פירוק לגורמים ושברים אלגבריים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ב-4 יחידות כמעט כל תרגיל אלגברי מתחיל באותו צעד: פירוק לגורמים. בלעדיו אי אפשר לצמצם, לפתור משוואה ריבועית או אי-שוויון, ולא למצוא תחום הגדרה. לפני הכללים, הסתכלו על הלבנים: מה נמצא בשתי הערמות?

שלוש דרכי פירוק

ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c)

גורם משותף — תמיד בודקים אותו ראשון.

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

הפרש ריבועים — מזהים לפי המינוס בין שני ריבועים.

x2+bx+c=(x+p)(x+q)x^2 + bx + c = (x+p)(x+q)

טרינום — מחפשים שני מספרים שמכפלתם cc וסכומם bb.

פרקו לגורמים: 5x2−20x5x^2 - 20x

להציג את התשובה והפתרון

הגורם המשותף הוא 5x5x: 5x2−20x=5x(x−4)5x^2 - 20x = 5x(x - 4). בדיקה בפתיחת סוגריים: 5x⋅x−5x⋅45x \cdot x - 5x \cdot 4 ✓

סדר עבודה קבוע: קודם גורם משותף, ורק אחר כך זהות או טרינום. ב-2x2−82x^2 - 8 מוציאים 22 ומקבלים 2(x2−4)2(x^2 - 4), ורק אז הפרש ריבועים: 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2).

טרינום — שני מספרים, מכפלה וסכום

פירוק מלא, שלב אחרי שלב

פרקו לגורמים: 3x2−12x+123x^2 - 12x + 12.

3(x2−4x+4)3(x^2 - 4x + 4)

קודם גורם משותף 33

x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2

זהות: a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2 עם a=xa = x, b=2b = 2

3(x−2)23(x - 2)^2

הפירוק המלא

3(x2−4x+4)=3x2−12x+123(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12

בדיקה בפתיחת סוגריים ✓

פרקו לגורמים: x2+2x−15x^2 + 2x - 15

להציג את התשובה והפתרון

מכפלה −15-15, סכום 22: המספרים הם 55 ו-−3-3. לכן (x+5)(x−3)(x + 5)(x - 3). בדיקה: 5⋅(−3)=−155 \cdot (-3) = -15 ו-5+(−3)=25 + (-3) = 2 ✓

שברים אלגבריים

מצמצמים רק גורמים של כפל, לעולם לא איברים של סכום. לכן חייבים לפרק את המונה ואת המכנה לפני שנוגעים בשבר. ולפני הצמצום רושמים את תחום ההגדרה: המכנה המקורי אסור שיתאפס.

צמצום שבר אלגברי

צמצמו: x2−2xx2−4\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}, ורשמו את תחום ההגדרה.

x2−4≠0 ⇒ x≠2, x≠−2x^2 - 4 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 2 ,\ x \neq -2

תחום ההגדרה, מהמכנה המקורי

x(x−2)(x−2)(x+2)\frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}

גורם משותף במונה, הפרש ריבועים במכנה

=xx+2= \frac{x}{x + 2}

מצמצמים את הגורם x−2x - 2

x=3: 9−69−4=3535\begin{aligned}x &= 3: \ \frac{9 - 6}{9 - 4} \\ &= \frac{3}{5} \\ \quad \frac{3}{5}\end{aligned}

בדיקה במספר ✓

חיבור שברים אלגבריים

חשבו: 3x−2−1x\dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{1}{x}.

x≠2, x≠0x \neq 2 ,\ x \neq 0

תחום ההגדרה

3xx(x−2)−x−2x(x−2)\frac{3x}{x(x - 2)} - \frac{x - 2}{x(x - 2)}

מכנה משותף x(x−2)x(x - 2): מרחיבים כל שבר

=3x−(x−2)x(x−2)=2x+2x(x−2)= \frac{3x - (x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{2x + 2}{x(x - 2)}

המינוס חל על כל המונה x−2x - 2

שלוש הטעויות של הפרק.

x+33=x\frac{x + 3}{3} = x
לא ניתן לצמצום\text{לא ניתן לצמצום}

המונה הוא סכום ואין בו גורם משותף עם 33. בדיקה: x=3x = 3 נותן 2≠32 \neq 3.

(x−2)2=x2−4(x - 2)^2 = x^2 - 4
(x−2)2=x2−4x+4(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

ריבוע של הפרש אינו הפרש ריבועים. האיבר האמצעי −2⋅x⋅2-2 \cdot x \cdot 2 אינו רשות.

x2−9x−3=x+3\frac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3
x2−9x−3=x+3 x≠3\begin{aligned}\frac{x^2 - 9}{x - 3} &= x + 3 \\ \ x \neq 3\end{aligned}

הצמצום נכון, אבל תחום ההגדרה נקבע לפי המכנה לפני הצמצום.

תרגילים

תרגיל 1

פרקו לגורמים באופן מלא: 2x2−82x^2 - 8

  1. (2x−4)(x+2)(2x-4)(x+2)
  2. 2(x−4)(x+2)2(x-4)(x+2)
  3. 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2)
  4. 2(x2−8)2(x^2-8)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2)

הפתרון:

2(x2−4)2(x^2 - 4)

קודם גורם משותף

2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2)

ואז הפרש ריבועים

תמיד גורם משותף ראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתחו: (x−5)2(x - 5)^2

  1. x2−10x−25x^2 - 10x - 25
  2. x2+25x^2 + 25
  3. x2−25x^2 - 25
  4. x2−10x+25x^2 - 10x + 25
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x2−10x+25x^2 - 10x + 25

הפתרון:

a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2

הזהות

x2−10x+25x^2 - 10x + 25

מציבים

האיבר האמצעי הוא פי שניים המכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איך מפרקים את x2−9x^2 - 9?

  1. (x−9)(x+1)(x-9)(x+1)
  2. אי אפשר לפרק
  3. (x−3)(x+3)(x-3)(x+3)
  4. (x−3)2(x-3)^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (x−3)(x+3)(x-3)(x+3)

הפתרון:

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

הפרש ריבועים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פרקו לגורמים: x2−7x+12x^2 - 7x + 12

  1. (x−2)(x−6)(x - 2)(x - 6)
  2. (x−12)(x+1)(x - 12)(x + 1)
  3. (x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4)
  4. (x−3)(x−4)(x - 3)(x - 4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (x−3)(x−4)(x - 3)(x - 4)

הפתרון:

(−3)⋅(−4)=12(−3)+(−4)=−7\begin{aligned}(-3) \cdot (-4) &= 12 \\ \quad (-3) + (-4) &= -7\end{aligned}

מכפלה cc, סכום bb

(x−3)(x−4)(x - 3)(x - 4)

הפירוק

הנכונה: (x−3)(x−4)(x - 3)(x - 4). ב-(x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4) הסכום הוא +7+7, סימן הפוך. ב-(x−2)(x−6)(x - 2)(x - 6) המכפלה נכונה אבל הסכום −8-8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתחו לפי הזהות: (x+4)2(x + 4)^2 =

x בריבוע ועוד ____x ועוד ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x בריבוע ועוד 8x ועוד 16.

הפתרון:

(x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

האיבר האמצעי — כפליים המכפלה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

(a+b)2(a + b)^2
=a2+b2= a^2 + b^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =a2+b2= a^2 + b^2 → =a2+2ab+b2= a^2 + 2ab + b^2

הפתרון:

(3+4)2=49≠9+16(3+4)^2 = 49 \ne 9 + 16

האיבר האמצעי איננו רשות

הבדיקה המספרית הורגת את הטעות מיד: 49 מול 25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

צמצמו: x2−9x+3\frac{x^2 - 9}{x + 3}

  1. x+3x + 3
  2. לא ניתן לצמצום
  3. x−3x - 3
  4. x2−3x^2 - 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x−3x - 3

הפתרון:

(x−3)(x+3)x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}

הפרש ריבועים

x−3x - 3

מצמצמים

x≠−3x \neq -3

תחום הגדרה

רק אחרי הפירוק יש גורם משותף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשבר x+1x2−4\frac{x+1}{x^2 - 4}, כמה ערכים של xx אסורים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2−4=0x^2 - 4 = 0

מאפסים את המכנה

x=2  x=−2\begin{aligned}x &= 2 \ \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני ערכים

שניהם מאפסים את המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

צמצמו: x2+6x+9x2−9\dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 9}. השלימו את המונה ואת המכנה של השבר המצומצם.

המונה: x+x + ____ , המכנה: x−x - ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המונה: x+x + 3 , המכנה: x−x - 3

הפתרון:

x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

זהות במונה

x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

הפרש ריבועים במכנה

(x+3)2(x−3)(x+3)=x+3x−3\frac{(x + 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 3}{x - 3}

מצמצמים x+3x + 3 פעם אחת

x≠3, x≠−3x \neq 3 ,\ x \neq -3

תחום ההגדרה

מצמצמים גורם x+3x + 3 אחד: במונה הוא מופיע פעמיים, ואחד נשאר. תחום ההגדרה נקבע לפי המכנה המקורי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו את (x+3)2(x + 3)^2 עבור x=2x = 2:

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

(2+3)2=52=25\begin{aligned}(2+3)^2 &= 5^2 \\ &= 25\end{aligned}

קודם הסוגריים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת