משוואות ומערכות — עד מעלה שנייה · טכניקה אלגברית, משוואות ואי-שוויונות · כיתה י׳

לפתור $x^2 - 5x + 6 = 0$ פירושו לשאול: איפה הפרבולה $y = x^2 - 5x + 6$ חותכת את ציר ה- $x$ ? הסתכלו על הגרף: שתי נקודות, $x = 2$ ו- $x = 3$ . כל משוואה בפרק הזה היא שאלה על גרף.

הפרבולה y = x² − 5x + 6

שני שורשים, שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-

x

. הפירוק

(x - 2)(x - 3)

אומר בדיוק את זה.

משוואה ממעלה ראשונה — תזכורת

משוואה עם מכנים מספריים

פתרו: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$ .

3x + 2x = 30

כופלים את שני האגפים ב- $6$ , המכנה המשותף

\begin{aligned}5x &= 30 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מכנסים ומחלקים

\begin{aligned}\frac{6}{2} + \frac{6}{3} &= 3 + 2 \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה ✓

משוואה ריבועית — שלוש דרכים

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

נוסחת השורשים של $ax^2 + bx + c = 0$

\begin{aligned}x^2 - 5x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x-2)(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

פירוק לגורמים — כשהוא קיים, הוא המהיר ביותר

\begin{aligned}x^2 &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -4\end{aligned}

שורש משני האגפים — כשאין איבר עם $x$

2x^2 - 7x + 3 = 0 \ \Rightarrow \ \text{נוסחה}

נוסחת השורשים — תמיד עובדת

בנוסחת השורשים

פתרו: $2x^2 - 7x + 3 = 0$ .

\begin{aligned}a &= 2 \\ \ b &= -7 \\ \ c &= 3\end{aligned}

מזהים את המקדמים, עם הסימנים

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 49 - 24 \\ &= 25\end{aligned}

הדיסקרימיננטה

\begin{aligned}x &= \frac{7 \pm 5}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שני פתרונות

2 \cdot 9 - 21 + 3 = 0

בדיקה ל- $x = 3$ ✓

פתרו: $x^2 = 5x$

להציג את התשובה והפתרון

מעבירים אגף: $x^2 - 5x = 0$ , גורם משותף: $x(x - 5) = 0$ , ולכן $x = 0$ או $x = 5$ . מי שחילק ב- $x$ ומצא רק $x = 5$ איבד פתרון: אסור לחלק במשהו שיכול להיות אפס.

כמה פתרונות? הדיסקרימיננטה והגרף

b^2 - 4ac > 0

שני פתרונות — הפרבולה חותכת את ציר ה- $x$ פעמיים

b^2 - 4ac = 0

פתרון אחד — הפרבולה משיקה לציר ה- $x$

b^2 - 4ac < 0

אין פתרון — הפרבולה כולה מעל הציר או כולה מתחתיו

מערכת של שתי משוואות — ישר ופרבולה

מערכת של משוואה לינארית ומשוואה ריבועית פותרים בהצבה: מציבים את $y$ מהישר בפרבולה, ומקבלים משוואה ריבועית ב- $x$ בלבד. כל $x$ שמצאנו מציבים חזרה בישר כדי למצוא את $y$ .

פרבולה וישר: שתי נקודות משותפות

הפרבולה

y = x^2 - 2x - 3

והישר

y = x + 1

נפגשים בשתי נקודות. כל נקודת מפגש היא פתרון של המערכת: זוג

(x, y)

שמקיים את שתי המשוואות.

מערכת בהצבה

פתרו את המערכת: $y = x^2 - 2x - 3$ ו- $y = x + 1$ .

x^2 - 2x - 3 = x + 1

משווים: אותו $y$ בשתי המשוואות

\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים אגף ומפרקים

\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 5 \\ \qquad x &= -1 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0\end{aligned}

מציבים בישר $y = x + 1$

(4,\,5) ,\ (-1,\,0)

שני פתרונות, שתי נקודות מפגש

כמה פתרונות יש למערכת $y = x^2$ ו- $y = -1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

אף לא אחד. $x^2 = -1$ אין לה פתרון, ובגרף: הפרבולה $y = x^2$ כולה מעל ציר ה- $x$ , והישר $y = -1$ מתחתיו. הם לא נפגשים.

בכל משוואה שפתרתם: הציבו חזרה. במערכת, הציבו בשתי המשוואות. הבדיקה לוקחת עשר שניות ותופסת כמעט כל טעות סימן.

שלוש הטעויות של הפרק.

\begin{aligned}x^2 &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -4\end{aligned}

לריבוע שני שורשים. גם $(-4)^2 = 16$ .

\begin{aligned}x^2 &= 5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}x(x - 5) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 5\end{aligned}

חילוק ב- $x$ מאבד את הפתרון $x = 0$ .

\begin{aligned}x^2 - 5x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{5x - 6}\end{aligned}

(x - 2)(x - 3) = 0

שורש משני האגפים עובד רק כשאין איבר עם $x$ . כאן מפרקים או משתמשים בנוסחה.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו: $4(x - 3) = 2x + 6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

4x - 12 = 2x + 6

פותחים סוגריים

\begin{aligned}2x &= 18 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מכנסים ומחלקים

\begin{aligned}4 \cdot 6 &= 24 \\ &= 18 + 6\end{aligned}

בדיקה ✓

מי שכתב $4x - 3$ פתח את הסוגריים חלקית: ה- $4$ כופל את שני האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

4x + 3x = 84

כופלים ב- $12$ , המכנה המשותף

\begin{aligned}7x &= 84 \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

מכנסים

\begin{aligned}\frac{12}{3} + \frac{12}{4} &= 4 + 3 \\ &= 7\end{aligned}

בדיקה ✓

כופלים גם את אגף ימין ב- $12$ . מי ששכח קיבל $7x = 7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את הפתרון החיובי של $x^2 = 49$ :

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x = \pm 7

ולריבוע שני שורשים

התשובה המלאה היא 7 או 7- — כאן ביקשו את החיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו: $x^2 - 3x - 10 = 0$

$x = 5$ או $x = -2$
$x = -5$ או $x = 2$
$x = 10$ או $x = -1$
$x = 5$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x = 5$ או $x = -2$

הפתרון:

\begin{aligned}5 \cdot (-2) &= -10 \\ \quad 5 + (-2) &= 3\end{aligned}

מכפלה $-10$ , סכום $3$

(x - 5)(x + 2) = 0

פירוק

\begin{aligned}x &= 5 \ \text{או} \ x \\ &= -2\end{aligned}

כל גורם מתאפס

הנכונה: $x = 5$ או $x = -2$ . « $x = -5$ או $x = 2$ » היא טעות סימן: הסכום שם $-3$ . ו« $x = 5$ בלבד» שכחה את הגורם השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הפתרון הגדול של המשוואה $2x^2 - 8x + 6 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2 - 4x + 3 = 0

מחלקים ב- $2$ : הפתרונות לא משתנים

(x - 1)(x - 3) = 0

פירוק

\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

הגדול הוא $3$

חלוקה במקדם המוביל מותרת כשהוא מספר: הוא לא יכול להיות אפס. בדיקה: $2 \cdot 9 - 24 + 6 = 0$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה פתרונות יש למשוואה $x^2 + 4x + 7 = 0$ ?

אחד
אף לא אחד
שניים
אינסוף

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אף לא אחד

הפתרון:

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 16 - 28 \\ &= -12\end{aligned}

הדיסקרימיננטה שלילית

\sqrt{-12}

אינו מוגדר: אין פתרון

הנכונה: אף לא אחד. בגרף: הפרבולה כולה מעל ציר ה- $x$ . הערך הקטן ביותר שלה, ב- $x = -2$ , הוא $4 - 8 + 7 = 3 > 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

עבור איזה ערך של $k$ למשוואה $x^2 - 6x + k = 0$ יש פתרון אחד בדיוק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

b^2 - 4ac = 36 - 4k

הדיסקרימיננטה

\begin{aligned}36 - 4k &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 9\end{aligned}

פתרון אחד: דיסקרימיננטה אפס

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

בדיקה: ריבוע מושלם, שורש כפול $x = 3$ ✓

פתרון אחד פירושו שהפרבולה משיקה לציר ה- $x$ . מי שפתר $36 - 4k > 0$ ענה על שאלה אחרת: מתי יש שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו את המערכת: $y = x^2 - 4x + 1$ ו- $y = x - 3$ . רשמו את שתי הנקודות, קודם זו עם ה- $x$ הקטן.

( ____ , ____ ) ו-( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( 1 , -2 ) ו-( 4 , 1 )

הפתרון:

x^2 - 4x + 1 = x - 3

משווים

\begin{aligned}x^2 - 5x + 4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 1)(x - 4) \\ &= 0\end{aligned}

מפרקים

\begin{aligned}x &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= -2 \\ \qquad x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 1\end{aligned}

מציבים בישר

את $y$ מציבים בישר, שם החישוב קצר. בדיקה בפרבולה: $1 - 4 + 1 = -2$ ✓ ו- $16 - 16 + 1 = 1$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה המערכת $y = x^2 + 1$ ו- $y = 2x$ . מה נכון?

אינסוף פתרונות
פתרון אחד — הישר משיק לפרבולה
אין פתרון — הישר לא נוגע בפרבולה
שני פתרונות — הישר חותך את הפרבולה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב פתרון אחד — הישר משיק לפרבולה

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 + 1 &= 2x \ \Rightarrow \ x^2 - 2x + 1 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים אגף

\begin{aligned}(x - 1)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ y &= 2\end{aligned}

שורש כפול: פתרון יחיד

הנכונה: פתרון אחד — הישר משיק לפרבולה בנקודה $(1,\,2)$ . דיסקרימיננטה אפס במשוואה של ההצבה פירושה נקודת מפגש אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הוכיחו או הפריכו: למערכת $y = x^2$ ו- $y = x - 2$ אין פתרון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 &= x - 2 \ \Rightarrow \ x^2 - x + 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 1 - 8 \\ &= -7 < 0\end{aligned}

אין פתרון למשוואה

הטענה נכונה. בגרף: הפרבולה $y = x^2$ לא יורדת מתחת ל- $0$ , והישר $y = x - 2$ עובר מתחת לה בכל מקום. הם לא נפגשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

משוואה ממעלה ראשונה — תזכורת

משוואה ריבועית — שלוש דרכים

כמה פתרונות? הדיסקרימיננטה והגרף

מערכת של שתי משוואות — ישר ופרבולה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev