הפונקציה הקווית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כל ישר נקבע לגמרי בשני מספרים: mm ו-bb. שאר הפרק הוא רק דרכים שונות למצוא אותם.

y=mx+by = mx + b
m>0m > 0

הישר עולה.

m<0m < 0

הישר יורד.

m=0m = 0

קו אופקי.

bb

הגובה שבו הישר חותך את ציר ה-yy.

שיפוע משתי נקודות

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

נקודות חיתוך עם הצירים

y=0y = 0

חיתוך עם ציר ה-xx — מציבים אפס במקום yy ופותרים.

x=0x = 0

חיתוך עם ציר ה-yy — מציבים אפס במקום xx, והתוצאה היא בדיוק bb.

חיתוך בין שני ישרים

משווים בין שתי המשוואות, מוצאים xx, ומציבים כדי לקבל yy. התשובה היא נקודה — זוג, לא מספר בודד.

ישרים מקבילים אם ורק אם יש להם אותו mm. אם בפתרון המערכת ה-xx מתבטל ונשאר משהו שקרי — זה בדיוק המצב, ואין פתרון.

שתי הטעויות של הישר.

m=y2−y1x1−x2m = \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}
y2−y1x2−x1\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

אותו סדר חיסור למעלה ולמטה, אחרת הסימן מתהפך.

נקודת חיתוך=3\text{נקודת חיתוך} = 3
(3, 7)(3,\, 7)

נקודה היא זוג. חייבים להציב ולמצוא גם את ה-yy.

הישר y=−3x+7y = -3x + 7 — מהו השיפוע ומה החיתוך עם ציר ה-yy?

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע −3-3 (יורד), וחיתוך ב-(0,7)(0, 7). את החיתוך עם ציר ה-xx מוצאים בהצבת y=0y = 0.

תרגילים

תרגיל 1

מהו שיפוע הישר העובר דרך (1, 3)(1,\, 3) ו-(4, 12)(4,\, 12)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

m=12−34−1=3\begin{aligned}m &= \frac{12 - 3}{4 - 1} \\ &= 3\end{aligned}

הנוסחה

אותו סדר חיסור בשני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הישר y=3x−6y = 3x - 6 — איפה הוא חותך את ציר ה-xx?

  1. (0, 2)(0,\, 2)
  2. (0, −6)(0,\, -6)
  3. (2, 0)(2,\, 0)
  4. (−6, 0)(-6,\, 0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (2, 0)(2,\, 0)

הפתרון:

3x−6=03x - 6 = 0

מציבים y=0y = 0

x=2x = 2

פותרים

החיתוך עם ציר ה-yy הוא (0, −6)(0,\,-6) — שאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזה ישר מקביל ל-y=−2x+5y = -2x + 5?

  1. y=−2x−1y = -2x - 1
  2. y=−x+5y = -x + 5
  3. y=2x+5y = 2x + 5
  4. y=−2x+5y = -2x + 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=−2x−1y = -2x - 1

הפתרון:

m1=m2=−2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= -2\end{aligned}

אותו שיפוע

b1≠b2b_1 \neq b_2

ו-bb שונה

האחרון הוא הישר עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר דרך (1, 6)(1,\, 6)

  1. y=4x−2y = 4x - 2
  2. y=4x+6y = 4x + 6
  3. y=4x+2y = 4x + 2
  4. y=x+6y = x + 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=4x+2y = 4x + 2

הפתרון:

6=4⋅1+b6 = 4 \cdot 1 + b

מציבים

b=2b = 2

מוצאים

בדיקה: 4+2=64 + 2 = 6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו ה-bb של הישר העובר דרך (0, −4)(0,\, -4)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

x=0⇒y=b\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= b\end{aligned}

זו ההגדרה של bb

נקודה עם x=0x = 0 נותנת את bb ישירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך (1,2)(1, 2) ו-(3,8)(3, 8):

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

m=8−23−1=3\begin{aligned}m &= \frac{8 - 2}{3 - 1} \\ &= 3\end{aligned}

הפרש גבהים חלקי הפרש מרחקים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לישר y=2x+3y = 2x + 3:

החיתוך עם ציר ה-y בגובה ____ , והערך של y כאשר x = 4 הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: החיתוך עם ציר ה-y בגובה 3 , והערך של y כאשר x = 4 הוא 11.

הפתרון:

y(0)=3y(4)=11\begin{aligned}y(0) &= 3 \\ \quad y(4) &= 11\end{aligned}

b — ואז הצבה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הישר y=−x+6y = -x + 6 הוא ישר יורד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

m=−1<0m = -1 < 0

הסימן של השיפוע מכריע

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

איזה ישר עובר דרך הנקודה (0,5)(0, 5)?

  1. y=5xy = 5x
  2. y=2x+5y = 2x + 5
  3. y=x−5y = x - 5
  4. y=5x−2y = 5x - 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=2x+5y = 2x + 5

הפתרון:

y(0)=b=5\begin{aligned}y(0) &= b \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה על ציר ה-y היא הקבוע

ב-x = 0 נשאר רק ה-b — ורק בישר השלישי הוא 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

איפה הישר y=3x−9y = 3x - 9 חותך את ציר ה-x? (כתבו את ערך ה-x.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

3x−9=0  ⇒  x=3\begin{aligned}3x - 9 &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

מציבים y = 0

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הישרים y=2x−5y = 2x - 5 ו-y=−x+7y = -x + 7 נחתכים בנקודה אחת. מהו ה-yy של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2x−5=−x+72x - 5 = -x + 7

משווים בין שתי המשוואות

3x=12⇒x=4\begin{aligned}3x &= 12 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

פותרים ומוצאים את xx

y=2⋅4−5=3\begin{aligned}y &= 2 \cdot 4 - 5 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים באחד הישרים

נקודת החיתוך היא (4, 3)(4,\, 3). בדיקה בישר השני: −4+7=3-4 + 7 = 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מהי משוואת הישר העובר דרך הנקודות (2, 7)(2,\, 7) ו-(5, 1)(5,\, 1)?

  1. y=−2x+11y = -2x + 11
  2. y=−0.5x+8y = -0.5x + 8
  3. y=−2x+7y = -2x + 7
  4. y=2x+3y = 2x + 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=−2x+11y = -2x + 11

הפתרון:

m=1−75−2=−63=−2\begin{aligned}m &= \frac{1 - 7}{5 - 2} \\ &= \frac{-6}{3} \\ &= -2\end{aligned}

קודם השיפוע — אותו סדר חיסור למעלה ולמטה

7=−2⋅2+b7 = -2 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה (2, 7)(2,\, 7)

b=11b = 11

מוצאים את bb

בדיקה בנקודה השנייה: −2⋅5+11=1-2 \cdot 5 + 11 = 1. את השיפוע −0.5-0.5 מקבל מי שמחלק את הפרש ה-xx בהפרש ה-yy — הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בתוכנית סלולר א משלמים 30 ש״ח לחודש ועוד 0.5 ש״ח לכל דקת שיחה. בתוכנית ב משלמים 80 ש״ח לחודש ועוד 0.1 ש״ח לכל דקה. אחרי כמה דקות שיחה בחודש שתי התוכניות עולות אותו מחיר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 125

הפתרון:

y=0.5x+30  y=0.1x+80\begin{aligned}y &= 0.5x + 30 \ \\ \ y &= 0.1x + 80\end{aligned}

xx — דקות, yy — מחיר בש״ח. שני ישרים

0.5x+30=0.1x+800.5x + 30 = 0.1x + 80

אותו מחיר — משווים

0.4x=50⇒x=125\begin{aligned}0.4x &= 50 \Rightarrow x \\ &= 125\end{aligned}

פותרים

אחרי 125 דקות שתי התוכניות עולות 92.5 ש״ח. מעבר לזה תוכנית ב זולה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הישר y=−2x+8y = -2x + 8 ושני הצירים יוצרים משולש. מהו שטח המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

−2x+8=0⇒x=4\begin{aligned}-2x + 8 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: הנקודה (4, 0)(4,\, 0)

x=0⇒y=8\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 8\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: הנקודה (0, 8)(0,\, 8)

S=4⋅82=16\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 8}{2} \\ &= 16\end{aligned}

משולש ישר זווית — מכפלת הניצבים חלקי 2

שני הניצבים של המשולש יושבים על הצירים, ואורכם הוא המרחק של נקודות החיתוך מהראשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

במיכל יש 600 ליטר מים, ובכל דקה יוצאים ממנו 25 ליטר. כמות המים במיכל אחרי xx דקות היא y=−25x+600y = -25x + 600. אחרי כמה דקות המיכל מתרוקן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

−25x+600=0-25x + 600 = 0

מיכל ריק — מציבים y=0y = 0

25x=600⇒x=24\begin{aligned}25x &= 600 \Rightarrow x \\ &= 24\end{aligned}

פותרים

זו נקודת החיתוך עם ציר ה-xx: (24, 0)(24,\, 0). ה-bb, כלומר 600, הוא הכמות בהתחלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מחפשים את משוואת הישר ששיפועו −3-3 ועובר דרך (2, 4)(2,\, 4). שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

y=−3x+by = -3x + b
4=−3⋅2+b4 = -3 \cdot 2 + b
4=−6+b4 = -6 + b
b=−2b = -2
y=−3x+10y = -3x + 10
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: b=−2b = -2 → b=10b = 10

הפתרון:

4=−6+b⇒b=4+6\begin{aligned}4 &= -6 + b \Rightarrow b \\ &= 4 + 6\end{aligned}

מעבירים את −6-6 לצד השני — והסימן מתהפך

b=10b = 10

ולא 4−64 - 6

בדיקה: −3⋅2+10=4-3 \cdot 2 + 10 = 4. עם b=−2b = -2 הישר היה עובר ב-(2, −8)(2,\, -8).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

מחפשים את נקודת החיתוך של y=4x−3y = 4x - 3 ו-y=x+9y = x + 9. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

4x−3=x+94x - 3 = x + 9
4x−x=9−34x - x = 9 - 3
3x=123x = 12
x=4x = 4
y=4+9=13\begin{aligned}y &= 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4x−x=9−34x - x = 9 - 3 → 4x−x=9+34x - x = 9 + 3

הפתרון:

−3→+3-3 \to +3

מעבירים את −3-3 אגף — והסימן מתהפך

3x=12⇒x=4\begin{aligned}3x &= 12 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

מכאן הכול נכון

(4, 13)(4,\, 13)

נקודת החיתוך

בדיקה בישר הראשון: 4⋅4−3=134 \cdot 4 - 3 = 13.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

מחשבים את שיפוע הישר העובר דרך (1, 2)(1,\, 2) ו-(3, 10)(3,\, 10). שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

(x1, y1)=(1, 2)  (x2, y2)=(3, 10)\begin{aligned}(x_1,\, y_1) &= (1,\, 2) \ \\ \ (x_2,\, y_2) &= (3,\, 10)\end{aligned}
m=3−110−2m = \frac{3 - 1}{10 - 2}
m=82m = \frac{8}{2}
m=4m = 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: m=3−110−2m = \frac{3 - 1}{10 - 2} → m=10−23−1m = \frac{10 - 2}{3 - 1}

הפתרון:

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

הפרש ה-yy במונה, הפרש ה-xx במכנה

m=10−23−1=82=4\begin{aligned}m &= \frac{10 - 2}{3 - 1} \\ &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

בשורה השגויה המונה והמכנה התחלפו, והיא נותנת 14\frac{1}{4} במקום 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

לישר y=−4x+12y = -4x + 12:

החיתוך עם ציר ה-x הוא ( ____ , 0 ), והחיתוך עם ציר ה-y הוא ( 0 , ____ ).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: החיתוך עם ציר ה-x הוא ( 3 , 0 ), והחיתוך עם ציר ה-y הוא ( 0 , 12 ).

הפתרון:

−4x+12=0⇒x=3\begin{aligned}-4x + 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

ציר ה-xx: מציבים y=0y = 0

x=0⇒y=12\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 12\end{aligned}

ציר ה-yy: מציבים x=0x = 0, ויוצא בדיוק bb

שתי נקודות החיתוך הן (3, 0)(3,\, 0) ו-(0, 12)(0,\, 12).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים y=2x−1y = 2x - 1 ו-y=−3x+9y = -3x + 9.

נקודת החיתוך היא ( ____ , ____ ).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודת החיתוך היא ( 2 , 3 ).

הפתרון:

2x−1=−3x+92x - 1 = -3x + 9

משווים

5x=10⇒x=2\begin{aligned}5x &= 10 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

y=2⋅2−1=3\begin{aligned}y &= 2 \cdot 2 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים ומוצאים גם את yy

בדיקה בישר השני: −3⋅2+9=3-3 \cdot 2 + 9 = 3. התשובה היא זוג — (2, 3)(2,\, 3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

מיינו את הישרים: עולה או יורד?

  • עולה
  • יורד
  • y=−0.5x+4y = -0.5x + 4
  • y=−5x−2y = -5x - 2
  • y=13xy = \frac{1}{3}x
  • y=2x−7y = 2x - 7
  • y=3−xy = 3 - x
  • y=6+4xy = 6 + 4x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=2x−7y = 2x - 7 — עולה · y=−0.5x+4y = -0.5x + 4 — יורד · y=3−xy = 3 - x — יורד · y=13xy = \frac{1}{3}x — עולה · y=−5x−2y = -5x - 2 — יורד · y=6+4xy = 6 + 4x — עולה

הפתרון:

m>0: 2, 13, 4m > 0: \ 2 ,\ \frac{1}{3} ,\ 4

שיפוע חיובי — הישר עולה

m<0: −0.5, −1, −5m < 0: \ -0.5 ,\ -1 ,\ -5

שיפוע שלילי — הישר יורד

רק הסימן של המקדם של xx מכריע, גם כשהוא כתוב אחרי המספר החופשי, כמו ב-y=3−xy = 3 - x. ה-bb לא משנה את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

מיינו את הישרים: מקבילים לישר y=2x+3y = 2x + 3 או לא?

  • מקביל
  • לא מקביל
  • y=−2x+3y = -2x + 3
  • y=0.5x+3y = 0.5x + 3
  • y=2x−4y = 2x - 4
  • y=2xy = 2x
  • y=3x+2y = 3x + 2
  • y=7+2xy = 7 + 2x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=2x−4y = 2x - 4 — מקביל · y=−2x+3y = -2x + 3 — לא מקביל · y=2xy = 2x — מקביל · y=3x+2y = 3x + 2 — לא מקביל · y=0.5x+3y = 0.5x + 3 — לא מקביל · y=7+2xy = 7 + 2x — מקביל

הפתרון:

m=2m = 2

מקבילים: אותו שיפוע ו-bb אחר

m=−2 3 0.5\begin{aligned}m &= -2 \\ \ 3 \\ \ 0.5\end{aligned}

שיפוע אחר — הישרים נחתכים

אותו bb לא עושה ישרים מקבילים: y=−2x+3y = -2x + 3 חותך את y=2x+3y = 2x + 3 בדיוק בנקודה (0, 3)(0,\, 3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

סדרו את שורות הפתרון שמוצא את נקודת החיתוך של y=x+2y = x + 2 ו-y=−x+6y = -x + 6.

  • 2x=42x = 4
  • x+2=−x+6x + 2 = -x + 6
  • x=2x = 2
  • y=2+2=4y = 2 + 2 = 4
  • נקודת החיתוך היא (2, 4)(2,\, 4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x+2=−x+6x + 2 = -x + 6 · 2x=42x = 4 · x=2x = 2 · y=2+2=4y = 2 + 2 = 4 · נקודת החיתוך היא (2, 4)(2,\, 4)

הפתרון:

x+2=−x+6x + 2 = -x + 6

משווים בין שתי המשוואות

2x=4⇒x=2\begin{aligned}2x &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

y=4⇒(2, 4)y = 4 \Rightarrow (2,\, 4)

מציבים, ורושמים זוג

משווים, פותרים, מציבים — והתשובה היא נקודה, לא מספר בודד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

התאימו כל ישר לתיאור שלו

  • y=3y = 3
  • y=−2x+1y = -2x + 1
  • y=2x+1y = 2x + 1
  • y=2x−1y = 2x - 1
  • יורד, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1)
  • עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, −1)(0,\, -1)
  • עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1)
  • קו אופקי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=3y = 3 — קו אופקי · y=−2x+1y = -2x + 1 — יורד, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1) · y=2x+1y = 2x + 1 — עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1) · y=2x−1y = 2x - 1 — עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, −1)(0,\, -1)

הפתרון:

m=0m = 0

y=3y = 3 — אין xx, קו אופקי

m<0  b=1\begin{aligned}m < 0 \ \\ \ b &= 1\end{aligned}

y=−2x+1y = -2x + 1 — יורד

m>0  b=±1\begin{aligned}m > 0 \ \\ \ b &= \pm 1\end{aligned}

שני הישרים העולים נבדלים רק ב-bb

mm קובע את הכיוון, ו-bb קובע איפה הישר חותך את ציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת