אחוזים ובעיות כלכליות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

זה הפרק השימושי ביותר במסלול, והוא גם החוזר ביותר בבגרות. הכול נשען על מושג אחד: מקדם ההכפלה.

×1.2\times 1.2

התייקרות ב-20%.

×0.8\times 0.8

הנחה של 20%.

×1.05\times 1.05

ריבית של 5%.

שינויים רצופים

כששני שינויים באים זה אחרי זה — מכפילים את המקדמים. אף פעם לא מחברים אחוזים.

למה לא מחברים

מחיר עלה ב-20% ואז ירד ב-20%. מה קרה בסך הכול?

1.2×0.8=0.961.2 \times 0.8 = 0.96

מכפילים את שני המקדמים

ירידה של 4%\text{ירידה של 4\%}

ולא חזרה למחיר המקורי

הסיבה: ההנחה של 20% חושבה על מחיר גדול יותר. האחוזים לא מתבטלים כי הם נמדדים מבסיסים שונים.

ריבית דריבית

כסף בבנק לכמה שנים: כל שנה מכפילה שוב באותו מקדם. ולכן —

S=S0⋅(1+p)nS = S_0 \cdot (1 + p)^n

כאשר S0S_0 הוא הסכום ההתחלתי, pp הריבית כשבר עשרוני, ו-nn מספר השנים.

למצוא את המחיר המקורי מתוך המחיר אחרי שינוי: מחלקים במקדם. אחרי הנחה של 20% שילמו 160 — המקורי הוא 160:0.8=200160 : 0.8 = 200.

הטעות המובילה של האחוזים.

+20% ואז−20%⇒חזרה למקור+20\% \ \text{ואז} -20\% \Rightarrow \text{חזרה למקור}
×1.2×0.8=0.96\times 1.2 \times 0.8 = 0.96

ירידה של 4%. האחוזים נמדדים מבסיסים שונים ולכן לא מתבטלים.

מחיר עלה ב-20% ואז ירד ב-20%. האם חזר למקור?

להציג את התשובה והפתרון

לא — נשארים על 96%: 1.2×0.8=0.961.2 \times 0.8 = 0.96. הירידה נמדדה ממחיר גבוה יותר, ולכן היא גדולה יותר בשקלים.

אחרי הנחה של 25% שילמו 150 ₪. מה היה המחיר המקורי?

להציג את התשובה והפתרון

200 ₪: שילמו 75%, ולכן 0.75x=1500.75x = 150. מוסיפים 25% ל-150 — וטועים.

תרגילים

תרגיל 1

מוצר ב-200 ש״ח מקבל הנחה של 20%. מהו המחיר החדש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 160

הפתרון:

200×0.8=160200 \times 0.8 = 160

מקדם ההנחה

שני שלבים בפעולה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

אחרי הנחה של 20% שילמו 160 ש״ח. מהו המחיר המקורי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

160:0.8=200160 : 0.8 = 200

הכיוון ההפוך — חילוק

מהמחיר החדש למקורי — מחלקים במקדם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מחיר עלה ב-20% ואז ירד ב-20%. בכמה אחוזים הוא ירד בסך הכול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

1.2×0.8=0.961.2 \times 0.8 = 0.96

מכפילים מקדמים

ירידה של 4%\text{ירידה של 4\%}

לא חזרה למקור

האחוזים נמדדים מבסיסים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

1000 ש״ח בריבית 5% לשנתיים. כמה יהיה בסוף? (עגלו לשקל)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1103

הפתרון:

1000×1.0521000 \times 1.05^2

ריבית דריבית

=1102.5≈1103= 1102.5 \approx 1103

מחשבים

לא 1000×1.11000 \times 1.1 — השנה השנייה מחושבת על סכום גדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מוצר נקנה ב-150 ונמכר ב-180. מהו אחוז הרווח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

30150=0.2\frac{30}{150} = 0.2

הרווח חלקי מחיר הקנייה

=20%= 20\%

באחוזים

הבסיס הוא תמיד מחיר הקנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו: 15% מתוך 240 שקלים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

240⋅0.15=36240 \cdot 0.15 = 36

אחוז — כפל ב-0.15

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חולצה עולה 150 שקלים וקיבלה הנחה של 20%. מה המחיר החדש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

150⋅0.8=120150 \cdot 0.8 = 120

הדרך המהירה: כפל ב-0.8

הנחה של 20% משאירה 80% — כפל אחד במקום שני שלבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מחיר של 90 שקלים עלה ב-10%:

התוספת ____ שקלים, והמחיר החדש ____ שקלים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: התוספת 9 שקלים, והמחיר החדש 99 שקלים.

הפתרון:

90⋅1.1=9990 \cdot 1.1 = 99

עלייה — כפל ב-1.1

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בכיתה 120 תלמידים, ומהם 30 שמאליים. כמה אחוזים זה?

  1. 30%
  2. 25%
  3. 20%
  4. 40%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 25%

הפתרון:

30120=14=25%\begin{aligned}\frac{30}{120} &= \frac{1}{4} \\ &= 25\%\end{aligned}

החלק מתוך השלם

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שתי הנחות רצופות של 50% מוזילות את המוצר ב-100% — כלומר הוא חינם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

0.5⋅0.5=0.250.5 \cdot 0.5 = 0.25

הנחות מוכפלות, לא מחוברות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הפקידו 8000 ש״ח בתוכנית חיסכון בריבית דריבית של 3% לשנה. כמה כסף יהיה בתוכנית אחרי 4 שנים? (עגלו לשקל)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9004

הפתרון:

8000⋅1.0348000 \cdot 1.03^4

ארבע שנים — מכפילים ארבע פעמים במקדם 1.03

=9004.07≈9004= 9004.07 \approx 9004

מחשבים ומעגלים לשקל

הריבית של כל שנה מחושבת על הסכום שהצטבר עד אז, ולכן הרווח (1004 ש״ח) גדול מ-4⋅240=9604 \cdot 240 = 960 ש״ח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מכונית נקנתה ב-120000 ש״ח. בכל שנה ערכה יורד ב-15% מהערך שהיה לה בתחילת השנה. מה יהיה ערך המכונית אחרי 3 שנים (בש״ח)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 73695

הפתרון:

1−0.15=0.851 - 0.15 = 0.85

ירידה של 15% — מקדם 0.85

120000⋅0.853120000 \cdot 0.85^3

שלוש שנים — שלוש הכפלות

=73695= 73695

הערך אחרי 3 שנים

זו אותה נוסחה של ריבית דריבית, עם מקדם קטן מ-1. לא מורידים 3⋅15%=45%3 \cdot 15\% = 45\% — כל ירידה נמדדת מערך קטן יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מחיר של מעיל היה 400 ש״ח. בתחילת החורף המחיר עלה ב-15%, ובסוף העונה המחיר החדש ירד ב-30%. מהו המחיר הסופי של המעיל (בש״ח)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 322

הפתרון:

1.15⋅0.7=0.8051.15 \cdot 0.7 = 0.805

מכפילים את שני המקדמים

400⋅0.805=322400 \cdot 0.805 = 322

מחילים את המקדם הכולל על המחיר

המחיר הסופי הוא 80.5% מהמקורי, כלומר ירידה כוללת של 19.5% — לא 15%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

אחרי הנחה של 35% שילמה דנה על מחשב נייד 2600 ש״ח. מה היה מחיר המחשב לפני ההנחה (בש״ח)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4000

הפתרון:

1−0.35=0.651 - 0.35 = 0.65

דנה שילמה 65% מהמחיר המקורי

0.65x=26000.65x = 2600

המשוואה

x=2600:0.65=4000\begin{aligned}x &= 2600 : 0.65 \\ &= 4000\end{aligned}

מחלקים במקדם

מהמחיר אחרי השינוי אל המחיר המקורי — מחלקים במקדם. הוספה של 35% ל-2600 נותנת 3510, וזו טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

סכום כסף הופקד בריבית דריבית של 10% לשנה. אחרי כמה שנים שלמות הסכום בחשבון יהיה לראשונה גדול פי 1.6 לפחות מהסכום ההתחלתי?

  1. 4 שנים
  2. 6 שנים
  3. 3 שנים
  4. 5 שנים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 5 שנים

הפתרון:

1.14=1.4641<1.61.1^4 = 1.4641 < 1.6

אחרי 4 שנים — עדיין פחות מפי 1.6

1.15=1.61051≥1.61.1^5 = 1.61051 \geq 1.6

אחרי 5 שנים — עוברים את פי 1.6

הסכום ההתחלתי לא משנה: בודקים רק את המקדם 1.1n1.1^n. מי שמחבר 10% בכל שנה מגיע ל-60% רק אחרי 6 שנים — אבל הריבית דריבית מגיעה לשם כבר אחרי 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מחיר של 500 ש״ח עלה ב-10%, ואחר כך המחיר החדש עלה עוד ב-20%. שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

מקדם ראשון: 1.1\text{מקדם ראשון: } 1.1
מקדם שני: 1.2\text{מקדם שני: } 1.2
מקדם כולל: 1.1+1.2−1=1.3\text{מקדם כולל: } 1.1 + 1.2 - 1 = 1.3
500⋅1.32=660500 \cdot 1.32 = 660
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקדם כולל: 1.1+1.2−1=1.3\text{מקדם כולל: } 1.1 + 1.2 - 1 = 1.3 → מקדם כולל: 1.1⋅1.2=1.32\text{מקדם כולל: } 1.1 \cdot 1.2 = 1.32

הפתרון:

1.1⋅1.2=1.321.1 \cdot 1.2 = 1.32

שינויים רצופים — מכפילים מקדמים

500⋅1.32=660500 \cdot 1.32 = 660

המחיר הסופי

חיבור האחוזים (10% ועוד 20%) מתעלם מכך שה-20% נמדדים מהמחיר שכבר עלה. העלייה הכוללת היא 32%, לא 30%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

אחרי הנחה של 20% שילמו על מעיל 240 ש״ח. מה היה המחיר המקורי? שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

שילמו 80% מהמחיר המקורי\text{שילמו } 80\% \text{ מהמחיר המקורי}
0.8x=2400.8x = 240
x=240⋅1.2=288\begin{aligned}x &= 240 \cdot 1.2 \\ &= 288\end{aligned}
בדיקה: 300⋅0.8=240\text{בדיקה: } 300 \cdot 0.8 = 240
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=240⋅1.2=288x = 240 \cdot 1.2 = 288 → x=240:0.8=300x = 240 : 0.8 = 300

הפתרון:

0.8x=2400.8x = 240

המחיר ששילמו הוא 80% מהמקורי

x=240:0.8=300\begin{aligned}x &= 240 : 0.8 \\ &= 300\end{aligned}

מחלקים במקדם

הוספה של 20% ל-240 היא הטעות הקלאסית: ה-20% של ההנחה נמדדו מהמחיר המקורי, לא מ-240. הבדיקה בשורה האחרונה מראה שהמחיר המקורי הוא 300.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

סוחר קנה טלפון ב-1200 ש״ח ומכר אותו ב-1500 ש״ח. מהו אחוז הרווח? שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

1500−1200=3001500 - 1200 = 300
3001500=0.2\frac{300}{1500} = 0.2
אחוז הרווח: 25%\text{אחוז הרווח: } 25\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3001500=0.2\frac{300}{1500} = 0.2 → 3001200=0.25\frac{300}{1200} = 0.25

הפתרון:

1500−1200=3001500 - 1200 = 300

הרווח בשקלים

3001200=0.25=25%\begin{aligned}\frac{300}{1200} &= 0.25 \\ &= 25\%\end{aligned}

מחלקים במחיר הקנייה

אחוז הרווח נמדד תמיד ביחס למחיר הקנייה, כלומר למחיר שלפני השינוי. חלוקה במחיר המכירה נותנת 20%, וזו טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

הפקידו 2000 ש״ח בבנק בריבית דריבית של 5% לשנה. השלימו:

אחרי שנה אחת יהיו בחשבון ____ ש״ח, ואחרי שנתיים ____ ש״ח.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אחרי שנה אחת יהיו בחשבון 2100 ש״ח, ואחרי שנתיים 2205 ש״ח.

הפתרון:

2000⋅1.05=21002000 \cdot 1.05 = 2100

השנה הראשונה

2100⋅1.05=22052100 \cdot 1.05 = 2205

השנה השנייה — הריבית על 2100, לא על 2000

בשנה השנייה הריבית היא 105 ש״ח ולא 100: היא מחושבת על הסכום שכבר גדל. זה ההבדל בין ריבית דריבית לריבית רגילה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

המחיר של כרטיס נסיעה עלה מ-80 ש״ח ל-92 ש״ח. השלימו:

המחיר עלה ב-____ ש״ח, שהם ____% מהמחיר המקורי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המחיר עלה ב-12 ש״ח, שהם 15% מהמחיר המקורי.

הפתרון:

92−80=1292 - 80 = 12

השינוי בשקלים

1280=0.15=15%\begin{aligned}\frac{12}{80} &= 0.15 \\ &= 15\%\end{aligned}

השינוי חלקי המחיר המקורי

אחוז השינוי נמדד מהמחיר שלפני השינוי. אפשר לבדוק גם במקדם: 9280=1.15\frac{92}{80} = 1.15.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

כל מקדם הכפלה מתאר שינוי של מחיר. מיינו את המקדמים לפי סוג השינוי.

  • התייקרות
  • הוזלה
  • ×0.6\times 0.6
  • ×0.93\times 0.93
  • ×0.99\times 0.99
  • ×1.07\times 1.07
  • ×1.5\times 1.5
  • ×2\times 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ×1.07\times 1.07 — התייקרות · ×0.93\times 0.93 — הוזלה · ×1.5\times 1.5 — התייקרות · ×0.6\times 0.6 — הוזלה · ×2\times 2 — התייקרות · ×0.99\times 0.99 — הוזלה

הפתרון:

מקדם>1\text{מקדם} > 1

מקדם גדול מ-1 — התייקרות: 1.07 הוא 7%, 1.5 הוא 50%, 2 הוא 100%

מקדם<1\text{מקדם} < 1

מקדם קטן מ-1 — הוזלה: 0.93 הוא 7%, 0.6 הוא 40%, 0.99 הוא 1%

משווים את המקדם ל-1. המרחק מ-1 הוא אחוז השינוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

בכל שורה שני שינויים רצופים של אותו מחיר. מיינו לפי המחיר הסופי, בהשוואה למחיר המקורי.

  • גבוה מהמקורי
  • נמוך מהמקורי
  • ירידה של 10% ואז עלייה של 10%
  • ירידה של 20% ואז עלייה של 30%
  • ירידה של 50% ואז עלייה של 80%
  • עלייה של 20% ואז ירידה של 20%
  • עלייה של 40% ואז ירידה של 25%
  • עלייה של 50% ואז ירידה של 30%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עלייה של 20% ואז ירידה של 20% — נמוך מהמקורי · עלייה של 50% ואז ירידה של 30% — גבוה מהמקורי · ירידה של 10% ואז עלייה של 10% — נמוך מהמקורי · עלייה של 40% ואז ירידה של 25% — גבוה מהמקורי · ירידה של 20% ואז עלייה של 30% — גבוה מהמקורי · ירידה של 50% ואז עלייה של 80% — נמוך מהמקורי

הפתרון:

1.5⋅0.7=1.05 1.4⋅0.75=1.05 0.8⋅1.3=1.04\begin{aligned}1.5 \cdot 0.7 &= 1.05 \\ \ 1.4 \cdot 0.75 &= 1.05 \\ \ 0.8 \cdot 1.3 &= 1.04\end{aligned}

מקדם כולל גדול מ-1 — גבוה מהמקורי

1.2⋅0.8=0.96 0.9⋅1.1=0.99 0.5⋅1.8=0.9\begin{aligned}1.2 \cdot 0.8 &= 0.96 \\ \ 0.9 \cdot 1.1 &= 0.99 \\ \ 0.5 \cdot 1.8 &= 0.9\end{aligned}

מקדם כולל קטן מ-1 — נמוך מהמקורי

לא משווים את האחוזים — מכפילים את המקדמים ומשווים את התוצאה ל-1. ירידה של 50% ואז עלייה של 80% עדיין משאירה את המחיר נמוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

לכל אחד מהשינויים הבאים מתחילים מסכום של 1000 ש״ח. סדרו את השינויים מהסכום הסופי הקטן ביותר לגדול ביותר.

  • הנחה של 20%
  • עלייה של 20% ואז ירידה של 20%
  • ריבית דריבית של 5% לשנה, במשך שנתיים
  • שתי הנחות רצופות של 10%
  • שתי עליות רצופות של 10%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הנחה של 20% · שתי הנחות רצופות של 10% · עלייה של 20% ואז ירידה של 20% · ריבית דריבית של 5% לשנה, במשך שנתיים · שתי עליות רצופות של 10%

הפתרון:

1000⋅0.8=8001000 \cdot 0.8 = 800

הנחה של 20%

1000⋅0.92=8101000 \cdot 0.9^2 = 810

שתי הנחות של 10%

1000⋅1.2⋅0.8=9601000 \cdot 1.2 \cdot 0.8 = 960

עלייה ואז ירידה

1000⋅1.052=1102.51000 \cdot 1.05^2 = 1102.5

ריבית דריבית

1000⋅1.12=12101000 \cdot 1.1^2 = 1210

שתי עליות של 10%

שתי הנחות של 10% אינן הנחה של 20%: ההנחה השנייה קטנה יותר, כי היא נמדדת ממחיר נמוך יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

התאימו לכל שינוי את מקדם ההכפלה שלו.

  • הנחה של 30%
  • התייקרות של 30%
  • הנחה של 3%
  • התייקרות של 3%
  • 0.70.7
  • 0.970.97
  • 1.031.03
  • 1.31.3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הנחה של 30% — 0.70.7 · התייקרות של 30% — 1.31.3 · הנחה של 3% — 0.970.97 · התייקרות של 3% — 1.031.03

הפתרון:

1−0.3=0.7 1+0.3=1.3\begin{aligned}1 - 0.3 &= 0.7 \\ \ 1 + 0.3 &= 1.3\end{aligned}

30% — מורידים מ-1 או מוסיפים ל-1

1−0.03=0.97 1+0.03=1.03\begin{aligned}1 - 0.03 &= 0.97 \\ \ 1 + 0.03 &= 1.03\end{aligned}

3% הם 0.03, לא 0.3

התייקרות מוסיפה את האחוז ל-1, והנחה מורידה אותו מ-1. שימו לב ש-3% הם 0.030.03.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת