חוקי חזקות ושורשים ריבועיים · טכניקה אלגברית, משוואות ואי-שוויונות · כיתה י׳

$2^3 \cdot 2^4$ הוא $(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$ : שבע פעמים $2$ , כלומר $2^7$ . כל חוק חזקות הוא ספירה של שרשרת כפל. לפני הנוסחאות, פרקו כל חוק בעצמכם.

חוקי חזקות

a^n \cdot a^m = a^{n+m}

כפל של אותו בסיס — מחברים מעריכים

\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

חילוק של אותו בסיס — מחסרים מעריכים

(a^n)^m = a^{n \cdot m}

חזקה של חזקה — מכפילים מעריכים

(ab)^n = a^n b^n

חזקה של מכפלה — כל גורם בנפרד

\begin{aligned}a^0 &= 1 \\ \quad a^{-n} &= \frac{1}{a^n}\end{aligned}

מעריך אפס ומעריך שלילי ( $a \neq 0$ )

פשטו: $(x^3)^2 \cdot x$

להציג את התשובה והפתרון

$(x^3)^2 = x^6$ , ואז $x^6 \cdot x^1 = x^7$ . מי שכתב $x^5$ חיבר במקום להכפיל ב- $(x^3)^2$ .

ביטוי עם כמה חוקים

פשטו: $\dfrac{(2x^2)^3 \cdot x}{4x^4}$ .

\begin{aligned}(2x^2)^3 &= 2^3 \cdot (x^2)^3 \\ &= 8x^6\end{aligned}

חזקה של מכפלה, ואז חזקה של חזקה

8x^6 \cdot x = 8x^7

כפל: מחברים מעריכים

\frac{8x^7}{4x^4} = 2x^3

חילוק: מחלקים מקדמים ומחסרים מעריכים

החוקים עובדים רק על אותו בסיס: $2^3 \cdot 3^2$ אי אפשר לפשט לחזקה אחת. ו- $a^2 \cdot a^3 = a^5$ , לא $a^6$ : מחברים, לא מכפילים.

שורשים ריבועיים

$\sqrt{a}$ הוא המספר האי-שלילי שריבועו $a$ . שורש של מכפלה הוא מכפלת השורשים, ושורש של מנה הוא מנת השורשים. על סכום אין חוק כזה.

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

שורש של מכפלה: $\sqrt{4 \cdot 9} = 2 \cdot 3 = 6$

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

שורש של מנה: $\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$

\begin{aligned}\sqrt{12} &= \sqrt{4 \cdot 3} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

הוצאת גורם מהשורש: מחפשים ריבוע שלם שמחלק

\begin{aligned}3\sqrt{2} &= \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} \\ &= \sqrt{18}\end{aligned}

הכנסת גורם לשורש: המקדם נכנס בריבוע

חיבור שורשים אחרי הוצאת גורם

פשטו: $\sqrt{50} + \sqrt{8} - \sqrt{18}$ .

\begin{aligned}\sqrt{50} &= \sqrt{25 \cdot 2} \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

מוציאים את $25$

\begin{aligned}\sqrt{8} &= 2\sqrt{2} \\ \quad \sqrt{18} &= 3\sqrt{2}\end{aligned}

מוציאים $4$ ו- $9$

5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

כולם עם $\sqrt{2}$ : מחברים מקדמים

הכניסו את הגורם לתוך השורש: $5\sqrt{3}$

להציג את התשובה והפתרון

$5 = \sqrt{25}$ , ולכן $5\sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$ . מי שכתב $\sqrt{15}$ שכח שהמקדם נכנס בריבוע.

כפל וחילוק של שורשים

חשבו: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ ו- $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$ .

\begin{aligned}\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}

מאחדים תחת שורש אחד

\begin{aligned}\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

גם במנה: מאחדים ואז מוציאים שורש

שלוש הטעויות של הפרק.

\sqrt{9 + 16} = 3 + 4

\begin{aligned}\sqrt{9 + 16} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

אין חוק לשורש של סכום. קודם מחשבים את מה שמתחת לשורש.

(2\sqrt{3})^2 = 6

\begin{aligned}(2\sqrt{3})^2 &= 4 \cdot 3 \\ &= 12\end{aligned}

מעלים בריבוע גם את המקדם: $2^2 \cdot (\sqrt{3})^2$ .

a^2 \cdot a^3 = a^6

a^2 \cdot a^3 = a^5

בכפל מחברים מעריכים. בדיקה: $2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5$ .

תרגילים

תרגיל 1

פשטו: $x^5 \cdot x^3$

$2x^8$
$x^{15}$
$x^2$
$x^8$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x^8$

הפתרון:

\begin{aligned}x^5 \cdot x^3 &= x^{5+3} \\ &= x^8\end{aligned}

כפל של אותו בסיס: מחברים מעריכים

הנכונה: $x^8$ . $x^{15}$ הכפילה מעריכים, וזה החוק של חזקה של חזקה. $2x^8$ המציאה מקדם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פשטו: $(2x^3)^2$

$2x^5$
$4x^6$
$4x^5$
$2x^6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $4x^6$

הפתרון:

(2x^3)^2 = 2^2 \cdot (x^3)^2

חזקה של מכפלה: כל גורם בנפרד

= 4x^6

$3 \cdot 2 = 6$

הנכונה: $4x^6$ . המקדם $2$ מועלה בריבוע גם הוא. $4x^5$ חיברה מעריכים במקום להכפיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו: $\dfrac{3^7}{3^5}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{3^7}{3^5} &= 3^{7-5} \\ &= 3^2\end{aligned}

חילוק של אותו בסיס: מחסרים מעריכים

3^2 = 9

מחשבים

מי שמחשב $3^7 = 2187$ ומחלק ב- $243$ מגיע לאותה תשובה, בדרך ארוכה בהרבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו: $2^{-3}$ . כתבו כשבר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

\begin{aligned}2^{-3} &= \frac{1}{2^3} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

מעריך שלילי: הופכי של החזקה

\frac{1}{8} = 0.125

כשבר עשרוני

מעריך שלילי אינו מספר שלילי: $2^{-3}$ הוא חיובי, ורק קטן מ- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוציאו מהשורש את הגורם הגדול ביותר: $\sqrt{72}$

$2\sqrt{18}$
$6\sqrt{2}$
$36\sqrt{2}$
$3\sqrt{8}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $6\sqrt{2}$

הפתרון:

72 = 36 \cdot 2

הריבוע השלם הגדול ביותר שמחלק את $72$

\begin{aligned}\sqrt{72} &= \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} \\ &= 6\sqrt{2}\end{aligned}

מוציאים

הנכונה: $6\sqrt{2}$ . $3\sqrt{8}$ ו- $2\sqrt{18}$ שווים ל- $\sqrt{72}$ אבל אינם מפושטים: נשאר ריבוע שלם מתחת לשורש. $36\sqrt{2}$ שכחה להוציא שורש מ- $36$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36}

שורש של מכפלה: מאחדים

\sqrt{36} = 6

ריבוע שלם

מי שמחשב $\sqrt{12} \approx 3.46$ במחשבון ומכפיל מקבל תשובה מקורבת. האיחוד תחת שורש אחד נותן תשובה מדויקת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו: $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}} &= \sqrt{\frac{80}{5}} \\ &= \sqrt{16}\end{aligned}

שורש של מנה: מאחדים

\sqrt{16} = 4

ריבוע שלם

אפשר גם להוציא גורם: $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ , ואז $\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הכניסו את הגורם לתוך השורש: $4\sqrt{3} = \sqrt{k}$ . מהו $k$ ?

$k =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 48

הפתרון:

4 = \sqrt{16}

המקדם נכנס בריבוע

\sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{48}

מאחדים

מי שכתב $\sqrt{12}$ הכניס $4$ ולא $16$ . בדיקה: $\sqrt{48} \approx 6.93$ ו- $4\sqrt{3} \approx 6.93$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פשטו: $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$

$8\sqrt{2}$
$\sqrt{60}$
$10\sqrt{2}$
$6\sqrt{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $6\sqrt{2}$

הפתרון:

5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}

מוציאים $25$ , $9$ ו- $4$

= 6\sqrt{2}

מחברים מקדמים

הנכונה: $6\sqrt{2}$ . $\sqrt{60}$ חיברה מתחת לשורש, ואין חוק כזה. $10\sqrt{2}$ חיברה את כל השלושה במקום לחסר את האחרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הוכיחו או הפריכו: $\sqrt{16 + 9} = \sqrt{16} + \sqrt{9}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{16 + 9} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

אגף שמאל

\begin{aligned}\sqrt{16} + \sqrt{9} &= 4 + 3 \\ &= 7\end{aligned}

אגף ימין

5 \neq 7

לא שווים

הטענה לא נכונה. שורש של סכום אינו סכום השורשים. החוק קיים רק למכפלה ולמנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev