סטטיסטיקה והסתברות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שני נושאים בפרק אחד, ושניהם נותנים נקודות קלות בבגרות אם השיטה מסודרת.

שלושת המדדים

xˉ\bar{x}

ממוצע — סכום חלקי כמות. מושפע מכל ערך, כולל חריגים.

MeMe

חציון — הערך האמצעי אחרי סידור. חסין לערכים חריגים.

MoMo

שכיח — הערך שחוזר הכי הרבה.

לפני שמחפשים חציון — מסדרים את הנתונים. וכשמספר הנתונים זוגי, החציון הוא ממוצע שני האמצעיים.

הסתברות

P=knP = \frac{k}{n}

כאשר kk הוא מספר המקרים הרצויים ו-nn הוא מספר המקרים האפשריים.

ההסתברות היא תמיד מספר בין 0 ל-1. אם יצאה גדולה מ-1 — יש טעות, בלי לבדוק כלום נוסף.

שתי מילים שקובעות הכול

×\times

«וגם» — שני אירועים שקורים יחד. מכפילים.

++

«או» — אחד או השני. מחברים.

שתי טיסות

ההסתברות לטוס לארצות הברית היא 15\frac{1}{5}, ולדובאי 17\frac{1}{7}.

15×17=135\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{35}

לטוס לשתיהן — «וגם»

15+17=1235\frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{12}{35}

לטוס לאחת מהן — «או»

שימו לב לכיוון: ה«וגם» יוצא קטן משניהם (קשה יותר ששניהם יקרו), וה«או» יוצא גדול משניהם. זו בדיקת היגיון מיידית.

שתי הטעויות של הפרק.

חציון של 9, 4, 7\text{חציון של } 9,\ 4,\ 7
קודם לסדר: 4, 7, 9\text{קודם לסדר: } 4,\ 7,\ 9

החציון הוא 7, ולא 4. בלי סידור אין חציון.

P=1.4P = 1.4
0≤P≤10 \leq P \leq 1

הסתברות לעולם אינה גדולה מ-1.

בנתונים 4, 5, 5, 6, 60 — הממוצע או החציון מייצג טוב יותר?

להציג את התשובה והפתרון

החציון (5). הממוצע 16 נגרר אחרי ה-60 החריג. ערך קיצוני מזיז ממוצע, לא חציון.

תרגילים

תרגיל 1

מהו הממוצע של 4, 6, 8, 10?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

28:4=728 : 4 = 7

סכום חלקי כמות

בין 4 ל-10 — הגיוני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו החציון של 9, 4, 7?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

4, 7, 94,\ 7,\ 9

קודם מסדרים

77

האמצעי

בלי סידור אין חציון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו החציון של 2, 4, 6, 10?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

(4+6):2=5(4 + 6) : 2 = 5

מספר זוגי — ממוצע שני האמצעיים

החציון לא חייב להיות אחד הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הסתברות לטוס לארה״ב 15\frac{1}{5}, לדובאי 17\frac{1}{7}. מהי ההסתברות לטוס לשתיהן? כתבו את המכנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 35

הפתרון:

15×17=135\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{35}

«וגם» — כפל

התוצאה קטנה משתיהן — קשה יותר ששניהם יקרו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

איזו הסתברות אינה אפשרית?

  1. 11
  2. 1.41.4
  3. 00
  4. 0.750.75
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 1.41.4

הפתרון:

0≤P≤10 \leq P \leq 1

התחום

הסתברות גדולה מ-1 היא סימן ודאי לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו את הממוצע של הציונים 4, 7, 9, 12, 8:

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

4+7+9+12+85=405=8\begin{aligned}\frac{4+7+9+12+8}{5} &= \frac{40}{5} \\ &= 8\end{aligned}

סכום חלקי כמות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו החציון של 3, 9, 5, 7, 11?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

3,5,7,9,113, 5, \mathbf{7}, 9, 11

ממיינים — ולוקחים את האמצעי

החציון דורש מיון קודם. בלי מיון, ה-5 שבאמצע הרשימה מטעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ברשימה 2, 5, 5, 5, 8, 9 — מהו השכיח?

  1. 5
  2. 8
  3. 9
  4. 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 5

הפתרון:

5,5,55, 5, 5

הערך שמופיע הכי הרבה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ברשימה 3, 6, 8, 11:

הטווח הוא הגדול פחות הקטן: ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הטווח הוא הגדול פחות הקטן: 8.

הפתרון:

11−3=811 - 3 = 8

טווח — מרחק הקצוות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אם מוסיפים לרשימה ערך אחד גדול מאוד, הממוצע משתנה — אבל החציון כמעט לא זז.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

1,1,1,1,100\text{1,1,1,1,100}

ממוצע 20.8 — חציון 1

זו הסיבה שמדווחים שכר חציוני: עשיר אחד לא מזיז אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בכיתה 25 תלמידים, והממוצע שלהם במבחן היה 72. חמישה תלמידים שהיו חולים נבחנו מאוחר יותר, והממוצע שלהם היה 84. מהו הממוצע של כל 30 התלמידים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 74

הפתרון:

25⋅72=180025 \cdot 72 = 1800

סכום הציונים של הקבוצה הראשונה

5⋅84=4205 \cdot 84 = 420

סכום הציונים של הקבוצה השנייה

xˉ=1800+42030=222030=74\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1800 + 420}{30} \\ &= \frac{2220}{30} \\ &= 74\end{aligned}

סכום כולל חלקי מספר כולל

לא מחשבים 72+842=78\frac{72 + 84}{2} = 78: בקבוצה הראשונה יש הרבה יותר תלמידים, ולכן היא «מושכת» את הממוצע אליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

אלה הציונים של 10 תלמידים: 65, 80, 72, 90, 55, 80, 68, 95, 74, 80. מהו החציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 77

הפתרון:

55, 65, 68, 72, 74, 80, 80, 80, 90, 9555,\ 65,\ 68,\ 72,\ \mathbf{74},\ \mathbf{80},\ 80,\ 80,\ 90,\ 95

קודם מסדרים

Me=74+802=77\begin{aligned}Me &= \frac{74 + 80}{2} \\ &= 77\end{aligned}

10 נתונים — ממוצע של הנתון החמישי והנתון השישי

מספר הנתונים זוגי, ולכן יש שני אמצעיים. החציון 77 אינו אחד הציונים, וזה בסדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בקופסה 5 כדורים אדומים, 7 כדורים כחולים ו-8 כדורים ירוקים. מוציאים כדור אחד באקראי. מהי ההסתברות שהכדור אינו כחול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.65

הפתרון:

n=5+7+8=20\begin{aligned}n &= 5 + 7 + 8 \\ &= 20\end{aligned}

כל המקרים האפשריים

k=5+8=13\begin{aligned}k &= 5 + 8 \\ &= 13\end{aligned}

המקרים הרצויים: אדום או ירוק

P=1320=0.65\begin{aligned}P &= \frac{13}{20} \\ &= 0.65\end{aligned}

רצויים חלקי אפשריים

אפשר גם בדרך המשלים: ההסתברות לכחול היא 720=0.35\frac{7}{20} = 0.35, ו-1−0.35=0.651 - 0.35 = 0.65.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

במפעל שתי מכונות שפועלות באופן בלתי תלוי. ההסתברות שמכונה A תקינה היא 0.9, וההסתברות שמכונה B תקינה היא 0.8. מהי ההסתברות ששתי המכונות תקינות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.72

הפתרון:

P=0.9×0.8P = 0.9 \times 0.8

«וגם» — מכפילים

=0.72= 0.72

התוצאה קטנה משתי ההסתברויות

קשה יותר ששתי המכונות יהיו תקינות מאשר שאחת מהן תהיה תקינה, ולכן התוצאה קטנה מ-0.8 ומ-0.9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בשקית 4 סוכריות בטעם תות, 6 בטעם לימון ו-10 בטעם מנטה. מוציאים סוכרייה אחת באקראי. מהי ההסתברות שהיא בטעם תות או בטעם לימון?

  1. 0.060.06
  2. 0.50.5
  3. 0.20.2
  4. 0.30.3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 0.50.5

הפתרון:

P(תות)=420 P(לימון)=620\begin{aligned}P(\text{תות}) &= \frac{4}{20} \\ \ P(\text{לימון}) &= \frac{6}{20}\end{aligned}

ההסתברות של כל טעם

420+620=1020=0.5\begin{aligned}\frac{4}{20} + \frac{6}{20} &= \frac{10}{20} \\ &= 0.5\end{aligned}

«או» — מחברים

סוכרייה אחת לא יכולה להיות גם תות וגם לימון, ולכן מחברים. התשובה 0.060.06 היא מכפלה — הטעות של «או».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

מצאו את החציון של הנתונים 12, 5, 9, 3, 7. שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

5 נתונים⇒החציון הוא הנתון השלישי5 \text{ נתונים} \Rightarrow \text{החציון הוא הנתון השלישי}
12, 5, 9, 3, 712,\ 5,\ \mathbf{9},\ 3,\ 7
Me=7Me = 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12, 5, 9, 3, 712,\ 5,\ \mathbf{9},\ 3,\ 7 → 3, 5, 7, 9, 123,\ 5,\ \mathbf{7},\ 9,\ 12

הפתרון:

3, 5, 7, 9, 123,\ 5,\ 7,\ 9,\ 12

קודם מסדרים מהקטן לגדול

Me=7Me = 7

הנתון השלישי ברשימה המסודרת

השורה השנייה לוקחת את האמצעי של הרשימה כפי שנכתבה, בלי לסדר. בלי סידור אין חציון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

במרוץ ההסתברות שדני יגיע ראשון היא 0.2, וההסתברות שיוסי יגיע ראשון היא 0.3. מהי ההסתברות שאחד משניהם יגיע ראשון? שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

שניהם לא יכולים להגיע ראשונים יחד\text{שניהם לא יכולים להגיע ראשונים יחד}
P=0.2×0.3P = 0.2 \times 0.3
P=0.5P = 0.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P=0.2×0.3P = 0.2 \times 0.3 → P=0.2+0.3P = 0.2 + 0.3

הפתרון:

P=0.2+0.3P = 0.2 + 0.3

«או» — מחברים

P=0.5P = 0.5

התוצאה גדולה משתי ההסתברויות

השאלה היא דני או יוסי, ולכן מחברים. המכפלה 0.06 קטנה משתיהן — זו התוצאה של «וגם», ובדיקת ההיגיון מגלה את הטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

הנתונים: 4, 9, 5, 9, 10, 3, 9, 7. השלימו:

השכיח הוא ____, החציון הוא ____, והממוצע הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השכיח הוא 9, החציון הוא 8, והממוצע הוא 7.

הפתרון:

3, 4, 5, 7, 9, 9, 9, 103,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9,\ 9,\ 9,\ 10

מסדרים

Mo=9Mo = 9

9 מופיע שלוש פעמים

Me=7+92=8\begin{aligned}Me &= \frac{7 + 9}{2} \\ &= 8\end{aligned}

8 נתונים — ממוצע של הרביעי ושל החמישי

xˉ=568=7\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{56}{8} \\ &= 7\end{aligned}

סכום חלקי כמות

שלושה מדדים, שלוש תשובות שונות לאותם נתונים. כל מדד עונה על שאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ההסתברות שיירד גשם ביום ראשון היא 0.3, וההסתברות שיירד גשם ביום שני היא 0.4. אין קשר בין שני הימים. השלימו:

ההסתברות שלא יירד גשם ביום ראשון היא ____, ושלא יירד גשם ביום שני היא ____. ההסתברות שלא יירד גשם באף אחד משני הימים היא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ההסתברות שלא יירד גשם ביום ראשון היא 0.7, ושלא יירד גשם ביום שני היא 0.6. ההסתברות שלא יירד גשם באף אחד משני הימים היא 0.42.

הפתרון:

1−0.3=0.71 - 0.3 = 0.7

המשלים של גשם ביום ראשון

1−0.4=0.61 - 0.4 = 0.6

המשלים של גשם ביום שני

0.7×0.6=0.420.7 \times 0.6 = 0.42

יבש ביום ראשון «וגם» ביום שני — מכפילים

«באף אחד מהימים» פירושו יבש ביום הראשון וגם יבש ביום השני. לכן מכפילים את שתי ההסתברויות המשלימות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

מיינו את השאלות לפי הפעולה שמחשבת את ההסתברות.

  • מכפילים («וגם»)
  • מחברים («או»)
  • מוציאים כדור אחד מקופסה: הכדור אדום או כחול
  • מטילים מטבע וקובייה: «עץ» במטבע וגם מספר זוגי בקובייה
  • מטילים קובייה אחת: יוצא 1 או יוצא 2
  • מטילים קובייה פעמיים: 6 בשתי ההטלות
  • שני תלמידים נבחנים באופן בלתי תלוי: שניהם עוברים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מטילים קובייה פעמיים: 6 בשתי ההטלות — מכפילים («וגם») · מוציאים כדור אחד מקופסה: הכדור אדום או כחול — מחברים («או») · מטילים מטבע וקובייה: «עץ» במטבע וגם מספר זוגי בקובייה — מכפילים («וגם») · מטילים קובייה אחת: יוצא 1 או יוצא 2 — מחברים («או») · שני תלמידים נבחנים באופן בלתי תלוי: שניהם עוברים — מכפילים («וגם»)

הפתרון:

×\times

שני מאורעות שקורים יחד: שתי הטלות, מטבע וקובייה, שני תלמידים

++

תוצאה אחת מתוך כמה תוצאות שלא יכולות לקרות יחד: צבע של כדור אחד, מספר בהטלה אחת

שואלים: האם צריך ששני הדברים יקרו (וגם), או שמספיק שאחד מהם יקרה (או)?

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

בנתונים 2, 4, 4, 7, 9 מחליפים את 9 ב-30. מיינו את המדדים: אילו משתנים ואילו לא?

  • משתנה
  • לא משתנה
  • החציון
  • הטווח
  • הממוצע
  • השכיח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע — משתנה · החציון — לא משתנה · השכיח — לא משתנה · הטווח — משתנה

הפתרון:

xˉ:5.2→9.4, טווח:7→28\bar{x}: 5.2 \to 9.4,\ \text{טווח}: 7 \to 28

הממוצע והטווח משתמשים בערך הגדול — הם משתנים

Me=4 Mo=4\begin{aligned}Me &= 4 \\ \ Mo &= 4\end{aligned}

האמצעי והערך שחוזר לא זזים

ערך קיצוני מזיז את הממוצע ואת הטווח. החציון והשכיח לא מושפעים ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

מיינו את המספרים: איזה מהם יכול להיות הסתברות?

  • הסתברות אפשרית
  • לא ייתכן
  • −0.2-0.2
  • 38\frac{3}{8}
  • 75\frac{7}{5}
  • 0.070.07
  • 1.051.05
  • 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.070.07 — הסתברות אפשרית · 75\frac{7}{5} — לא ייתכן · −0.2-0.2 — לא ייתכן · 11 — הסתברות אפשרית · 38\frac{3}{8} — הסתברות אפשרית · 1.051.05 — לא ייתכן

הפתרון:

0≤P≤10 \leq P \leq 1

ההסתברות היא תמיד בין 0 ל-1

75=1.4>1 1.05>1 −0.2<0\begin{aligned}\frac{7}{5} &= 1.4 > 1 \\ \ 1.05 > 1 \\ \ -0.2 < 0\end{aligned}

מחוץ לתחום — לא ייתכן

הסתברות 1 היא מאורע ודאי, והיא אפשרית. שבר שהמונה שלו גדול מהמכנה גדול מ-1, ולכן אינו הסתברות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

מטילים קובייה רגילה פעם אחת. התאימו לכל מאורע את ההסתברות שלו.

  • יוצא מספר זוגי
  • יוצא מספר גדול מ-4
  • יוצא 6
  • יוצא מספר קטן מ-7
  • יוצא 7
  • 12\frac{1}{2}
  • 13\frac{1}{3}
  • 16\frac{1}{6}
  • 00
  • 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: יוצא מספר זוגי — 12\frac{1}{2} · יוצא מספר גדול מ-4 — 13\frac{1}{3} · יוצא 6 — 16\frac{1}{6} · יוצא מספר קטן מ-7 — 11 · יוצא 7 — 00

הפתרון:

36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

זוגי: 2, 4, 6

26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

גדול מ-4: 5, 6

66=1 06=0\begin{aligned}\frac{6}{6} &= 1 \\ \ \frac{0}{6} &= 0\end{aligned}

כל התוצאות קטנות מ-7, ואף אחת אינה 7

בכל מאורע סופרים את המקרים הרצויים ומחלקים ב-6, מספר המקרים האפשריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

הנתונים: 2, 2, 3, 5, 6, 24. סדרו את הערכים מהקטן לגדול.

  • החציון
  • הטווח
  • הממוצע
  • הנתון הגדול ביותר
  • השכיח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השכיח · החציון · הממוצע · הטווח · הנתון הגדול ביותר

הפתרון:

Mo=2Mo = 2

2 מופיע פעמיים

Me=3+52=4\begin{aligned}Me &= \frac{3 + 5}{2} \\ &= 4\end{aligned}

ממוצע של שני האמצעיים

xˉ=426=7\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{42}{6} \\ &= 7\end{aligned}

סכום חלקי כמות

24−2=2224 - 2 = 22

הטווח

2424

הנתון הגדול ביותר

הנתון החריג 24 מושך את הממוצע למעלה, הרחק מהחציון. הטווח קטן מהנתון הגדול ביותר, כי מחסירים ממנו את הקטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת