איך ניגשים לשאלה בבגרות · גדילה ודעיכה, ופונקציות בבסיס a · כיתה י״ב

שאלת גדילה ודעיכה בבגרות נותנת שתי מדידות, ושואלת על המודל, על זמן, ועל קצב.

פעילות אינטראקטיבית

תרופה בדם: $60$ מ״ג אחרי שעתיים, ו- $30$ מ״ג אחרי $5$ שעות

A(t) = A_0\, e^{-kt}

לחצו «להתחיל».

זמן מחצית החיים

60 \to 30 \ \text{ב-}\ 3 \ \text{שעות} \Rightarrow T = 3

k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231

\begin{aligned}A_0 &= 60\, e^{2k} \\ &= 60 \cdot 2^{2/3} \approx 95.24\end{aligned}

חוזרים שעתיים אחורה.

מתי 10 מ״ג

\begin{aligned}e^{-kt} &= \frac{10}{A_0} \Rightarrow t \\ &= \frac{\ln(A_0 / 10)}{k} \approx 9.75\end{aligned}

שעות.

הקצב

\begin{aligned}A'(t) &= -k\, A(t) \Rightarrow A'(2) \\ &= -0.231 \cdot 60 \approx -13.86\end{aligned}

מ״ג לשעה.

זמן מחצית חיים, $k$ , $A_0$ , זמן, קצב.

לעשות את הפעילות ב-elev

כשהמדידות במרחק של זמן מחצית חיים בדיוק, $k$ יוצא בלי לפתור משוואה.

תרגילים

תרגיל 1

תרופה: $60$ מ״ג אחרי שעתיים, ו- $30$ מ״ג אחרי $5$ שעות. מהו זמן מחצית החיים, בשעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

5 - 2

$3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה תרופה, מהו $k$ במודל $A_0 e^{-kt}$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.231

הפתרון:

\frac{\ln 2}{3}

$\approx 0.231$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותה תרופה, כמה מ״ג ניתנו בהתחלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 95.244

הפתרון:

60 \cdot 2^{2/3}

$\approx 95.244$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותה תרופה, אחרי כמה שעות נשארים $10$ מ״ג? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.755

הפתרון:

t = \frac{\ln(A_0 / 10)}{k}

$\approx 9.755$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותה תרופה, אחרי $8$ שעות נשארים בדיוק $15$ מ״ג.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

30 \cdot \tfrac{1}{2}

עוד זמן מחצית חיים אחרי $5$

נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותה תרופה, חשבו את $A'(2)$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -13.863

הפתרון:

-k \cdot 60

$\approx -13.863$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סדרו את שלבי שאלת דעיכה טיפוסית.

מוצאים $A_0$
מוצאים $k$ (או $T$ )
קצב בעזרת הנגזרת
שאלת «מתי?» עם $\ln$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מוצאים $k$ (או $T$ ) · מוצאים $A_0$ · שאלת «מתי?» עם $\ln$ · קצב בעזרת הנגזרת

הפתרון:

\to

מודל, ואז שאלות עליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באותה תרופה, מהו קצב השינוי הממוצע בין השעה השנייה לחמישית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -10

הפתרון:

\frac{30 - 60}{5 - 2}

$-10$ מ״ג לשעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

איזה מודל מתאר את התרופה?

$A(t) = 95.24 \cdot 2^{-3t}$
$A(t) \approx 95.24 \cdot 2^{-t/3}$
$A(t) = 60 \cdot 2^{-t/3}$
$A(t) = 60 - 10t$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $A(t) \approx 95.24 \cdot 2^{-t/3}$

הפתרון:

A(2) = 60

בודקים

$95.24 \cdot 2^{-t/3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

באותה תרופה, כמה אחוזים מהכמות יוצאים בכל שעה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20.63

הפתרון:

1 - 2^{-1/3}

$\approx 20.630\%$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev