בעיות מילוליות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבגרות של 3 יחידות הבעיות המילוליות שוות הרבה נקודות, והן חוזרות על עצמן. ארבע משפחות מכסות כמעט הכול.

S=v⋅tS = v \cdot t

תנועה — טבלה של מהירות, זמן ומרחק, שורה לכל נוסע.

כמות×מחיר\text{כמות} \times \text{מחיר}

קנייה ומכירה — שורה לכל מוצר, ועמודה לסכום.

1:t1 : t

הספק — כמה מהעבודה נעשה ביחידת זמן.

כמות×ריכוז\text{כמות} \times \text{ריכוז}

תערובת — שורה לכל רכיב.

בכל המשפחות אותם שלושה שלבים: בוחרים xx (תמיד הגודל הקטן), ממלאים טבלה, ומוצאים את השורה שנותנת את המשוואה.

תנועה — יחידות קודם

אם המהירות בקמ״ש, הזמן חייב להיות בשעות. 40 דקות הן 23\frac{2}{3} שעה, ולא 0.40. זו הטעות שחוזרת יותר מכל אחרת.

רדיפה

מכונית ב-90 קמ״ש רודפת אחרי משאית ב-60 קמ״ש, והפער 45 ק״מ. אחרי כמה זמן תשיג?

90−60=3090 - 60 = 30

רדיפה — מחסרים מהירויות

45:30=1.545 : 30 = 1.5

זמן שווה פער חלקי קצב הסגירה

1.5 שעות1.5 \ \text{שעות}

שעה וחצי

הספק — הרעיון שנראה מוזר

פועל שמסיים עבודה ב-6 שעות עושה שישית מהעבודה בכל שעה. כששניים עובדים יחד — מחברים את ההספקים, לא את הזמנים.

שני פועלים

אחד מסיים ב-6 שעות, השני ב-3. בכמה זמן יחד?

16+13=12\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}

ההספק המשותף — חצי עבודה בשעה

1:12=21 : \frac{1}{2} = 2

ולכן שעתיים לעבודה שלמה

בדיקת היגיון להספק: התוצאה חייבת להיות קטנה מכל אחד מהזמנים בנפרד. שניים יחד תמיד מהירים יותר מהמהיר שבהם.

שתי הטעויות של הבעיות המילוליות.

40 דקות=0.40 שעה40 \ \text{דקות} = 0.40 \ \text{שעה}
=23 שעה= \frac{2}{3} \ \text{שעה}

ההמרה היא חילוק ב-60, לא הזזת נקודה.

הספק משותף=6+3\text{הספק משותף} = 6 + 3
=16+13= \frac{1}{6} + \frac{1}{3}

מחברים הספקים, לא זמנים.

בבעיית תנועה המהירות בקמ״ש והזמן 40 דקות. במה מציבים?

להציג את התשובה והפתרון

ב-23\frac{2}{3} שעה — לא 0.40. אי-התאמת יחידות היא הטעות שחוזרת יותר מכל אחרת בפרק.

את מי כדאי לסמן ב-xx בבעיה מילולית?

להציג את התשובה והפתרון

בדרך כלל את הגודל הקטן — כך שאר הגדלים נכתבים בחיבור ובכפל, בלי חיסורים שמזמינים טעות סימן.

תרגילים

תרגיל 1

מכונית ב-90 קמ״ש רודפת אחרי משאית ב-60 קמ״ש, והפער 45 ק״מ. אחרי כמה שעות תשיג?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

90−60=3090 - 60 = 30

רדיפה — מחסרים

45:30=1.545 : 30 = 1.5

זמן

רק ההפרש מקצר את הפער.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פועל אחד מסיים ב-6 שעות והשני ב-3. בכמה שעות יסיימו יחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

16+13=12\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}

הספק משותף

1:12=21 : \frac{1}{2} = 2

הזמן

קטן משניהם — בדיקת ההיגיון עברה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה שעות הן 40 דקות? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.67

הפתרון:

40:60=2340 : 60 = \frac{2}{3}

חילוק ב-60

≈0.67\approx 0.67

עשרוני

לא 0.40 — ההמרה היא חילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שתי מכוניות יוצאות זו מול זו ממרחק 240 ק״מ ב-70 ו-50 קמ״ש. אחרי כמה שעות ייפגשו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

70+50=12070 + 50 = 120

זה מול זה — מחברים

240:120=2240 : 120 = 2

הזמן

בדיקה: 140+100=240140 + 100 = 240.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מכונית נוסעת במהירות 80 קמ״ש במשך 3 שעות. איזה מרחק עברה (בק״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 240

הפתרון:

80⋅3=24080 \cdot 3 = 240

דרך = מהירות כפול זמן

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לדנה וליובל יחד 45 ספרים, ולדנה 7 יותר מליובל. כמה ספרים ליובל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19

הפתרון:

x+(x+7)=45  ⇒  x=19\begin{aligned}x + (x + 7) &= 45 \;\Rightarrow\; x \\ &= 19\end{aligned}

x הוא הקטן

מורידים את העודף: 45 פחות 7 הם 38, וחצי מזה — 19.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מחברת עולה 5 שקלים. קניתם מחברות ב-35 שקלים:

מספר המחברות: ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר המחברות: 7.

הפתרון:

35:5=735 : 5 = 7

חילוק

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

איך כותבים באלגברה «מספר הגדול פי 3 מ-x»?

  1. x3\frac{x}{3}
  2. x−3x - 3
  3. 3x3x
  4. x+3x + 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 3x3x

הפתרון:

3x3x

«פי» — כפל

«גדול ב-3» היה חיבור; «גדול פי 3» הוא כפל. המילה הקטנה משנה הכול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שני רוכבים יוצאים זה מול זה משתי ערים במרחק 200 ק״מ, במהירויות 60 ו-40 קמ״ש. בעוד כמה שעות ייפגשו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

20060+40=2\frac{200}{60 + 40} = 2

מהירות התקרבות — סכום המהירויות

בכל שעה המרחק ביניהם קטן ב-100 ק״מ — אז 200 ק״מ נסגרים בשעתיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לאבא פי 4 שנים מאשר לבנו, ובעוד 6 שנים יהיו לאבא 54. בן כמה הבן היום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

4x+6=54  ⇒  x=12\begin{aligned}4x + 6 &= 54 \;\Rightarrow\; x \\ &= 12\end{aligned}

קוראים לגיל הבן x

האב היום בן 48. הבדיקה: בעוד 6 שנים הוא יהיה בן 54 — מתאים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בחנות ספרים, ספר עולה 15 ש״ח יותר ממחברת. דני קנה 3 ספרים ו-5 מחברות ושילם 165 ש״ח. כמה עולה מחברת אחת (בש״ח)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

x , x+15x \ , \ x + 15

x — מחיר מחברת (הקטן), ספר יקר ב-15

5x+3(x+15)=1655x + 3(x + 15) = 165

כמות כפול מחיר, בכל שורה של הטבלה

8x+45=165⇒8x=120\begin{aligned}8x + 45 &= 165 \Rightarrow 8x \\ &= 120\end{aligned}

כינוס והעברת אגפים

x=15x = 15

מחלקים ב-8

מחברת עולה 15 ש״ח וספר 30 ש״ח. בדיקה: 75+90=16575 + 90 = 165.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

יש 6 ליטר תמיסה בריכוז 15%. כמה ליטר תמיסה בריכוז 40% צריך להוסיף כדי לקבל תמיסה בריכוז 25%?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

0.15⋅6=0.90.15 \cdot 6 = 0.9

החומר בתמיסה הראשונה

0.4x0.4x

החומר בתמיסה שמוסיפים, x ליטר

0.9+0.4x=0.25(6+x)0.9 + 0.4x = 0.25(6 + x)

החומר בתערובת כולה

0.9+0.4x=1.5+0.25x⇒0.15x=0.6\begin{aligned}0.9 + 0.4x &= 1.5 + 0.25x \Rightarrow 0.15x \\ &= 0.6\end{aligned}

פותחים סוגריים ומעבירים

x=4x = 4

מחלקים

צריך 4 ליטר. בדיקה: 0.9+1.6=2.50.9 + 1.6 = 2.5, וזה 25% מ-10 ליטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

צינור ממלא מיכל ריק ב-4 שעות, ופתח ניקוז מרוקן מיכל מלא ב-12 שעות. פותחים את שניהם יחד כשהמיכל ריק. בכמה שעות יתמלא המיכל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

14−112\frac{1}{4} - \frac{1}{12}

הניקוז עובד נגד הצינור — מחסרים את ההספק שלו

312−112=212=16\begin{aligned}\frac{3}{12} - \frac{1}{12} &= \frac{2}{12} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

ההספק המשותף

1:16=61 : \frac{1}{6} = 6

הזמן למיכל שלם

6 שעות — יותר מ-4, וזה הגיוני: הניקוז מאט את המילוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

פועל א מסיים עבודה לבד ב-12 ימים, ופועל ב מסיים אותה לבד ב-6 ימים. הם עבדו יחד 2 ימים, ואת שאר העבודה סיים פועל א לבד. כמה ימים עבד פועל א לבד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

112+16=312=14\begin{aligned}\frac{1}{12} + \frac{1}{6} &= \frac{3}{12} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

ההספק המשותף ביום

2⋅14=122 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

מה שעשו יחד ביומיים

x12=12\frac{x}{12} = \frac{1}{2}

פועל א עושה לבד את החצי שנשאר

x=6x = 6

ימים

בדיקה: בסך הכול פועל א עבד 8 ימים (812\frac{8}{12}) ופועל ב יומיים (26\frac{2}{6}), וביחד 23+13=1\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מאיר הלך מביתו לתחנה במהירות 6 קמ״ש, וחזר באופניים באותה דרך במהירות 18 קמ״ש. הדרך הלוך וחזור ארכה שעה ו-20 דקות. מה המרחק מהבית לתחנה (בק״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

80 דקות=8060=43 שעה\begin{aligned}80 \ \text{דקות} &= \frac{80}{60} \\ &= \frac{4}{3} \ \text{שעה}\end{aligned}

קודם יחידות: שעה ו-20 דקות הן 80 דקות, וחילוק ב-60

x6+x18=43\frac{x}{6} + \frac{x}{18} = \frac{4}{3}

זמן הלוך ועוד זמן חזור

3x+x=243x + x = 24

כופלים ב-18

x=6x = 6

ק״מ

בדיקה: הלוך שעה, חזור 618=13\frac{6}{18} = \frac{1}{3} שעה — ביחד שעה ו-20 דקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

רוכב נוסע 45 ק״מ במהירות 60 קמ״ש. כמה דקות תימשך הנסיעה? שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

t=Svt = \frac{S}{v}
t=4560=0.75 שעה\begin{aligned}t &= \frac{45}{60} \\ &= 0.75 \ \text{שעה}\end{aligned}
0.75 שעה=75 דקות0.75 \ \text{שעה} = 75 \ \text{דקות}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75 שעה=75 דקות0.75 \ \text{שעה} = 75 \ \text{דקות} → 0.75 שעה=45 דקות0.75 \ \text{שעה} = 45 \ \text{דקות}

הפתרון:

0.75⋅60=450.75 \cdot 60 = 45

משעות לדקות כופלים ב-60

ההמרה בין שעות לדקות היא כפל או חילוק ב-60, ולא הזזת נקודה. בדיקת היגיון: 45 ק״מ ב-60 קמ״ש לוקחים פחות משעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ברז א ממלא בריכה ב-10 שעות, וברז ב ממלא אותה ב-15 שעות. בכמה שעות ימלאו אותה יחד? שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

א: 110 , ב: 115\text{א: } \frac{1}{10} \ , \ \text{ב: } \frac{1}{15}
110+115=330+230=16\begin{aligned}\frac{1}{10} + \frac{1}{15} &= \frac{3}{30} + \frac{2}{30} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}
t=10+152=12.5 שעות\begin{aligned}t &= \frac{10 + 15}{2} \\ &= 12.5 \ \text{שעות}\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: t=10+152=12.5 שעותt = \frac{10 + 15}{2} = 12.5 \ \text{שעות} → t=1:16=6 שעותt = 1 : \frac{1}{6} = 6 \ \text{שעות}

הפתרון:

1:16=61 : \frac{1}{6} = 6

הזמן הוא 1 חלקי ההספק המשותף

ממוצע של זמנים הוא טעות: התוצאה חייבת להיות קטנה מ-10, כי שני ברזים יחד מהירים יותר מהמהיר שבהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

מחברת עולה xx ש״ח, ועט עולה 4 ש״ח יותר ממחברת. קנו 5 מחברות ו-2 עטים ושילמו 50 ש״ח.

5x+2(x+4)=505x + 2(x + 4) = 50 , ולכן 7x=7x = ____ . מחברת עולה ____ ש״ח ועט עולה ____ ש״ח.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5x+2(x+4)=505x + 2(x + 4) = 50 , ולכן 7x=7x = 42 . מחברת עולה 6 ש״ח ועט עולה 10 ש״ח.

הפתרון:

7x+8=507x + 8 = 50

פותחים סוגריים ומכנסים

7x=42⇒x=6\begin{aligned}7x &= 42 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

מעבירים ומחלקים

x+4=10x + 4 = 10

מחיר העט

בדיקה: 30+20=5030 + 20 = 50.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

מערבבים 2 ליטר מיץ בריכוז 30% עם 3 ליטר מיץ בריכוז 10%.

מיץ טהור מהכלי הראשון: ____ ליטר, מהכלי השני: ____ ליטר. בתערובת 5 ליטר, והריכוז שלה ____%.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מיץ טהור מהכלי הראשון: 0.6 ליטר, מהכלי השני: 0.3 ליטר. בתערובת 5 ליטר, והריכוז שלה 18%.

הפתרון:

0.3⋅2=0.6  0.1⋅3=0.3\begin{aligned}0.3 \cdot 2 &= 0.6 \ \\ \ 0.1 \cdot 3 &= 0.3\end{aligned}

כמות כפול ריכוז, בכל שורה

0.6+0.35=0.95=0.18\begin{aligned}\frac{0.6 + 0.3}{5} &= \frac{0.9}{5} \\ &= 0.18\end{aligned}

החומר הטהור חלקי כל התערובת

18% — בין 10% ל-30%, וקרוב יותר ל-10%, כי ממנו יש יותר ליטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

מיינו את המצבים: מחברים את המהירויות או מחסרים אותן?

  • מחברים מהירויות
  • מחסרים מהירויות
  • אופנוע רודף אחרי אוטובוס שיצא לפניו
  • רכבת מהירה משיגה רכבת איטית באותה מסילה
  • שני הולכי רגל מתקרבים זה לזה משני קצות שביל
  • שני רצים יוצאים מאותה נקודה לכיוונים מנוגדים
  • שתי מכוניות יוצאות זו לקראת זו משתי ערים
  • שתי מכוניות יוצאות יחד מאותה נקודה ונוסעות באותו כיוון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שתי מכוניות יוצאות זו לקראת זו משתי ערים — מחברים מהירויות · אופנוע רודף אחרי אוטובוס שיצא לפניו — מחסרים מהירויות · שני רצים יוצאים מאותה נקודה לכיוונים מנוגדים — מחברים מהירויות · רכבת מהירה משיגה רכבת איטית באותה מסילה — מחסרים מהירויות · שני הולכי רגל מתקרבים זה לזה משני קצות שביל — מחברים מהירויות · שתי מכוניות יוצאות יחד מאותה נקודה ונוסעות באותו כיוון — מחסרים מהירויות

הפתרון:

v1+v2v_1 + v_2

כיוונים מנוגדים — המרחק ביניהם משתנה בסכום המהירויות

v1−v2v_1 - v_2

אותו כיוון — המרחק משתנה רק בהפרש

השאלה היא תמיד: בכמה משתנה המרחק בין השניים בכל שעה? לקראת זה או זה מזה — סכום. באותו כיוון — הפרש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

שני פועלים עובדים יחד. מיינו את התשובות: נכונה או שגויה?

  • תשובה נכונה
  • תשובה שגויה
  • א ב-10 שעות, ב ב-10 שעות — יחד 5 שעות
  • א ב-12 שעות, ב ב-4 שעות — יחד 3 שעות
  • א ב-3 שעות, ב ב-6 שעות — יחד 9 שעות
  • א ב-6 שעות, ב ב-4 שעות — יחד 2.4 שעות
  • א ב-6 שעות, ב ב-4 שעות — יחד 5 שעות
  • א ב-8 שעות, ב ב-2 שעות — יחד 2.5 שעות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ב-6 שעות, ב ב-4 שעות — יחד 2.4 שעות — תשובה נכונה · א ב-6 שעות, ב ב-4 שעות — יחד 5 שעות — תשובה שגויה · א ב-10 שעות, ב ב-10 שעות — יחד 5 שעות — תשובה נכונה · א ב-8 שעות, ב ב-2 שעות — יחד 2.5 שעות — תשובה שגויה · א ב-12 שעות, ב ב-4 שעות — יחד 3 שעות — תשובה נכונה · א ב-3 שעות, ב ב-6 שעות — יחד 9 שעות — תשובה שגויה

הפתרון:

16+14=512⇒t=2.4\begin{aligned}\frac{1}{6} + \frac{1}{4} &= \frac{5}{12} \Rightarrow t \\ &= 2.4\end{aligned}

נכונה

110+110=15⇒t=5\begin{aligned}\frac{1}{10} + \frac{1}{10} &= \frac{1}{5} \Rightarrow t \\ &= 5\end{aligned}

נכונה

112+14=13⇒t=3\begin{aligned}\frac{1}{12} + \frac{1}{4} &= \frac{1}{3} \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}

נכונה

5>4 , 2.5>2 , 9>35 > 4 \ , \ 2.5 > 2 \ , \ 9 > 3

השגויות גדולות מהזמן של הפועל המהיר

את השגויות פוסלים בלי לחשב: יחד תמיד מהר יותר מהמהיר שבהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

סדרו את שלבי הפתרון של בעיה מילולית:

  • בודקים את התשובה מול הנתונים של השאלה
  • בוחרים מה מסמנים ב-xx
  • כותבים משוואה מהנתון שעוד לא נכנס לטבלה
  • ממלאים את הטבלה בעזרת xx
  • פותרים את המשוואה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בוחרים מה מסמנים ב-xx · ממלאים את הטבלה בעזרת xx · כותבים משוואה מהנתון שעוד לא נכנס לטבלה · פותרים את המשוואה · בודקים את התשובה מול הנתונים של השאלה

הפתרון:

x→טבלה→משוואהx \to \text{טבלה} \to \text{משוואה}

שלושת השלבים של כל משפחה

פתרון→בדיקה\text{פתרון} \to \text{בדיקה}

ובסוף פותרים ובודקים

הטבלה באה לפני המשוואה: המשוואה נכתבת מהנתון שנשאר בחוץ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

התאימו לכל זמן בדקות את הזמן בשעות:

  • 6 דקות
  • 20 דקות
  • 45 דקות
  • 90 דקות
  • 13\frac{1}{3} שעה
  • 34\frac{3}{4} שעה
  • 0.10.1 שעה
  • 1.51.5 שעות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6 דקות — 0.10.1 שעה · 20 דקות — 13\frac{1}{3} שעה · 45 דקות — 34\frac{3}{4} שעה · 90 דקות — 1.51.5 שעות

הפתרון:

6:60=0.1  20:60=13\begin{aligned}6 : 60 &= 0.1 \ \\ \ 20 : 60 &= \frac{1}{3}\end{aligned}

מחלקים ב-60

45:60=34  90:60=1.5\begin{aligned}45 : 60 &= \frac{3}{4} \ \\ \ 90 : 60 &= 1.5\end{aligned}

מחלקים ב-60

תמיד חילוק ב-60. 20 דקות הן לא 0.2 שעה, ו-90 דקות הן לא 0.9 שעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

מכונית נוסעת 60 ק״מ במהירות 60 קמ״ש, וחוזרת באותה דרך במהירות 40 קמ״ש. המהירות הממוצעת שלה בכל הנסיעה היא 50 קמ״ש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

t1=6060=1  t2=6040=1.5\begin{aligned}t_1 &= \frac{60}{60} \\ &= 1 \ \\ \ t_2 &= \frac{60}{40} \\ &= 1.5\end{aligned}

הזמן בכל כיוון

v=1202.5=48\begin{aligned}v &= \frac{120}{2.5} \\ &= 48\end{aligned}

כל הדרך חלקי כל הזמן

המהירות הממוצעת 48 קמ״ש, לא 50. במהירות האיטית המכונית נוסעת יותר זמן, ולכן היא שוקלת יותר בממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת