טכניקה אלגברית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ב-3 יחידות אין הרבה תיאוריה — יש שלוש פרוצדורות שחוזרות כמעט בכל שאלה, וכדאי שיהיו אוטומטיות לגמרי.

1. משוואה ממעלה ראשונה

סוגריים, כינוס, העברת אגפים, חלוקה במקדם. ובסוף — בדיקה בהצבה, כי היא תופסת כל טעות סימן. מי שרוצה את ההסבר המלא, צעד-צעד — הוא נמצא בפרק משוואות של כיתה ז.

2. משוואה ריבועית

מסדרים לצורה $ax^2 + bx + c = 0$ , ואז נוסחת השורשים:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

שני מקרים חוסכים את הנוסחה לגמרי: כשאין $c$ — גורם משותף ( $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5) = 0$ ). וכשאין $b$ — מעבירים ומוציאים שורש ( $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ ).

3. מערכת שתי משוואות

הצבה כשאחד הנעלמים כבר מבודד, והשוואת מקדמים כשלא. שתי הדרכים נכונות; בוחרים לפי הכתיבה.

שתי הטעויות שעולות הכי הרבה נקודות.

\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שורש במשוואה נותן שני פתרונות.

\begin{aligned}x^2 &= 5x \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}x(x - 5) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 5\end{aligned}

חילוק ב- $x$ מוחק את הפתרון $x$ .

פתרו: $2(x - 3) = x + 5$

להציג את התשובה והפתרון

$x = 11$ : פותחים סוגריים ( $2x - 6 = x + 5$ ), מעבירים אגפים. הבדיקה בהצבה שווה נקודות בבגרות.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו: $4x - 6 = 10$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

4x = 16

מעבירים

x = 4

מחלקים

בדיקה: $16 - 6 = 10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו: $x^2 = 9$

$x = 4.5$
$x = 3$
$x = 3$ או $x = -3$
$x = 81$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x = 3$ או $x = -3$

הפתרון:

x = \pm 3

שורש נותן שני פתרונות

גם $(-3)^2 = 9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו: $x^2 - 5x = 0$

אין פתרון
$x = 5$
$x = 0$
$x = 0$ או $x = 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x = 0$ או $x = 5$

הפתרון:

x(x - 5) = 0

גורם משותף

חילוק ב- $x$ היה מוחק פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו: $x^2 - 7x + 12 = 0$ . מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

(x - 3)(x - 4) = 0

מכפלה 12, סכום 7

\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= 4\end{aligned}

שני פתרונות

טרינום — מהיר יותר מהנוסחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במערכת $y = 2x + 1$ ו- $y = -x + 7$ — מהו ה- $x$ בנקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

2x + 1 = -x + 7

משווים

\begin{aligned}3x &= 6 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

y = 5

ומציבים

הנקודה היא $(2,\, 5)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו:

4x - 7 = 13

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}4x &= 20 \;\Rightarrow\; x \\ &= 5\end{aligned}

מעבירים אגף, מחלקים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את המערכת $x + y = 9$ וגם $x - y = 3$ :

חיבור המשוואות נותן 2x = 12 , ולכן x = ____ ו-y = ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חיבור המשוואות נותן 2x = 12 , ולכן x = 6 ו-y = 3.

הפתרון:

2x = 12

מחברים — ה-y מתבטל

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

7x + 4 = 25

7x = 25 + 4

x = \frac{29}{7}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $7x = 25 + 4$ → $7x = 25 - 4$

הפתרון:

\begin{aligned}7x &= 21 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

מעבר אגף הופך סימן

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

איזה מספר פותר את המשוואה $2x + 3 = 11$ ?

7
3
4
5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 4

הפתרון:

2 \cdot 4 + 3 = 11

בדיקה בהצבה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את שלבי הפתרון:

$5x + 2 = 17$
$5x = 15$
$x = 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $5x + 2 = 17$ · $5x = 15$ · $x = 3$

הפתרון:

5x = 17 - 2

קודם מבודדים, אחר כך מחלקים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתרו בעזרת נוסחת השורשים: $2x^2 + 5x - 3 = 0$ . מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= 5 \ \\ \ c &= -3\end{aligned}

מזהים מקדמים, עם הסימנים

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 25 + 24 \\ &= 49\end{aligned}

מה שמתחת לשורש

x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{4}

מציבים בנוסחה

\begin{aligned}x_1 &= \frac{2}{4} \\ &= 0.5 \ \\ \ x_2 &= \frac{-12}{4} \\ &= -3\end{aligned}

שני הפתרונות

הפתרון הגדול הוא $x = 0.5$ . בדיקה: $2 \cdot 0.25 + 2.5 - 3 = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

פתרו: $x^2 - 4x - 2 = 0$ . מהו הפתרון החיובי? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.45

הפתרון:

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 16 + 8 \\ &= 24\end{aligned}

אין פירוק לטרינום — עוברים לנוסחה

x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2}

מציבים

x_1 = \frac{4 + 4.899}{2} \approx 4.45

הפתרון החיובי

x_2 = \frac{4 - 4.899}{2} \approx -0.45

והשלילי

כשהשורש לא יוצא שלם, הנוסחה היא הדרך היחידה. מעגלים רק בסוף, לא באמצע החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בחנות בגדים, 2 חולצות ו-3 מכנסיים עולים יחד 410 ש״ח. חולצה אחת ומכנסיים אחד עולים יחד 170 ש״ח. כמה עולים מכנסיים (בש״ח)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

\begin{aligned}2x + 3y &= 410 \ \\ \ x + y &= 170\end{aligned}

x — מחיר חולצה, y — מחיר מכנסיים

2x + 2y = 340

כופלים את המשוואה השנייה ב-2

\begin{aligned}y &= 410 - 340 \\ &= 70\end{aligned}

מחסרים — ה-x מתבטל

\begin{aligned}x &= 170 - 70 \\ &= 100\end{aligned}

מציבים

מכנסיים עולים 70 ש״ח וחולצה 100 ש״ח. בדיקה: $200 + 210 = 410$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

פתרו את המערכת $3x + 2y = 16$ וגם $5x - 2y = 0$ .

$x = 2 \ , \ y = 5$
$x = 5 \ , \ y = 2$
$x = 4 \ , \ y = 2$
$x = 2 \ , \ y = -5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x = 2 \ , \ y = 5$

הפתרון:

\begin{aligned}8x &= 16 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

מחברים — המקדמים של y נגדיים

\begin{aligned}3 \cdot 2 + 2y &= 16 \Rightarrow y \\ &= 5\end{aligned}

מציבים במשוואה הראשונה

בדיקה במשוואה השנייה: $10 - 10 = 0$ . השוואת מקדמים מתאימה כאן, כי אף נעלם לא מבודד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

אורך של מלבן גדול מהרוחב שלו ב-3 ס״מ, ושטח המלבן 40 סמ״ר. מהו הרוחב של המלבן (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x(x + 3) = 40

x — הרוחב, x + 3 — האורך

x^2 + 3x - 40 = 0

מסדרים לצורה שווה לאפס

(x + 8)(x - 5) = 0

מכפלה $-40$ וסכום 3

\begin{aligned}x &= 5 \ \\ \ x &= -8\end{aligned}

רוחב לא יכול להיות שלילי

הרוחב 5 ס״מ והאורך 8 ס״מ: $5 \cdot 8 = 40$ . את הפתרון השלילי פוסלים — זה חלק מהתשובה בבגרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

פתרו את $x^2 - 6x + 8 = 0$ בנוסחת השורשים. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

x^2 - 6x + 8 = 0

x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}

x_{1,2} = \frac{6 \pm 2}{2}

\begin{aligned}x &= 4 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$ → $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

הפתרון:

\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow -b \\ &= 6\end{aligned}

מינוס של מספר שלילי הוא חיובי

בנוסחה כתוב $-b$ . כאשר $b = -6$ , המונה מתחיל ב- $6$ ולא ב- $6$ . בדיקה: $16 - 24 + 8 = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

5x - 2(x - 4) = 23

5x - 2x - 8 = 23

3x = 15

x = 5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $5x - 2x - 8 = 23$ → $5x - 2x + 8 = 23$

הפתרון:

-2 \cdot (-4) = +8

המינוס לפני הסוגריים כופל את שני האיברים

בדיקה בהצבה: $25 - 2 \cdot 1 = 23$ . מינוס לפני סוגריים הופך את הסימן של כל איבר בפנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

פתרו את המערכת $y = 2x - 1$ וגם $3x + y = 14$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

3x + (2x - 1) = 14

5x - 1 = 14

5x = 13

x = 3

\begin{aligned}y &= 2 \cdot 3 - 1 \\ &= 5\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $5x = 13$ → $5x = 15$

הפתרון:

\begin{aligned}5x &= 14 + 1 \\ &= 15\end{aligned}

מעבר אגף הופך את הסימן של 1-

\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ y &= 5\end{aligned}

ההצבה

בדיקה במשוואה השנייה: $9 + 5 = 14$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

פתרו בפירוק לטרינום: $x^2 + 2x - 15 = 0$

$(x +$ ____ $)(x -$ ____ $) = 0$ , הפתרון הקטן $x =$ ____ והפתרון הגדול $x =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x +$ 5 $)(x -$ 3 $) = 0$ , הפתרון הקטן $x =$ -5 והפתרון הגדול $x =$ 3

הפתרון:

\begin{aligned}5 \cdot (-3) &= -15 \ \\ \ 5 + (-3) &= 2\end{aligned}

מכפלה $-15$ וסכום 2

(x + 5)(x - 3) = 0

הפירוק

\begin{aligned}x &= -5 \ \\ \ x &= 3\end{aligned}

כל גורם שווה לאפס

מכפלה שלילית — הסימנים של שני המספרים שונים, והגדול בערכו מקבל את הסימן של $b$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

פתרו: $3(x + 2) = 5x - 4$

פותחים סוגריים: $3x +$ ____ $= 5x - 4$ , מעבירים אגפים: ____ $= 2x$ , ולכן $x =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: פותחים סוגריים: $3x +$ 6 $= 5x - 4$ , מעבירים אגפים: 10 $= 2x$ , ולכן $x =$ 5

הפתרון:

3x + 6 = 5x - 4

פותחים סוגריים

6 + 4 = 5x - 3x

x לאגף אחד, מספרים לשני

\begin{aligned}10 &= 2x \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

מחלקים

בדיקה בהצבה: $3 \cdot 7 = 21$ וגם $25 - 4 = 21$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

מיינו את המשוואות לפי מספר הפתרונות:

שני פתרונות
אין פתרון

$x^2 - 2x - 3 = 0$
$x^2 - 3x = 0$
$x^2 + 1 = 0$
$x^2 + 2x + 5 = 0$
$x^2 = -4$
$x^2 = 16$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x^2 = 16$ — שני פתרונות · $x^2 = -4$ — אין פתרון · $x^2 - 3x = 0$ — שני פתרונות · $x^2 + 1 = 0$ — אין פתרון · $x^2 + 2x + 5 = 0$ — אין פתרון · $x^2 - 2x - 3 = 0$ — שני פתרונות

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 &= 16 \Rightarrow x \\ &= \pm 4 \ ; \ x^2 - 3x \\ &= 0 \Rightarrow x(x - 3) \\ &= 0\end{aligned}

שני פתרונות

\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= 0: \ b^2 - 4ac \\ &= 4 + 12 \\ &= 16 > 0\end{aligned}

שורש של מספר חיובי — שני פתרונות

\begin{aligned}x^2 &= -4 \ ; \ x^2 \\ &= -1\end{aligned}

ריבוע אינו שלילי — אין פתרון

\begin{aligned}x^2 + 2x + 5 &= 0: \ b^2 - 4ac \\ &= 4 - 20 \\ &= -16 < 0\end{aligned}

שורש של מספר שלילי — אין פתרון

מה שמתחת לשורש בנוסחה, $b^2 - 4ac$ , מחליט: חיובי — שני פתרונות, שלילי — אין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

מיינו את המערכות לפי מספר הפתרונות:

פתרון אחד
אין פתרון

$2x + 2y = 6$ וגם $x + y = 7$
$x + y = 5$ וגם $x - y = 1$
$y = 2x + 1$ וגם $y = -x + 4$
$y = 2x + 1$ וגם $y = 2x - 3$
$y = 3x$ וגם $y = 3x + 5$
$y = x$ וגם $y = -x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y = 2x + 1$ וגם $y = 2x - 3$ — אין פתרון · $y = 2x + 1$ וגם $y = -x + 4$ — פתרון אחד · $y = 3x$ וגם $y = 3x + 5$ — אין פתרון · $x + y = 5$ וגם $x - y = 1$ — פתרון אחד · $2x + 2y = 6$ וגם $x + y = 7$ — אין פתרון · $y = x$ וגם $y = -x$ — פתרון אחד

הפתרון:

m_1 \ne m_2

שיפועים שונים — הישרים נחתכים בנקודה אחת

\begin{aligned}m_1 &= m_2 \ \\ \ b_1 \ne b_2\end{aligned}

אותו שיפוע וישרים שונים — מקבילים, אין חיתוך

\begin{aligned}2x + 2y &= 6 \Rightarrow x + y \\ &= 3\end{aligned}

אחרי חילוק ב-2: הסכום לא יכול להיות גם 3 וגם 7

הפתרון של מערכת הוא נקודת החיתוך. ישרים מקבילים לא נחתכים — ולכן אין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

סדרו את שלבי הפתרון של המשוואה $x^2 + 3x = 10$ :

$(x + 5)(x - 2) = 0$
$x = -5$ או $x = 2$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
$x^2 + 3x = 10$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x^2 + 3x = 10$ · $x^2 + 3x - 10 = 0$ · $(x + 5)(x - 2) = 0$ · $x = -5$ או $x = 2$

הפתרון:

x^2 + 3x - 10 = 0

קודם מסדרים לצורה שווה לאפס

(x + 5)(x - 2) = 0

אחר כך מפרקים

\begin{aligned}x &= -5 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

ובסוף כל גורם שווה לאפס

פירוק עובד רק כשבאגף אחד יש אפס. $x(x + 3) = 10$ לא אומר ש- $x = 10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

התאימו לכל משוואה את הפתרונות שלה:

$x^2 = 25$
$x^2 = 5x$
$x^2 - 10x + 25 = 0$
$x^2 + 25 = 0$

$x = 0$ או $x = 5$
$x = 5$ או $x = -5$
$x = 5$ בלבד
אין פתרון

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x^2 = 25$ — $x = 5$ או $x = -5$ · $x^2 = 5x$ — $x = 0$ או $x = 5$ · $x^2 - 10x + 25 = 0$ — $x = 5$ בלבד · $x^2 + 25 = 0$ — אין פתרון

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 &= 25 \Rightarrow x \\ &= \pm 5\end{aligned}

שורש — שני פתרונות

x(x - 5) = 0

גורם משותף, בלי לחלק ב-x

(x - 5)^2 = 0

ריבוע שלם — פתרון אחד

x^2 = -25

ריבוע אינו שלילי

ארבע משוואות שנראות דומות, ולכל אחת מספר פתרונות אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת