מעגל ופרבולה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מעגל ופרבולה y2=2pxy^2 = 2px: מציבים את y2y^2 מהפרבולה במשוואת המעגל. נשארת משוואה ב-xx בלבד.

y2=4xy^2 = 4x והמעגל x2+y2=5x^2 + y^2 = 5

x2+4x=5⇒x=1 −5\begin{aligned}x^2 + 4x &= 5 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ -5\end{aligned}

מציבים

x=−5: y2=−20\begin{aligned}x &= -5 : \ y^2 \\ &= -20\end{aligned}

נפסל: על הפרבולה x≥0x \geq 0

(1, 2) ; (1, −2)(1,\ 2) \ ; \ (1,\ -2)

כל פתרון של המשוואה ב-xx צריך בדיקה.

x=1 −5⇒4 נקודות\begin{aligned}x &= 1 \\ \ -5 \Rightarrow 4 \ \text{נקודות}\end{aligned}
x=−5⇒y2<0x = -5 \Rightarrow y^2 < 0

בפרבולה y2=2pxy^2 = 2px רק x≥0x \geq 0 טוב.

מעגל משיק לפרבולה

מעגל שמרכזו על הציר משיק לפרבולה כשהמשוואה ב-xx נותנת שורש כפול, חיובי.

מה הרדיוס של המעגל שמרכזו (3,0)(3, 0) ומשיק ל-y2=4xy^2 = 4x?

להציג את התשובה והפתרון

(x−3)2+4x=R2⇒x2−2x+9−R2=0(x - 3)^2 + 4x = R^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 9 - R^2 = 0. שורש כפול: R2=8R^2 = 8, בנקודות (1,±2)(1, \pm 2).

המשיקות של מעגל ופרבולה היא גם המרחק הקצר ביותר מהמרכז לפרבולה.

תרגילים

תרגיל 1

כמה נקודות משותפות יש ל-y2=4xy^2 = 4x ול-x2+y2=5x^2 + y^2 = 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2+4x−5=0x^2 + 4x - 5 = 0
x=1⇒y=±2\begin{aligned}x &= 1 \Rightarrow y \\ &= \pm 2\end{aligned}

x=−5x = -5 נפסל

22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו שיעור ה-xx של נקודות החיתוך של y2=4xy^2 = 4x ו-x2+y2=5x^2 + y^2 = 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x=1x = 1

11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הפתרון x=−5x = -5 של x2+4x−5=0x^2 + 4x - 5 = 0 נותן שתי נקודות חיתוך של y2=4xy^2 = 4x ו-x2+y2=5x^2 + y^2 = 5.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

y2=−20y^2 = -20

לא נכון: הוא נפסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המעגל (x−3)2+y2=R2(x - 3)^2 + y^2 = R^2 משיק ל-y2=4xy^2 = 4x. מהו R2R^2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x2−2x+9−R2=0x^2 - 2x + 9 - R^2 = 0
Δ=0⇒R2=8\begin{aligned}\Delta &= 0 \Rightarrow R^2 \\ &= 8\end{aligned}

88.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו שיעור ה-xx של הנקודה על y2=4xy^2 = 4x הקרובה ביותר ל-(3,0)(3, 0)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

d2=(x−3)2+4x=x2−2x+9\begin{aligned}d^2 &= (x - 3)^2 + 4x \\ &= x^2 - 2x + 9\end{aligned}
x=1:מינימוםx = 1 : \text{מינימום}

11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה נקודות משותפות יש ל-y2=4xy^2 = 4x ולמעגל שמרכזו במוקד ועובר בקדקוד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

(x−1)2+4x=1⇒x2+2x=0\begin{aligned}(x - 1)^2 + 4x &= 1 \Rightarrow x^2 + 2x \\ &= 0\end{aligned}
x=0 ; x=−2 נפסל\begin{aligned}x &= 0 \ ; \ x \\ &= -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

11: רק הקדקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מעגל שמרכזו בראשית עובר ב-(4,4)(4, 4). מהו R2R^2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

16+1616 + 16

3232; והוא חותך את y2=4xy^2 = 4x רק ב-(4,±4)(4, \pm 4).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את המרחק בין שתי נקודות החיתוך של y2=2xy^2 = 2x ו-x2+y2=8x^2 + y^2 = 8.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x2+2x−8=0⇒x=2\begin{aligned}x^2 + 2x - 8 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
y=±2y = \pm 2

44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סדרו את השלבים של מציאת נקודות החיתוך של מעגל ופרבולה y2=2pxy^2 = 2px.

  • מוצאים את yy מהפרבולה
  • מציבים את y2y^2 במשוואת המעגל
  • פוסלים x<0x < 0
  • פותרים משוואה ריבועית ב-xx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מציבים את y2y^2 במשוואת המעגל · פותרים משוואה ריבועית ב-xx · פוסלים x<0x < 0 · מוצאים את yy מהפרבולה

הפתרון:

y2=2pxy^2 = 2px

הצבה, פתרון, בדיקה, yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המעגל (x−a)2+y2=a2(x - a)^2 + y^2 = a^2, a>0a > 0, עובר בקדקוד של y2=4xy^2 = 4x. בעבור אילו aa זו הנקודה המשותפת היחידה?

  1. a=4a = 4
  2. 0<a≤20 < a \leq 2
  3. בעבור כל aa
  4. a>2a > 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 0<a≤20 < a \leq 2

הפתרון:

x2+(4−2a)x=0x^2 + (4 - 2a)x = 0
x=2a−4≤0x = 2a - 4 \leq 0

0<a≤20 < a \leq 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת