הצורה בבסיס e · גדילה ודעיכה, ופונקציות בבסיס a · כיתה י״ב

כל $q^{\,t}$ אפשר לכתוב בבסיס $e$ : $q = e^{\ln q}$ , ולכן $q^{\,t} = e^{(\ln q) t}$ .

\begin{aligned}A(t) &= A_0\, e^{kt} \ \\ \ \ k &= \ln q\end{aligned}

$k > 0$ גדילה, $k < 0$ דעיכה

$1.15^{\,t}$ בבסיס $e$

k = \ln 1.15 \approx 0.1398

1.15^{\,t} = e^{0.1398\,t}

מהו $k$ בדעיכה של $20\%$ ביחידת זמן?

להציג את התשובה והפתרון

$k = \ln 0.8 \approx -0.223$ .

הקצב פרופורציונלי לכמות

\begin{aligned}A'(t) &= k\, A_0\, e^{kt} \\ &= k \cdot A(t)\end{aligned}

ככל שיש יותר, הכמות משתנה מהר יותר. זה הסימן של גדילה מעריכית.

מ- $k$ חזרה לאחוזים: $q = e^{k}$ , והאחוז הוא $(e^{k} - 1) \cdot 100$ .

תרגילים

תרגיל 1

מהו $k$ כש- $q = 2$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.693

הפתרון:

\ln 2

$\approx 0.693$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו $q$ כש- $k = 0.05$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.051

הפתרון:

e^{0.05}

$\approx 1.051$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$A(t) = 40\, e^{-0.3t}$ יורדת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

k = -0.3 < 0

נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$A(t) = 500\, e^{0.02t}$ . חשבו את $A(10)$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 610.701

הפתרון:

500\, e^{0.2}

$\approx 610.701$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$A(t) = 500\, e^{0.02t}$ . חשבו את $A'(0)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

A'(t) = 0.02 \cdot 500\, e^{0.02t}

$10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מה אומר השוויון $A'(t) = k \cdot A(t)$ ?

הכמות קבועה
קצב השינוי פרופורציונלי לכמות
הקצב שווה ל- $k$ תמיד
הקצב קבוע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב קצב השינוי פרופורציונלי לכמות

הפתרון:

A' = kA

ככל שיש יותר, הקצב גדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$k = 0.1$ . בכמה אחוזים הכמות גדלה ביחידת זמן? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.517

הפתרון:

(e^{0.1} - 1) \cdot 100

$\approx 10.517\%$ : קצת יותר מ- $10\%$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$A(0) = 50$ ו- $A(1) = 60$ , ו- $A(t) = A_0 e^{kt}$ . מהו $k$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.182

הפתרון:

e^{k} = 1.2

$\ln 1.2 \approx 0.182$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל $k$ את ההתנהגות של $A_0 e^{kt}$ .

$k = 0.3$
$k = -0.3$
$k = 0$

גדילה
דעיכה
קבועה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k = 0.3$ — גדילה · $k = -0.3$ — דעיכה · $k = 0$ — קבועה

הפתרון:

e^{0} = 1

הסימן של $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$A(t) = A_0 e^{kt}$ , ו- $k = \ln 3$ . פי כמה גדלה הכמות בשתי יחידות זמן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

e^{2k} = 3^2

פי $9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הקצב פרופורציונלי לכמות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev