גיאומטריה וטריגונומטריה בסיסית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הגאומטריה של 3 יחידות מרוכזת כמעט כולה במשולש ישר הזווית — ושם יש שני כלים.

פיתגורס

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

כאשר cc הוא היתר — הצלע שמול הזווית הישרה, והארוכה ביותר. שני האחרים הם הניצבים.

לזהות את היתר לפני שמציבים: הוא תמיד מול הזווית הישרה. הצבה הפוכה נותנת שורש ממספר שלילי — וזה הסימן שמשהו התחלף.

שלושת היחסים

נסמן: aa — הניצב שמול הזווית α\alpha, bb — הניצב שלידה, ו-cc — היתר.

sin⁡α=ac\sin \alpha = \frac{a}{c}

סינוס — הניצב שמול הזווית, חלקי היתר.

cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}

קוסינוס — הניצב שליד הזווית, חלקי היתר.

tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}

טנגנס — מול חלקי ליד, בלי יתר בכלל.

איזה יחס לבחור? לפי מה שנתון ומה שמבקשים. אם היתר לא מופיע בשאלה — כמעט תמיד טנגנס.

למצוא צלע

במשולש ישר זווית הזווית 30°30° והיתר 10. מהו הניצב שמולה?

sin⁡30°=a10\sin 30° = \frac{a}{10}

הניצב שמול הזווית, חלקי היתר

0.5=a100.5 = \frac{a}{10}

סינוס של 30 הוא חצי

a=5a = 5

כופלים

שטחים

S=a⋅bS = a \cdot b

מלבן.

S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}

משולש — ובישר זווית, מכפלת הניצבים חלקי 2.

S=(a+b)⋅h2S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

טרפז.

S=πr2S = \pi r^2

עיגול.

שתי הטעויות של הפרק.

c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

היתר הוא הסכום. מחסרים רק כשמחפשים ניצב חסר.

מצב מעלות במחשבון\text{מצב מעלות במחשבון}
DEGDEG

מחשבון במצב רדיאנים ייתן תשובות שגויות לגמרי. לבדוק לפני המבחן.

מהו שטח משולש שבסיסו 12 והגובה אליו 7?

להציג את התשובה והפתרון

42: 12⋅72\frac{12 \cdot 7}{2}. הגובה חייב להיות זה שנמדד אל אותו בסיס — לא צלע אחרת.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש ישר זווית הניצבים 6 ו-8. מהו היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

36+64=10036 + 64 = 100

פיתגורס

c=10c = 10

שורש

היתר תמיד הארוך ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

היתר 13 וניצב אחד 5. מהו הניצב השני?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

169−25=144169 - 25 = 144

מחסרים — מחפשים ניצב

b=12b = 12

שורש

מחסרים רק כשמחפשים ניצב חסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

זווית 30°30° והיתר 10. מהו הניצב שמול הזווית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

sin⁡30°=0.5\sin 30° = 0.5

מול חלקי יתר

a=10×0.5=5\begin{aligned}a &= 10 \times 0.5 \\ &= 5\end{aligned}

כופלים

מול ויתר — סינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשאלה נתונים שני ניצבים ומבקשים זווית. איזה יחס?

  1. קוסינוס
  2. טנגנס
  3. סינוס
  4. פיתגורס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב טנגנס

הפתרון:

tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}

שני ניצבים, בלי יתר

אם היתר לא מופיע בשאלה — כמעט תמיד טנגנס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו שטח משולש ישר זווית שניצביו 6 ו-8?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24

מכפלת הניצבים חלקי 2

כל ניצב הוא הגובה אל השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש ישר-זווית הניצבים 6 ו-8. מצאו את היתר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

62+82=100=102\begin{aligned}6^2 + 8^2 &= 100 \\ &= 10^2\end{aligned}

פיתגורס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו שטח המשולש ישר-הזווית שניצביו 6 ו-8?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24

הניצבים הם בסיס וגובה

במשולש ישר-זווית לא צריך לחפש גובה — הניצבים כבר מאונכים זה לזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

משולש ישר-זווית עם צלעות 6, 8, 10:

ההיקף הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ההיקף הוא 24.

הפתרון:

6+8+10=246 + 8 + 10 = 24

סכום הצלעות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

משולש שצלעותיו 7, 24, 25 הוא ישר-זווית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

72+242=2527^2 + 24^2 = 25^2

המשפט ההפוך

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש ישר-זווית — איזו צלע היא היתר?

  1. כל צלע יכולה להיות
  2. אחת משתי היוצאות מהזווית הישרה
  3. הקצרה ביותר
  4. זו שמול הזווית הישרה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד זו שמול הזווית הישרה

הפתרון:

מול 90∘\text{מול } 90^\circ

מול הזווית הגדולה — הצלע הגדולה

והארוכה ביותר

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במשולש ישר זווית היתר 12 ס״מ, והזווית α=50°\alpha = 50°. מהו אורך הניצב שליד הזווית α\alpha, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.71

הפתרון:

cos⁡50°=b12\cos 50° = \frac{b}{12}

הניצב שליד הזווית, חלקי היתר — קוסינוס

b=12⋅cos⁡50°≈12⋅0.6428b = 12 \cdot \cos 50° \approx 12 \cdot 0.6428

כופלים

b≈7.71b \approx 7.71

מעגלים

נתון היתר, ומבקשים את הניצב שליד — קוסינוס. הניצב יוצא קצר מהיתר, כמו שצריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במשולש ישר זווית היתר 15, והניצב שמול הזווית α\alpha הוא 9. מהי הזווית α\alpha, במעלות? (עגלו למספר שלם של מעלות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 37

הפתרון:

sin⁡α=915=0.6\begin{aligned}\sin \alpha &= \frac{9}{15} \\ &= 0.6\end{aligned}

מול ויתר — סינוס

α=sin⁡−1(0.6)≈36.87°\alpha = \sin^{-1}(0.6) \approx 36.87°

במחשבון, במצב DEG

α≈37°\alpha \approx 37°

מעגלים

כשמבקשים זווית, מחשבים קודם את היחס, ואז לוחצים על הפונקציה ההפוכה במחשבון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

רמפה לכיסא גלגלים באורך 8 מטר עולה בזווית של 12°12° מעל הקרקע. לאיזה גובה היא מגיעה, במטרים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.66

הפתרון:

sin⁡12°=h8\sin 12° = \frac{h}{8}

הרמפה היא היתר, והגובה מול הזווית — סינוס

h=8⋅sin⁡12°≈8⋅0.2079h = 8 \cdot \sin 12° \approx 8 \cdot 0.2079

כופלים

h≈1.66h \approx 1.66

מעגלים

הגובה והקרקע יוצרים זווית ישרה, ולכן הרמפה היא היתר של משולש ישר זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

גינה בצורת מלבן היא באורך 12 מטר וברוחב 8 מטר. באמצע הגינה בריכה עגולה ברדיוס 2 מטר, וכל השאר דשא. מהו שטח הדשא, במ״ר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 83.43

הפתרון:

Sמלבן=12⋅8=96\begin{aligned}S_{\text{מלבן}} &= 12 \cdot 8 \\ &= 96\end{aligned}

שטח הגינה כולה

Sעיגול=π⋅22=4π≈12.57\begin{aligned}S_{\text{עיגול}} &= \pi \cdot 2^2 \\ &= 4\pi \approx 12.57\end{aligned}

שטח הבריכה

96−4π≈83.4396 - 4\pi \approx 83.43

מחסרים

שטח של צורה עם חור: השטח הגדול פחות השטח של החור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

במלבן צלע אחת 9 ס״מ והאלכסון 15 ס״מ. מהו שטח המלבן, בסמ״ר?

  1. 67.567.5
  2. 135135
  3. 108108
  4. 5454
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 108108

הפתרון:

b2=152−92=225−81=144\begin{aligned}b^2 &= 15^2 - 9^2 \\ &= 225 - 81 \\ &= 144\end{aligned}

האלכסון הוא יתר במשולש ישר זווית — מחסרים

b=12b = 12

הצלע השנייה

S=9⋅12=108\begin{aligned}S &= 9 \cdot 12 \\ &= 108\end{aligned}

שטח המלבן

האלכסון איננו צלע של המלבן: קודם פיתגורס, ורק אז השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

במשולש ישר זווית היתר 26 וניצב אחד 10. מחפשים את הניצב השני. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

c=26  a=10\begin{aligned}c &= 26 \ \\ \ a &= 10\end{aligned}
b2=262+102b^2 = 26^2 + 10^2
b2=676−100=576\begin{aligned}b^2 &= 676 - 100 \\ &= 576\end{aligned}
b=24b = 24
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: b2=262+102b^2 = 26^2 + 10^2 → b2=262−102b^2 = 26^2 - 10^2

הפתרון:

a2+b2=c2⇒b2=c2−a2\begin{aligned}a^2 + b^2 &= c^2 \Rightarrow b^2 \\ &= c^2 - a^2\end{aligned}

מחפשים ניצב — מחסרים

b2=676−100=576⇒b=24\begin{aligned}b^2 &= 676 - 100 \\ &= 576 \Rightarrow b \\ &= 24\end{aligned}

מכאן הכול נכון

בשורה השגויה הניצב היה יוצא ארוך מהיתר — וזה בלתי אפשרי. בדיקה: 100+576=676100 + 576 = 676.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

במשולש ישר זווית היתר 20 והזווית α=35°\alpha = 35°. מחפשים את הניצב שליד הזווית. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

c=20  α=35°\begin{aligned}c &= 20 \ \\ \ \alpha &= 35°\end{aligned}
sin⁡35°=b20\sin 35° = \frac{b}{20}
b=20⋅cos⁡35°b = 20 \cdot \cos 35°
b≈16.38b \approx 16.38
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡35°=b20\sin 35° = \frac{b}{20} → cos⁡35°=b20\cos 35° = \frac{b}{20}

הפתרון:

cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}

הניצב שליד הזווית, חלקי היתר — קוסינוס

b=20⋅cos⁡35°≈16.38b = 20 \cdot \cos 35° \approx 16.38

כופלים ומעגלים

סינוס הוא הניצב שמול הזווית חלקי היתר. עם סינוס היה יוצא 11.4711.47 — הניצב השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

במשולש ישר זווית הניצב שמול הזווית α\alpha הוא 6, הניצב שלידה 8, והיתר 10.

sin⁡α=\sin \alpha = ____ , cos⁡α=\cos \alpha = ____ , tan⁡α=\tan \alpha = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡α=\sin \alpha = 0.6 , cos⁡α=\cos \alpha = 0.8 , tan⁡α=\tan \alpha = 0.75

הפתרון:

sin⁡α=610=0.6\begin{aligned}\sin \alpha &= \frac{6}{10} \\ &= 0.6\end{aligned}

מול חלקי יתר

cos⁡α=810=0.8\begin{aligned}\cos \alpha &= \frac{8}{10} \\ &= 0.8\end{aligned}

ליד חלקי יתר

tan⁡α=68=0.75\begin{aligned}\tan \alpha &= \frac{6}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}

מול חלקי ליד

סינוס וקוסינוס תמיד קטנים מ-1, כי היתר הוא הצלע הארוכה ביותר. לטנגנס אין הגבלה כזו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

טרפז שבסיסיו 4 ס״מ ו-10 ס״מ וגובהו 6 ס״מ, ומשולש שבסיסו 10 ס״מ והגובה אליו 7 ס״מ.

שטח הטרפז הוא ____ סמ״ר, ושטח המשולש הוא ____ סמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שטח הטרפז הוא 42 סמ״ר, ושטח המשולש הוא 35 סמ״ר.

הפתרון:

S=(4+10)⋅62=42\begin{aligned}S &= \frac{(4 + 10) \cdot 6}{2} \\ &= 42\end{aligned}

טרפז — סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 2

S=10⋅72=35\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 7}{2} \\ &= 35\end{aligned}

משולש — בסיס כפול הגובה, חלקי 2

בשתי הנוסחאות מחלקים ב-2, ובשתיהן הגובה מאונך לבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

במשולש ישר זווית, aa הוא הניצב שמול הזווית α\alpha, bb הניצב שלידה ו-cc היתר. β\beta היא הזווית החדה השנייה. מיינו: כל יחס הוא סינוס או קוסינוס של הזווית הרשומה לידו?

  • סינוס
  • קוסינוס
  • ac\frac{a}{c} — עבור α\alpha
  • ac\frac{a}{c} — עבור β\beta
  • bc\frac{b}{c} — עבור α\alpha
  • bc\frac{b}{c} — עבור β\beta
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ac\frac{a}{c} — עבור α\alpha — סינוס · bc\frac{b}{c} — עבור α\alpha — קוסינוס · bc\frac{b}{c} — עבור β\beta — סינוס · ac\frac{a}{c} — עבור β\beta — קוסינוס

הפתרון:

sin⁡α=ac  cos⁡α=bc\begin{aligned}\sin \alpha &= \frac{a}{c} \ \\ \ \cos \alpha &= \frac{b}{c}\end{aligned}

עבור α\alpha: aa מול, bb ליד

sin⁡β=bc  cos⁡β=ac\begin{aligned}\sin \beta &= \frac{b}{c} \ \\ \ \cos \beta &= \frac{a}{c}\end{aligned}

עבור β\beta התפקידים מתחלפים: bb מול, aa ליד

«מול» ו«ליד» תלויים בזווית שבוחרים. אותו יחס הוא סינוס של זווית אחת וקוסינוס של השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

מיינו את שלשות הצלעות: האם המשולש ישר זווית?

  • ישר זווית
  • לא ישר זווית
  • 20, 21, 2920,\ 21,\ 29
  • 4, 5, 64,\ 5,\ 6
  • 5, 6, 85,\ 6,\ 8
  • 6, 8, 106,\ 8,\ 10
  • 8, 15, 178,\ 15,\ 17
  • 9, 12, 169,\ 12,\ 16
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8, 15, 178,\ 15,\ 17 — ישר זווית · 4, 5, 64,\ 5,\ 6 — לא ישר זווית · 20, 21, 2920,\ 21,\ 29 — ישר זווית · 9, 12, 169,\ 12,\ 16 — לא ישר זווית · 6, 8, 106,\ 8,\ 10 — ישר זווית · 5, 6, 85,\ 6,\ 8 — לא ישר זווית

הפתרון:

64+225=289  400+441=841  36+64=100\begin{aligned}64 + 225 &= 289 \ \\ \ 400 + 441 &= 841 \ \\ \ 36 + 64 &= 100\end{aligned}

שוויון — ישר זווית

16+25≠36 , 81+144≠256 , 25+36≠6416 + 25 \neq 36 \ , \ 81 + 144 \neq 256 \ , \ 25 + 36 \neq 64

אין שוויון — לא ישר זווית

בודקים אם ריבוע הצלע הארוכה שווה לסכום הריבועים של שתי האחרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

במשולש ישר זווית הניצבים 7 ו-24, ומבקשים את הזווית α\alpha שמול הניצב 7. סדרו את שלבי הפתרון.

  • α≈16.3°\alpha \approx 16.3°
  • בוחרים טנגנס: tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}
  • במחשבון, במצב DEG: α=tan⁡−1(724)\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right)
  • מציבים: tan⁡α=724\tan \alpha = \frac{7}{24}
  • נתונים שני ניצבים, בלי יתר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נתונים שני ניצבים, בלי יתר · בוחרים טנגנס: tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b} · מציבים: tan⁡α=724\tan \alpha = \frac{7}{24} · במחשבון, במצב DEG: α=tan⁡−1(724)\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right) · α≈16.3°\alpha \approx 16.3°

הפתרון:

tan⁡α=724\tan \alpha = \frac{7}{24}

מזהים מה נתון ובוחרים את היחס

α=tan⁡−1(724)≈16.3°\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right) \approx 16.3°

פונקציה הפוכה במחשבון

קודם מזהים מה נתון, אחר כך בוחרים יחס, מציבים, ורק בסוף המחשבון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

התאימו כל צורה לשטח שלה

  • מלבן 4 על 6
  • משולש שבסיסו 6 והגובה אליו 4
  • טרפז שבסיסיו 4 ו-8 וגובהו 6
  • עיגול ברדיוס 2
  • 1212
  • 2424
  • 3636
  • 4π4\pi
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מלבן 4 על 6 — 2424 · משולש שבסיסו 6 והגובה אליו 4 — 1212 · טרפז שבסיסיו 4 ו-8 וגובהו 6 — 3636 · עיגול ברדיוס 2 — 4π4\pi

הפתרון:

4⋅6=244 \cdot 6 = 24

מלבן

6⋅42=12\frac{6 \cdot 4}{2} = 12

משולש

(4+8)⋅62=36\frac{(4 + 8) \cdot 6}{2} = 36

טרפז

π⋅22=4π\pi \cdot 2^2 = 4\pi

עיגול

למשולש ולמלבן אותם מספרים, אבל במשולש מחלקים ב-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

במשולש ישר זווית יכול להיות sin⁡α=1.2\sin \alpha = 1.2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

a<c⇒ac<1a < c \Rightarrow \frac{a}{c} < 1

ניצב קצר מהיתר

תוצאה גדולה מ-1 בסינוס או בקוסינוס היא סימן שהיתר הוצב במקום הלא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת