ריבוע במכנה חיובי ממש: איפה שהוא מתאפס, הפונקציה לא מוגדרת.

−3<0-3 < 0

מספר קבוע: הסימן שלו ידוע.

נתונה f(x)=(x2+1)e−xf(x) = (x^2 + 1)e^{-x}, ומתקבל f′(x)=−(x−1)2e−xf'(x) = -(x - 1)^2 e^{-x}. האם נכון לכתוב f′(x)<0f'(x) < 0 לכל xx?

להציג את התשובה והפתרון

לא. (x−1)2≥0(x - 1)^2 \ge 0, והוא מתאפס ב-x=1x = 1. לכן f′(1)=0f'(1) = 0, והטענה הנכונה היא f′(x)≤0f'(x) \le 0. ובכל זאת ff יורדת בכל הישר: הנגזרת מתאפסת בנקודה אחת בלבד, ולא מחליפה שם סימן.

שתי «הוכחות» שאינן הוכחות.

4ex(ex+3)2=4ex(ex+3)2⇒f′(x)=4ex(ex+3)2\begin{aligned}\frac{4e^x}{(e^x+3)^2} &= \frac{4e^x}{(e^x+3)^2} \Rightarrow f'(x) \\ &= \frac{4e^x}{(e^x+3)^2}\end{aligned}
f′(x)=ex(ex+3)−(ex−1)ex(ex+3)2=4ex(ex+3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x+3) - (e^x-1)e^x}{(e^x+3)^2} \\ &= \frac{4e^x}{(e^x+3)^2}\end{aligned}

עבור f(x)=ex−1ex+3f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 3}. הטעות המעגלית: מתחילים מהביטוי שצריך להוכיח, מציבים אותו, ו«מגיעים» ל-0=00 = 0 או לשוויון של ביטוי לעצמו. זה לא מוכיח דבר. ההוכחה הנכונה מתחילה מ-ff וגוזרת אותה.

f′(0)=14 1e0+3=14⇒f′(x)=1ex+3\begin{aligned}f'(0) &= \frac{1}{4} \\ \ \frac{1}{e^0 + 3} &= \frac{1}{4} \Rightarrow f'(x) \\ &= \frac{1}{e^x + 3}\end{aligned}
x=ln⁡3: 4⋅3(3+3)2=13≠16=13+3\begin{aligned}x &= \ln 3 :\ \frac{4 \cdot 3}{(3+3)^2} \\ &= \frac{1}{3} \ne \frac{1}{6} \\ &= \frac{1}{3+3}\end{aligned}

בדיקה בנקודה אחת: שני ביטויים שונים יכולים להיות שווים ב-x=0x = 0. ב-x=ln⁡3x = \ln 3 רואים שהם שונים. בדיקה בנקודה יכולה רק לפסול ביטוי, לעולם לא להוכיח שהוא נכון.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=ex+2ex−1f(x) = \frac{e^x + 2}{e^x - 1}. צריך להראות כי f′(x)=−3ex(ex−1)2f'(x) = \frac{-3e^x}{(e^x - 1)^2}. מהו השלב הראשון הנכון?

  1. f′(x)=ex(ex+2)−(ex−1)ex(ex−1)2f'(x) = \frac{e^x(e^x + 2) - (e^x - 1)e^x}{(e^x - 1)^2}
  2. f′(x)=ex(ex−1)−(ex+2)exex−1f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 2)e^x}{e^x - 1}
  3. f′(x)=ex(ex−1)−(ex+2)ex(ex−1)2f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 2)e^x}{(e^x - 1)^2}
  4. f′(x)=exex=1f'(x) = \frac{e^x}{e^x} = 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג f′(x)=ex(ex−1)−(ex+2)ex(ex−1)2f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 2)e^x}{(e^x - 1)^2}

הפתרון:

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

כלל המנה: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה.

u=ex+2 u′=exv=ex−1 v′=ex\begin{aligned}u &= e^x + 2 \\ \ u' &= e^x \qquad v \\ &= e^x - 1 \\ \ v' &= e^x\end{aligned}

מזהים את המונה ואת המכנה ואת הנגזרות שלהם.

f′(x)=ex(ex−1)−(ex+2)ex(ex−1)2=−3ex(ex−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 2)e^x}{(e^x - 1)^2} \\ &= \frac{-3e^x}{(e^x - 1)^2}\end{aligned}

פותחים סוגריים: e2xe^{2x} מתבטל, ונשאר −ex−2ex=−3ex-e^x - 2e^x = -3e^x.

הטעות הנפוצה היא להחליף את הסדר במונה, u′vu'v ו-uv′uv': אז יוצא אותו ביטוי עם סימן הפוך. גם המכנה בריבוע הוא חלק מהכלל. ומנה אינה נגזרת המונה חלקי נגזרת המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=(x2+x)e−xf(x) = (x^2 + x)e^{-x}. איזה מהביטויים שווה ל-f′(x)f'(x)?

  1. −e−x(x2−x−1)-e^{-x}(x^2 - x - 1)
  2. (2x+1)e−x(2x + 1)e^{-x}
  3. e−x(x2+3x+1)e^{-x}(x^2 + 3x + 1)
  4. −e−x(x2+x−1)-e^{-x}(x^2 + x - 1)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −e−x(x2−x−1)-e^{-x}(x^2 - x - 1)

הפתרון:

f′(x)=(2x+1)e−x+(x2+x)(−e−x)f'(x) = (2x + 1)e^{-x} + (x^2 + x)(-e^{-x})

כלל המכפלה. הנגזרת של e−xe^{-x} היא −e−x-e^{-x}.

=e−x(2x+1−x2−x)=e−x(−x2+x+1)= e^{-x}(2x + 1 - x^2 - x) = e^{-x}(-x^2 + x + 1)

מוציאים e−xe^{-x} כגורם משותף.

=−e−x(x2−x−1)= -e^{-x}(x^2 - x - 1)

מוציאים −1-1 מהסוגריים: כל הסימנים בפנים מתהפכים.

הביטוי e−x(x2+3x+1)e^{-x}(x^2 + 3x + 1) שוכח את המינוס של (e−x)′(e^{-x})'. הביטוי (2x+1)e−x(2x + 1)e^{-x} גוזר רק גורם אחד. ובביטוי −e−x(x2+x−1)-e^{-x}(x^2 + x - 1) הוציאו −1-1 אבל הפכו רק חלק מהסימנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=ex+3ex−1f(x) = \frac{e^x + 3}{e^x - 1}. סדרו את שורות ההוכחה של הטענה: f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה.

  • −4<0-4 < 0, ex>0e^x > 0, וגם (ex−1)2>0(e^x - 1)^2 > 0 לכל x≠0x \ne 0
  • f′(x)=−4ex(ex−1)2f'(x) = \frac{-4e^x}{(e^x - 1)^2}
  • f′(x)=ex(ex−1)−(ex+3)ex(ex−1)2f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 3)e^x}{(e^x - 1)^2}
  • x≠0x \ne 0 כי ex−1=0e^x - 1 = 0 רק כאשר x=0x = 0
  • לכן f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x≠0x \ne 0 כי ex−1=0e^x - 1 = 0 רק כאשר x=0x = 0 · f′(x)=ex(ex−1)−(ex+3)ex(ex−1)2f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 3)e^x}{(e^x - 1)^2} · f′(x)=−4ex(ex−1)2f'(x) = \frac{-4e^x}{(e^x - 1)^2} · −4<0-4 < 0, ex>0e^x > 0, וגם (ex−1)2>0(e^x - 1)^2 > 0 לכל x≠0x \ne 0 · לכן f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה

הפתרון:

x≠0x \ne 0

תחום ההגדרה קודם: בלעדיו אי אפשר לדעת שהמכנה חיובי ממש.

f′(x)=e2x−ex−e2x−3ex(ex−1)2=−4ex(ex−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^{2x} - e^x - e^{2x} - 3e^x}{(e^x - 1)^2} \\ &= \frac{-4e^x}{(e^x - 1)^2}\end{aligned}

כלל המנה, ואחריו פתיחת סוגריים.

(−)(+)(+)<0\frac{(-)(+)}{(+)} < 0

סימן כל גורם, ואז המסקנה.

המסקנה באה אחרונה. מי שכותב «f′(x)<0f'(x) < 0» בשורה הראשונה ואחר כך «מוכיח» אותה, מתחיל מהתשובה, וזו טעות מעגלית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

תלמיד הציב x=0x = 0 בנגזרת של ff שחישב, וגם בביטוי שבשאלה, וקיבל אותו מספר. הוא כתב: «לכן הראיתי כי f′(x)f'(x) שווה לביטוי שבשאלה». האם ההוכחה שלו נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f′(x)=4ex(ex+3)2g(x)=1ex+3\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4e^x}{(e^x+3)^2} \\ \quad g(x) &= \frac{1}{e^x+3}\end{aligned}

דוגמה: שני ביטויים שונים.

f′(0)=416=14=g(0)\begin{aligned}f'(0) &= \frac{4}{16} \\ &= \frac{1}{4} \\ &= g(0)\end{aligned}

ב-x=0x = 0 הם שווים.

f′(ln⁡3)=1236=13≠16=g(ln⁡3)\begin{aligned}f'(\ln 3) &= \frac{12}{36} \\ &= \frac{1}{3} \ne \frac{1}{6} \\ &= g(\ln 3)\end{aligned}

ב-x=ln⁡3x = \ln 3 הם שונים.

שוויון בנקודה אחת לא מוכיח שוויון לכל xx. הבדיקה בנקודה טובה רק כדי לגלות טעות. הוכחה מתחילה מ-ff, גוזרת, ומסדרת עד שמקבלים את הביטוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=(x2−3)e−xf(x) = (x^2 - 3)e^{-x}, וידוע כי f′(x)=−(x−3)(x+1)e−xf'(x) = -(x - 3)(x + 1)e^{-x}. חשבו את f′(0)f'(0) בשתי דרכים: מהביטוי הנתון, ומהנגזרת לפי כלל המכפלה. מה הערך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(0)=−(0−3)(0+1)e0=−(−3)(1)(1)=3\begin{aligned}f'(0) &= -(0 - 3)(0 + 1)e^{0} \\ &= -(-3)(1)(1) \\ &= 3\end{aligned}

מהביטוי הנתון.

f′(x)=2xe−x−(x2−3)e−xf'(x) = 2xe^{-x} - (x^2 - 3)e^{-x}

כלל המכפלה.

f′(0)=0−(0−3)⋅1=3\begin{aligned}f'(0) &= 0 - (0 - 3) \cdot 1 \\ &= 3\end{aligned}

מהנגזרת שחישבנו: אותו ערך.

שתי הדרכים נותנות 33, וזו בדיקה טובה לחישוב. אבל זכרו: ההתאמה בנקודה אחת לא מוכיחה שהביטויים שווים. היא רק לא מצאה טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ידוע כי f′(x)=−5ex(ex−1)2f'(x) = \frac{-5e^x}{(e^x - 1)^2}, ותחום ההגדרה של ff הוא x≠0x \ne 0. איזה נימוק מוכיח כי f′(x)<0f'(x) < 0 בכל התחום?

  1. הצבנו x=1x = 1 ו-x=−1x = -1, ובשתי הנקודות יצא מספר שלילי.
  2. −5<0-5 < 0, ex>0e^x > 0 לכל xx, ו-(ex−1)2>0(e^x - 1)^2 > 0 לכל x≠0x \ne 0. לכן המנה שלילית.
  3. המונה −5ex-5e^x שלילי, ולכן כל השבר שלילי.
  4. (ex−1)2≥0(e^x - 1)^2 \ge 0 ו-ex>0e^x > 0, ולכן f′(x)≤0f'(x) \le 0.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −5<0-5 < 0, ex>0e^x > 0 לכל xx, ו-(ex−1)2>0(e^x - 1)^2 > 0 לכל x≠0x \ne 0. לכן המנה שלילית.

הפתרון:

−5<0-5 < 0

גורם קבוע שלילי.

ex>0e^x > 0

חזקה של ee חיובית תמיד.

(ex−1)2>0(x≠0)(e^x - 1)^2 > 0 \quad (x \ne 0)

ריבוע שמתאפס רק ב-x=0x = 0, נקודה שאינה בתחום.

f′(x)=(−)(+)(+)<0f'(x) = \frac{(-)(+)}{(+)} < 0

המסקנה.

הצבה של שתי נקודות לא מכסה את כל התחום. נימוק על המונה בלבד שוכח שגם המכנה יכול היה להיות שלילי. והנימוק עם ≥0\ge 0 מוכיח רק f′(x)≤0f'(x) \le 0: הוא לא משתמש בכך ש-x=0x = 0 מחוץ לתחום, ולכן לא מגיע לאי-שוויון חזק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=(x2+1)e−xf(x) = (x^2 + 1)e^{-x}, ו-f′(x)=−(x−1)2e−xf'(x) = -(x - 1)^2 e^{-x}. נכון או לא נכון: f′(x)<0f'(x) < 0 לכל xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f′(x)=2xe−x−(x2+1)e−x=−e−x(x2−2x+1)=−(x−1)2e−x\begin{aligned}f'(x) &= 2xe^{-x} - (x^2 + 1)e^{-x} \\ &= -e^{-x}(x^2 - 2x + 1) \\ &= -(x - 1)^2 e^{-x}\end{aligned}

הנגזרת, כדי לוודא שהביטוי נכון.

f′(1)=−(0)2e−1=0\begin{aligned}f'(1) &= -(0)^2 e^{-1} \\ &= 0\end{aligned}

ב-x=1x = 1 הנגזרת מתאפסת.

f′(x)≤0f'(x) \le 0

הטענה הנכונה: קטן או שווה לאפס.

(x−1)2(x - 1)^2 הוא ריבוע, והוא יכול להיות 00. לכן אי-השוויון הוא ≤\le, ולא <<. בכל זאת ff יורדת בכל הישר, כי f′f' מתאפסת בנקודה אחת בלבד ולא מחליפה בה סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה g(x)=5ex+1+5e−x+1g(x) = \frac{5}{e^x + 1} + \frac{5}{e^{-x} + 1}. הראו שהביטוי הוא מספר קבוע, ומצאו את g(7)g(7) בלי מחשבון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

5e−x+1=5ex(e−x+1)ex=5ex1+ex\begin{aligned}\frac{5}{e^{-x} + 1} &= \frac{5e^x}{(e^{-x} + 1)e^x} \\ &= \frac{5e^x}{1 + e^x}\end{aligned}

כופלים את המונה ואת המכנה של השבר השני ב-exe^x.

g(x)=5+5exex+1=5(1+ex)ex+1=5\begin{aligned}g(x) &= \frac{5 + 5e^x}{e^x + 1} \\ &= \frac{5(1 + e^x)}{e^x + 1} \\ &= 5\end{aligned}

מכנה משותף, ואז מצמצמים.

g(7)=5g(7) = 5

הפונקציה קבועה, ולכן גם g(7)=5g(7) = 5.

מי שמציב x=7x = 7 ישירות צריך את e7e^7, ומקבל תשובה מקורבת. כשמפשטים קודם, מגלים ש-gg קבועה, והתשובה מדויקת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

רוצים להראות כי ex−e−xex+e−x=e2x−1e2x+1\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}. מהו המעבר הנכון?

  1. מצמצמים את exe^x במונה עם exe^x במכנה, ונשאר −e−xe−x\frac{-e^{-x}}{e^{-x}}
  2. כופלים רק את המונה של אגף שמאל ב-exe^x
  3. כופלים את המונה ואת המכנה של אגף שמאל ב-e−xe^{-x}
  4. כופלים את המונה ואת המכנה של אגף שמאל ב-exe^x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כופלים את המונה ואת המכנה של אגף שמאל ב-exe^x

הפתרון:

(ex−e−x)ex(ex+e−x)ex\frac{(e^x - e^{-x})e^x}{(e^x + e^{-x})e^x}

כופלים את המונה ואת המכנה באותו ביטוי: הערך לא משתנה.

=e2x−e0e2x+e0=e2x−1e2x+1✓= \frac{e^{2x} - e^{0}}{e^{2x} + e^{0}} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \quad \checkmark

ex⋅ex=e2xe^x \cdot e^x = e^{2x}, ו-e−x⋅ex=1e^{-x} \cdot e^x = 1.

כפל של המונה בלבד משנה את הערך של השבר. כפל ב-e−xe^{-x} נותן 1−e−2x1+e−2x\frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}, שזה נכון אבל לא האגף השני. ו«צמצום» של איברים בתוך סכום אסור: מצמצמים רק גורמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

צריך להראות כי f′(x)=4ex(ex+4)2f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x + 4)^2} עבור f(x)=exex+4f(x) = \frac{e^x}{e^x + 4}. איזו מהדרכים היא הוכחה?

  1. מציירים את הגרף של ff ורואים שהוא עולה.
  2. גוזרים את ff בכלל המנה, פותחים סוגריים, ומקבלים 4ex(ex+4)2\frac{4e^x}{(e^x + 4)^2}.
  3. כותבים f′(x)=4ex(ex+4)2f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x + 4)^2}, כופלים את שני האגפים ב-(ex+4)2(e^x + 4)^2, ומקבלים 4ex=4ex4e^x = 4e^x.
  4. מציבים x=0x = 0 בשני הביטויים, ומקבלים בשניהם 425\frac{4}{25}.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גוזרים את ff בכלל המנה, פותחים סוגריים, ומקבלים 4ex(ex+4)2\frac{4e^x}{(e^x + 4)^2}.

הפתרון:

f′(x)=ex(ex+4)−ex⋅ex(ex+4)2f'(x) = \frac{e^x(e^x + 4) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 4)^2}

כלל המנה. מתחילים מ-ff.

=e2x+4ex−e2x(ex+4)2=4ex(ex+4)2✓= \frac{e^{2x} + 4e^x - e^{2x}}{(e^x + 4)^2} = \frac{4e^x}{(e^x + 4)^2} \quad \checkmark

e2xe^{2x} מתבטל.

הדרך עם 4ex=4ex4e^x = 4e^x היא מעגלית: היא מתחילה מהשוויון שצריך להוכיח, ולכן היא מניחה אותו. הצבה בנקודה אחת לא מכסה את כל ה-xx. וגרף עולה מראה רק ש-f′≥0f' \ge 0, לא מהו f′f'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה f(x)=e2xex+1f(x) = \frac{e^{2x}}{e^x + 1}. נכון או לא נכון: f′(x)=e2x(ex+2)(ex+1)2f'(x) = \frac{e^{2x}(e^x + 2)}{(e^x + 1)^2}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=2e2x(ex+1)−e2x⋅ex(ex+1)2f'(x) = \frac{2e^{2x}(e^x + 1) - e^{2x} \cdot e^x}{(e^x + 1)^2}

כלל המנה. הנגזרת של e2xe^{2x} היא 2e2x2e^{2x}, לפי כלל השרשרת.

=e2x(2(ex+1)−ex)(ex+1)2= \frac{e^{2x}\left(2(e^x + 1) - e^x\right)}{(e^x + 1)^2}

מוציאים e2xe^{2x} כגורם משותף מהמונה.

=e2x(ex+2)(ex+1)2= \frac{e^{2x}(e^x + 2)}{(e^x + 1)^2}

2ex+2−ex=ex+22e^x + 2 - e^x = e^x + 2.

נכון. המלכודת היא לגזור את e2xe^{2x} ל-e2xe^{2x} ולשכוח את ה-22 של כלל השרשרת. אז המונה יוצא e2x⋅1e^{2x} \cdot 1, ולא מגיעים לביטוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה f(x)=ex+2ex−1f(x) = \frac{e^x + 2}{e^x - 1}, וידוע כי f′(x)=−3ex(ex−1)2f'(x) = \frac{-3e^x}{(e^x - 1)^2}. חשבו את f′(ln⁡2)f'(\ln 2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

eln⁡2=2e^{\ln 2} = 2

לפי ההגדרה של ln⁡\ln.

f′(ln⁡2)=−3⋅2(2−1)2=−61=−6\begin{aligned}f'(\ln 2) &= \frac{-3 \cdot 2}{(2 - 1)^2} \\ &= \frac{-6}{1} \\ &= -6\end{aligned}

מציבים ex=2e^x = 2 בביטוי הנתון.

גם מי שלא הצליח להראות את הביטוי בסעיף הקודם, משתמש בו כאן: הוא נתון. הטעות הנפוצה היא להציב ln⁡2\ln 2 במקום eln⁡2e^{\ln 2}, ולא 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה פונקציה gg המוגדרת לכל xx, ו-g′(x)=(ex−2)2e−xg'(x) = (e^x - 2)^2 e^{-x}. מה נכון?

  1. ל-gg יש נקודת קיצון ב-x=ln⁡2x = \ln 2, כי שם g′(x)=0g'(x) = 0.
  2. g′(x)≥0g'(x) \ge 0, והיא מתאפסת רק ב-x=ln⁡2x = \ln 2. לכן gg עולה בכל הישר.
  3. g′(x)>0g'(x) > 0 לכל xx, כי ריבוע תמיד חיובי.
  4. אי אפשר לדעת את הסימן של g′g' בלי טבלה.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב g′(x)≥0g'(x) \ge 0, והיא מתאפסת רק ב-x=ln⁡2x = \ln 2. לכן gg עולה בכל הישר.

הפתרון:

(ex−2)2≥0,e−x>0(e^x - 2)^2 \ge 0 ,\quad e^{-x} > 0

ריבוע אינו שלילי, ו-e−xe^{-x} חיובי.

g′(ln⁡2)=(2−2)2⋅12=0\begin{aligned}g'(\ln 2) &= (2 - 2)^2 \cdot \tfrac{1}{2} \\ &= 0\end{aligned}

הריבוע מתאפס רק כאשר ex=2e^x = 2.

g′(x)>0(x≠ln⁡2)g'(x) > 0 \quad (x \ne \ln 2)

משני צידי ln⁡2\ln 2 הנגזרת חיובית: אין החלפת סימן.

ריבוע יכול להיות 00, ולכן g′(x)>0g'(x) > 0 לכל xx שגוי. ונקודה שבה g′=0g' = 0 היא קיצון רק אם g′g' מחליפה בה סימן. כאן היא לא מחליפה סימן, ולכן אין קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

סדרו את שורות ההוכחה: 1ex+1+1e−x+1=1\frac{1}{e^x + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1} = 1 לכל xx.

  • המונה שווה למכנה, ולכן הסכום שווה ל-11
  • כופלים את המונה ואת המכנה של השבר השני ב-exe^x: ex1+ex\frac{e^x}{1 + e^x}
  • לשני השברים יש מכנה משותף: 1+exex+1\frac{1 + e^x}{e^x + 1}
  • מתחילים מאגף שמאל: 1ex+1+1e−x+1\frac{1}{e^x + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מתחילים מאגף שמאל: 1ex+1+1e−x+1\frac{1}{e^x + 1} + \frac{1}{e^{-x} + 1} · כופלים את המונה ואת המכנה של השבר השני ב-exe^x: ex1+ex\frac{e^x}{1 + e^x} · לשני השברים יש מכנה משותף: 1+exex+1\frac{1 + e^x}{e^x + 1} · המונה שווה למכנה, ולכן הסכום שווה ל-11

הפתרון:

1e−x+1=ex1+ex\frac{1}{e^{-x} + 1} = \frac{e^x}{1 + e^x}

e−x⋅ex=1e^{-x} \cdot e^x = 1.

1ex+1+exex+1=1+exex+1=1\begin{aligned}\frac{1}{e^x + 1} + \frac{e^x}{e^x + 1} &= \frac{1 + e^x}{e^x + 1} \\ &= 1\end{aligned}

מחברים מונים, ומצמצמים.

ההוכחה מתחילה באגף שמאל ומסתיימת ב-11. שורה שמתחילה ב«=1= 1» ועובדת לאחור מניחה את מה שצריך להוכיח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה f(x)=exex+4f(x) = \frac{e^x}{e^x + 4}, וידוע כי f′(x)=4ex(ex+4)2f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x + 4)^2}. חשבו את f′(1)f'(1). עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.241

הפתרון:

f′(1)=4e(e+4)2f'(1) = \frac{4e}{(e + 4)^2}

מציבים x=1x = 1, ו-e1=ee^1 = e.

≈10.87345.135≈0.241\approx \frac{10.873}{45.135} \approx 0.241

e≈2.718e \approx 2.718.

מציבים בביטוי הנתון, לא בביטוי שחישבתם בעצמכם: אם טעיתם בגזירה, הביטוי הנתון עדיין נכון. ושימו לב לסוגריים: (e+4)2(e + 4)^2, ולא e+42e + 4^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

בסעיף א התבקשתם להראות כי f′(x)=−3ex(ex−2)2f'(x) = \frac{-3e^x}{(e^x - 2)^2}, ולא הצלחתם. נכון או לא נכון: בסעיף ב, שבו מבקשים את תחומי העלייה והירידה, מותר להשתמש בביטוי הזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=−3ex(ex−2)2f'(x) = \frac{-3e^x}{(e^x - 2)^2}

הביטוי נתון בשאלה, ולכן הוא נכון.

(−)(+)(+)<0(x≠ln⁡2)\frac{(-)(+)}{(+)} < 0 \quad (x \ne \ln 2)

ממנו מקבלים את הסימן של f′f'.

x<ln⁡2,x>ln⁡2x < \ln 2 ,\quad x > \ln 2

ff יורדת בכל אחד משני התחומים.

נכון. ביטוי שכתוב בשאלה אחרי «הראו כי» הוא עובדה לשאר השאלה. מי שמוותר על סעיף ב כי לא הצליח בסעיף א מפסיד נקודות בלי סיבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתונה k(x)=ex−1ex+1k(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}. הראו כי k′(x)=2ex(ex+1)2k'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}, וחשבו את k′(0)k'(0).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

k′(x)=ex(ex+1)−(ex−1)ex(ex+1)2k'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - (e^x - 1)e^x}{(e^x + 1)^2}

כלל המנה.

=e2x+ex−e2x+ex(ex+1)2=2ex(ex+1)2= \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x} + e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}

פותחים סוגריים. שימו לב: −(ex−1)ex=−e2x+ex-(e^x - 1)e^x = -e^{2x} + e^x.

k′(0)=2(1+1)2=24=0.5\begin{aligned}k'(0) &= \frac{2}{(1 + 1)^2} \\ &= \frac{2}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

מציבים e0=1e^0 = 1.

הטעות הנפוצה היא בסימן: −(ex−1)ex-(e^x - 1)e^x נפתח ל-−e2x+ex-e^{2x} + e^x, ולא ל-−e2x−ex-e^{2x} - e^x. מי שטועה כאן מקבל מונה 00, ולא יכול להגיע לביטוי הנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת