לוגריתם מול מספר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

השיטה בארבעה צעדים

כל מספר cc אפשר לכתוב כלוגריתם: c=log⁡a(ac)c = \log_a(a^c). כך אי-השוויון הופך להשוואה בין שני לוגריתמים באותו בסיס.

11

תחום: f(x)>0f(x) > 0

22

כותבים את cc כ-log⁡a(ac)\log_a(a^c)

33

משווים את מה שבתוך הלוגריתמים: אם a>1a > 1 הסימן נשאר, אם 0<a<10 < a < 1 הסימן מתהפך

44

חותכים עם התחום

למה ב-log⁡3x>2\log_3 x > 2 אין צורך לחתוך עם התחום בסוף?

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון הוא x>9x > 9. כל xx כזה כבר חיובי, ולכן התחום x>0x > 0 מתקיים מעצמו. כשמה שבתוך הלוגריתם גדול ממספר חיובי, התחום נבלע בפתרון.

בסיס קטן מ-1: הסימן מתהפך

שוכחים להפוך את הסימן כשהבסיס קטן מ-1.

log⁡12(x+3)≥log⁡124⇒x+3≥4\log_{\frac{1}{2}}(x+3) \geq \log_{\frac{1}{2}} 4 \Rightarrow x + 3 \geq 4
log⁡12(x+3)≥log⁡124⇒x+3≤4\log_{\frac{1}{2}}(x+3) \geq \log_{\frac{1}{2}} 4 \Rightarrow x + 3 \leq 4

פונקציה יורדת מחליפה את הסדר. בדיקה: x=5x = 5 נותן log⁡128=−3\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3, וזה לא גדול מ-−2-2.

עם ln

הבסיס של ln⁡\ln הוא e>1e > 1, ולכן הסימן נשאר. ואת 00 כותבים כ-ln⁡1\ln 1.

מתי ln⁡\ln חיובי

נפתור את ln⁡(2x−1)>0\ln(2x - 1) > 0.

2x−1>0⇒x>122x - 1 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{1}{2}

תחום

ln⁡(2x−1)>ln⁡1⇒2x−1>1\ln(2x - 1) > \ln 1 \Rightarrow 2x - 1 > 1

0=ln⁡10 = \ln 1

x>1x > 1

נמצא כולו בתוך התחום

בדיקה מהירה: מציבים מספר אחד מתוך הפתרון ומספר אחד מחוץ לו. אם התשובה נכונה, הראשון מקיים את אי-השוויון והשני לא.

תרגילים

תרגיל 1

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים log⁡2x<5\log_2 x < 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31

הפתרון:

x>0x > 0

תחום

log⁡2x<log⁡232⇒x<32\log_2 x < \log_2 32 \Rightarrow x < 32

בסיס גדול מ-11

0<x<320 < x < 32

3232 עצמו לא מקיים: log⁡232=5\log_2 32 = 5, ו-5<55 < 5 אינו נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡3(x−2)≤2\log_3(x - 2) \leq 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2

תחום

x−2≤9⇒x≤11x - 2 \leq 9 \Rightarrow x \leq 11

2=log⁡392 = \log_3 9

2<x≤112 < x \leq 11
x∈{3,4,…,11}x \in \{3, 4, \ldots, 11\}

תשעה מספרים

בלי התחום הייתם סופרים אינסוף שלמים שליליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו הפתרון של log⁡12x>3\log_{\frac{1}{2}} x > 3?

  1. x>18x > \frac{1}{8}
  2. x>8x > 8
  3. 0<x<180 < x < \frac{1}{8}
  4. x<18x < \frac{1}{8}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 0<x<180 < x < \frac{1}{8}

הפתרון:

x>0x > 0

תחום

3=log⁡12183 = \log_{\frac{1}{2}} \tfrac{1}{8}

כי (12)3=18\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

x<18x < \tfrac{1}{8}

בסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

0<x<180 < x < \tfrac{1}{8}

x<18x < \frac{1}{8} לבד שגוי: הוא כולל מספרים שליליים, שם הלוגריתם אינו מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הפתרון של log⁡5(2x+1)≥1\log_5(2x + 1) \geq 1?

  1. −12<x≤2-\frac{1}{2} < x \leq 2
  2. x≤2x \leq 2
  3. x≥2x \geq 2
  4. x≥3x \geq 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x≥2x \geq 2

הפתרון:

2x+1>0⇒x>−122x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\tfrac{1}{2}

תחום

2x+1≥52x + 1 \geq 5

1=log⁡551 = \log_5 5, בסיס גדול מ-11

x≥2x \geq 2

כבר בתוך התחום

כאן התחום נבלע בפתרון, ואין מה לחתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הפתרון של ln⁡x<1\ln x < 1 הוא x<ex < e.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x>0x > 0

תחום

x<ex < e
0<x<e0 < x < e

חסר התחום. x=−1x = -1 מקיים x<ex < e, אבל ln⁡(−1)\ln(-1) אינו מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים ln⁡(x+4)≤0\ln(x + 4) \leq 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

x+4>0⇒x>−4x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4

תחום

x+4≤1⇒x≤−3x + 4 \leq 1 \Rightarrow x \leq -3

0=ln⁡10 = \ln 1

−4<x≤−3-4 < x \leq -3

הפתרון קטע קצר. השלם היחיד בו הוא −3-3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השלימו את הפתרון של log⁡0.1x≥−1\log_{0.1} x \geq -1.

0<x≤0 < x \leq ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0<x≤0 < x \leq 10

הפתרון:

−1=log⁡0.110-1 = \log_{0.1} 10

כי 0.1−1=100.1^{-1} = 10

x≤10x \leq 10

בסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

0<x≤100 < x \leq 10

עם התחום

מי ששכח להפוך את הסימן כתב x≥10x \geq 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שורה אחת שגויה בפתרון של log⁡13(x−1)>−2\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) > -2. מצאו אותה.

x−1>0⇒x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1
−2=log⁡139-2 = \log_{\frac{1}{3}} 9
x−1>9x - 1 > 9
x>10x > 10
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x−1>9x - 1 > 9 → x−1<9x - 1 < 9

הפתרון:

x−1<9⇒x<10x - 1 < 9 \Rightarrow x < 10

בסיס 13\frac{1}{3}: הסימן מתהפך

1<x<101 < x < 10

עם התחום

השורה x−1>9x - 1 > 9 שכחה שהבסיס קטן מ-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡4(3x−2)<2\log_4(3x - 2) < 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

3x−2>0⇒x>233x - 2 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{2}{3}

תחום

3x−2<16⇒x<63x - 2 < 16 \Rightarrow x < 6

2=log⁡4162 = \log_4 16

23<x<6\tfrac{2}{3} < x < 6
x∈{1,2,3,4,5}x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}

x=0x = 0 לא נכלל: 3⋅0−2=−23 \cdot 0 - 2 = -2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו הפתרון של log⁡2(x2−1)<3\log_2(x^2 - 1) < 3?

  1. −3<x<−1-3 < x < -1 או 1<x<31 < x < 3
  2. 1<x<31 < x < 3
  3. x<−1x < -1 או x>1x > 1
  4. −3<x<3-3 < x < 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −3<x<−1-3 < x < -1 או 1<x<31 < x < 3

הפתרון:

x2−1>0⇒x<−1 או x>1x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -1 \ \text{או} \ x > 1

תחום

x2−1<8⇒−3<x<3x^2 - 1 < 8 \Rightarrow -3 < x < 3

3=log⁡283 = \log_2 8

−3<x<−1 או 1<x<3-3 < x < -1 \ \text{או} \ 1 < x < 3

חיתוך

−3<x<3-3 < x < 3 כולל את x=0x = 0, שבו x2−1=−1x^2 - 1 = -1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

אילו ערכים מקיימים log⁡12x>−1\log_{\frac{1}{2}} x > -1?

  • מקיים
  • לא מקיים
  • x=−1x = -1
  • x=0.5x = 0.5
  • x=1.9x = 1.9
  • x=1x = 1
  • x=2x = 2
  • x=3x = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=0.5x = 0.5 — מקיים · x=1x = 1 — מקיים · x=1.9x = 1.9 — מקיים · x=2x = 2 — לא מקיים · x=3x = 3 — לא מקיים · x=−1x = -1 — לא מקיים

הפתרון:

−1=log⁡122-1 = \log_{\frac{1}{2}} 2
0<x<20 < x < 2

בסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

x=2x = 2 נותן שוויון, לא אי-שוויון חזק. ו-x=−1x = -1 מחוץ לתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מהו הערך הגדול ביותר של xx שמקיים log⁡12(x−3)≥−3\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \geq -3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

x>3x > 3

תחום

−3=log⁡128-3 = \log_{\frac{1}{2}} 8
x−3≤8⇒x≤11x - 3 \leq 8 \Rightarrow x \leq 11

הסימן מתהפך

3<x≤113 < x \leq 11

x=11x = 11 נותן log⁡128=−3\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3, והסימן ≥\geq מכיל את השוויון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡4x<2\log_4 x < 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

x>0x > 0

תחום

2=log⁡416⇒x<162 = \log_4 16 \Rightarrow x < 16

הבסיס 44 גדול מ-11

0<x<160 < x < 16
x∈{1,2,…,15}x \in \{1, 2, \ldots, 15\}

00 ו-1616 לא נכללים: log⁡40\log_4 0 לא מוגדר, ו-log⁡416=2\log_4 16 = 2 אינו קטן מ-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

מהו הפתרון של log⁡14x<−1\log_{\frac{1}{4}} x < -1?

  1. x<4x < 4
  2. 0<x<40 < x < 4
  3. x>14x > \frac{1}{4}
  4. x>4x > 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x>4x > 4

הפתרון:

−1=log⁡144-1 = \log_{\frac14} 4

כי (14)−1=4\left(\frac14\right)^{-1} = 4

x>4x > 4

הבסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

x>4x > 4 כבר בתוך התחום x>0x > 0. מי ששכח להפוך את הסימן בחר 0<x<40 < x < 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

השלימו את הפתרון של log⁡0.2(2x−3)>−1\log_{0.2}(2x - 3) > -1.

____ <x<< x < ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5 <x<< x < 4

הפתרון:

2x−3>0⇒x>1.52x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5

תחום

−1=log⁡0.25-1 = \log_{0.2} 5

כי 0.2−1=50.2^{-1} = 5

2x−3<5⇒x<42x - 3 < 5 \Rightarrow x < 4

בסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

1.5<x<41.5 < x < 4

הגבול השמאלי בא מהתחום, והימני מההשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מהו הפתרון של log⁡2(x−3)<0\log_2(x - 3) < 0?

  1. 3<x<53 < x < 5
  2. x>4x > 4
  3. x<4x < 4
  4. 3<x<43 < x < 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 3<x<43 < x < 4

הפתרון:

x>3x > 3

תחום

0=log⁡21⇒x−3<10 = \log_2 1 \Rightarrow x - 3 < 1
x<4x < 4
3<x<43 < x < 4

את 00 כותבים כ-log⁡21\log_2 1. בלי התחום, x=0x = 0 היה נראה כפתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

הפתרון של log⁡12(5−x)<0\log_{\frac{1}{2}}(5 - x) < 0 הוא x<4x < 4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

5−x>0⇒x<55 - x > 0 \Rightarrow x < 5

תחום

5−x>15 - x > 1

0=log⁡1210 = \log_{\frac12} 1, והסימן מתהפך

x<4x < 4

כבר בתוך x<5x < 5

כאן התחום נבלע בפתרון. כדאי לבדוק: x=4.5x = 4.5 נותן log⁡120.5=1>0\log_{\frac12} 0.5 = 1 > 0, ולכן הוא לא בפתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת