שאלה 6 בפורמט הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלה 6 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

  1. x<−1x < -1 או x>1x > 1
  2. x≠1x \ne 1
  3. −1<x<1-1 < x < 1
  4. x>1x > 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x<−1x < -1 או x>1x > 1

הפתרון:

x+1x−1>0\frac{x+1}{x-1} > 0

בתוך ln⁡\ln צריך ביטוי חיובי

x<−1:(−)(−)>0 ; −1<x<1:(+)(−)<0 ; x>1:(+)(+)>0x < -1 : \frac{(-)}{(-)} > 0 \ ; \ -1 < x < 1 : \frac{(+)}{(-)} < 0 \ ; \ x > 1 : \frac{(+)}{(+)} > 0

טבלת סימנים של המונה והמכנה

תחום ההגדרה הוא x<−1x < -1 או x>1x > 1. מי שדורש x+1>0x + 1 > 0 וגם x−1>0x - 1 > 0 מאבד את החלק x<−1x < -1: שבר חיובי גם כששני האגפים שליליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ב. טענה: לכל xx בתחום ההגדרה, f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x). האם הטענה נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(−x)=ln⁡(−x+1−x−1)=ln⁡(x−1x+1)\begin{aligned}f(-x) &= \ln\left(\frac{-x+1}{-x-1}\right) \\ &= \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\end{aligned}

מוציאים מינוס מהמונה ומהמכנה

ln⁡(x−1x+1)=ln⁡((x+1x−1)−1)=−f(x)\begin{aligned}\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) &= \ln\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{-1}\right) \\ &= -f(x)\end{aligned}

ln⁡1u=−ln⁡u\ln\frac{1}{u} = -\ln u

הטענה נכונה: הפונקציה אי-זוגית, והגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים. שימו לב שגם תחום ההגדרה סימטרי, אחרת הטענה לא הייתה יכולה להתקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ג. מצאו את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה.

  1. x=1x = 1 בלבד
  2. אין אסימפטוטות אנכיות
  3. x=1x = 1 ו-x=−1x = -1
  4. x=−1x = -1 בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x=1x = 1 ו-x=−1x = -1

הפתרון:

x→1+: x+1x−1→+∞⇒f→+∞x \to 1^+ : \ \frac{x+1}{x-1} \to +\infty \Rightarrow f \to +\infty

המכנה שואף ל-00

x→−1−: x+1x−1→0+⇒f→−∞x \to -1^- : \ \frac{x+1}{x-1} \to 0^+ \Rightarrow f \to -\infty

המונה שואף ל-00, ו-ln⁡\ln של מספר חיובי קטן שואף ל-−∞-\infty

שתי אסימפטוטות אנכיות, x=1x = 1 ו-x=−1x = -1. הקיר ב-x=−1x = -1 נוצר דווקא מהמונה: כש-ln⁡\ln מקבל מספר שקרוב ל-00, הוא יורד בלי גבול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ד. לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אופקית y=cy = c, גם כאשר x→+∞x \to +\infty וגם כאשר x→−∞x \to -\infty. מצאו את cc.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

x→±∞: x+1x−1→1x \to \pm\infty : \ \frac{x+1}{x-1} \to 1

מחלקים מונה ומכנה ב-xx

f(x)→ln⁡1=0f(x) \to \ln 1 = 0

c=0c = 0. הטעות הנפוצה היא c=1c = 1: 11 הוא הגבול של הביטוי שבתוך ln⁡\ln, והגבול של ff הוא ln⁡1\ln 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ה. מהי הנגזרת של ff?

  1. f′(x)=−2x2−1f'(x) = \frac{-2}{x^2 - 1}
  2. f′(x)=2x2−1f'(x) = \frac{2}{x^2 - 1}
  3. f′(x)=1x+1+1x−1f'(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}
  4. f′(x)=x−1x+1f'(x) = \frac{x-1}{x+1}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א f′(x)=−2x2−1f'(x) = \frac{-2}{x^2 - 1}

הפתרון:

f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x+1) - \ln(x-1)

בתחום x>1x > 1 מותר לפרק (בתחום x<−1x < -1 מקבלים אותה נגזרת בעזרת ln⁡∣u∣\ln|u|)

f′(x)=1x+1−1x−1=(x−1)−(x+1)x2−1=−2x2−1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} \\ &= \frac{(x-1) - (x+1)}{x^2 - 1} \\ &= \frac{-2}{x^2 - 1}\end{aligned}

f′(x)=−2x2−1f'(x) = \frac{-2}{x^2 - 1}. התשובה x−1x+1\frac{x-1}{x+1} היא ההפכי של מה שבתוך ln⁡\ln: היא שוכחת לכפול בנגזרת של הביטוי הפנימי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ו. טענה: ff יורדת בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה. האם הטענה נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x∈D⇒∣x∣>1⇒x2−1>0x \in D \Rightarrow |x| > 1 \Rightarrow x^2 - 1 > 0

בשני חלקי התחום

f′(x)=−2x2−1<0f'(x) = \frac{-2}{x^2 - 1} < 0

מונה שלילי, מכנה חיובי

הטענה נכונה. אבל אי אפשר לומר ש-ff יורדת «בכל התחום» כמקשה אחת: f(−2)<0<f(2)f(-2) < 0 < f(2), למרות ש-−2<2-2 < 2. ירידה נבדקת בכל קטע של התחום בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ז. כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה עם הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

f(x)=0⇒x+1x−1=1⇒x+1=x−1\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} \\ &= 1 \Rightarrow x + 1 \\ &= x - 1\end{aligned}

אין פתרון: 1=−11 = -1

x=0∉Dx = 0 \notin D

אין חיתוך עם ציר ה-yy

אין נקודות חיתוך. הגרף לא חותך את ציר ה-xx, ו-x=0x = 0 לא בתחום ההגדרה, ולכן גם לא את ציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ח. טענה: כאשר x>1x > 1, f(x)>0f(x) > 0. האם הטענה נכונה? (אפשר לענות בלי נגזרת.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x>1: x+1>x−1>0⇒x+1x−1>1x > 1 : \ x + 1 > x - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} > 1

המונה גדול מהמכנה, ושניהם חיוביים

u>1⇒ln⁡u>0u > 1 \Rightarrow \ln u > 0

הטענה נכונה. מספיק להשוות את המונה למכנה: שבר חיובי שגדול מ-11 נותן ln⁡\ln חיובי. ומהטענה של סעיף ב נובע שכאשר x<−1x < -1, f(x)<0f(x) < 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). ט. נתון ש-f(3)=ln⁡2f(3) = \ln 2. בלי להציב בפונקציה, מצאו את f(−3)f(-3). עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.693

הפתרון:

f(−3)=−f(3)f(-3) = -f(3)

סעיף ב: הפונקציה אי-זוגית

−ln⁡2≈−0.693-\ln 2 \approx -0.693

f(−3)=−ln⁡2≈−0.693f(-3) = -\ln 2 \approx -0.693. בדיקה: −3+1−3−1=−2−4=12\frac{-3+1}{-3-1} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}, ו-ln⁡12=−ln⁡2\ln\frac{1}{2} = -\ln 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). י. למשוואה f(x)=1f(x) = 1 יש פתרון אחד. מצאו אותו. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.164

הפתרון:

x+1x−1=e\frac{x+1}{x-1} = e

מעלים את ee בחזקת שני האגפים

x+1=ex−e⇒x(e−1)=e+1\begin{aligned}x + 1 &= ex - e \Rightarrow x(e - 1) \\ &= e + 1\end{aligned}
x=e+1e−1≈2.164x = \frac{e+1}{e-1} \approx 2.164

בתחום: x>1x > 1

x=e+1e−1≈2.164x = \frac{e+1}{e-1} \approx 2.164. פתרון אחד בלבד, כמו שהגרף אומר: כאשר x<−1x < -1 הפונקציה שלילית ולא מגיעה ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת