שאלה 5 בפורמט הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלה 5 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x2−2x+2f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

  1. כל xx
  2. x≠0 , x≠2x \ne 0 \ , \ x \ne 2
  3. x>1x > 1
  4. x≠1x \ne 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כל xx

הפתרון:

x2−2x+2=(x−1)2+1≥1x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 \ge 1

המכנה לא מתאפס אף פעם

תחום ההגדרה הוא כל xx. התשובה x≠1x \ne 1 פוסלת את המקום שבו המונה מתאפס, ושם ff דווקא מוגדרת ושווה ל-00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x2−2x+2f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}. ב. מצאו את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xx. מהו שיעור ה-xx שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

2x−2=0⇒x=1\begin{aligned}2x - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

הגרף חותך את ציר ה-xx ב-(1,0)(1, 0). משמאל ל-x=1x = 1 הפונקציה שלילית, ומימין לו חיובית, כי המכנה תמיד חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x2−2x+2f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}. ג. מצאו את האסימפטוטות של גרף הפונקציה המאונכות לצירים.

  1. x=1x = 1 ו-y=0y = 0
  2. y=0y = 0 בלבד, משני הצדדים
  3. אין אסימפטוטות
  4. y=2y = 2 בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=0y = 0 בלבד, משני הצדדים

הפתרון:

x→±∞: 2x−2x2−2x+2→0x \to \pm\infty : \ \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2} \to 0

החזקה במכנה גבוהה מהחזקה במונה

(x−1)2+1≠0(x-1)^2 + 1 \ne 0

אין אסימפטוטה אנכית

רק y=0y = 0, גם כאשר x→+∞x \to +\infty וגם כאשר x→−∞x \to -\infty. אין אסימפטוטה אנכית, כי המכנה לא מתאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x2−2x+2f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}. ד. הנגזרת היא f′(x)=−2x(x−2)(x2−2x+2)2f'(x) = \frac{-2x(x - 2)}{\left(x^2 - 2x + 2\right)^2}. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה. מהו שיעור ה-xx של נקודת המקסימום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=0⇒x=0  x=2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}
x<0:f′<0 ; 0<x<2:f′>0 ; x>2:f′<0x < 0 : f' < 0 \ ; \ 0 < x < 2 : f' > 0 \ ; \ x > 2 : f' < 0

−2x(x−2)-2x(x-2) חיובי רק בין השורשים

המקסימום כאשר x=2x = 2, והמינימום כאשר x=0x = 0. המינוס לפני ה-2x2x הופך את הסימן הרגיל של פרבולה: היא חיובית בין השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x2−2x+2f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}. ד. לפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר x=2x = 2. מהו שיעור ה-yy שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f(2)=4−24−4+2=22=1\begin{aligned}f(2) &= \frac{4 - 2}{4 - 4 + 2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

נקודת המקסימום היא (2,1)(2, 1). מציבים בפונקציה, לא בנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x2−2x+2f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}. ד. לפונקציה יש נקודת מינימום כאשר x=0x = 0. מהו שיעור ה-yy שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f(0)=−22=−1\begin{aligned}f(0) &= \frac{-2}{2} \\ &= -1\end{aligned}

נקודת המינימום היא (0,−1)(0, -1). היא בדיוק מול המקסימום (2,1)(2, 1) ביחס לנקודה (1,0)(1, 0): הגרף סימטרי ביחס לנקודה הזאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x2−2x+2f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}. ה. איזו מבין הפונקציות היא פונקציה קדומה של ff?

  1. 1x2−2x+2\frac{1}{x^2 - 2x + 2}
  2. ln⁡(2x−2)\ln(2x - 2)
  3. 2ln⁡(x2−2x+2)2\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)
  4. ln⁡(x2−2x+2)\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ln⁡(x2−2x+2)\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)

הפתרון:

(x2−2x+2)′=2x−2\left(x^2 - 2x + 2\right)' = 2x - 2

המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה

∫g′(x)g(x) dx=ln⁡∣g(x)∣+C\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)| + C
g(x)>0⇒ln⁡∣g(x)∣=ln⁡g(x)g(x) > 0 \Rightarrow \ln|g(x)| = \ln g(x)

אין צורך בערך מוחלט

הפונקציה ln⁡(x2−2x+2)\ln\left(x^2 - 2x + 2\right). בודקים בגזירה: הנגזרת שלה היא 2x−2x2−2x+2\frac{2x-2}{x^2-2x+2}. עם המקדם 22 הנגזרת הייתה גדולה פי 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x2−2x+2f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}. ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xx והישר x=3x = 3. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.609

הפתרון:

x≥1:f(x)≥0x \ge 1 : f(x) \ge 0

השטח מתחיל בנקודת החיתוך x=1x = 1

∫13f(x) dx=[ln⁡(x2−2x+2)]13\int_1^3 f(x)\,dx = \Big[\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)\Big]_1^3
ln⁡5−ln⁡1=ln⁡5≈1.609\ln 5 - \ln 1 = \ln 5 \approx 1.609

השטח הוא ln⁡5≈1.609\ln 5 \approx 1.609. הגבול השמאלי הוא x=1x = 1, נקודת החיתוך עם הציר, כי השטח «מוגבל על ידי ציר ה-xx».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x2−2x+2f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}. ז. חשבו את סכום השטחים המוגבלים על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xx והישרים x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.219

הפתרון:

∫−11f(x) dx=ln⁡1−ln⁡5=−ln⁡5\begin{aligned}\int_{-1}^{1} f(x)\,dx &= \ln 1 - \ln 5 \\ &= -\ln 5\end{aligned}

בקטע הזה הגרף מתחת לציר: האינטגרל שלילי

S=ln⁡5+ln⁡5=2ln⁡5≈3.219\begin{aligned}S &= \ln 5 + \ln 5 \\ &= 2\ln 5 \approx 3.219\end{aligned}

שטח הוא תמיד חיובי: לוקחים ערך מוחלט לכל חלק

סכום השטחים הוא 2ln⁡5≈3.2192\ln 5 \approx 3.219. מי שמחשב אינטגרל אחד מ-−1-1 עד 33 מקבל 00 (סעיף ח): החלקים מעל הציר ומתחתיו מבטלים זה את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה f(x)=2x−2x2−2x+2f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}. ח. טענה: ∫−13f(x) dx=0\int_{-1}^{3} f(x)\,dx = 0. האם הטענה נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

[ln⁡(x2−2x+2)]−13=ln⁡5−ln⁡5=0\begin{aligned}\Big[\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)\Big]_{-1}^{3} &= \ln 5 - \ln 5 \\ &= 0\end{aligned}

(−1)2+2+2=5(-1)^2 + 2 + 2 = 5 וגם 9−6+2=59 - 6 + 2 = 5

הטענה נכונה, ובכל זאת השטח אינו 00. אינטגרל סופר שטח מתחת לציר בסימן מינוס, ולכן שני השטחים השווים מתבטלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת