אי-שוויונות ו-f(x) > g(x) · טכניקה אלגברית, משוואות ואי-שוויונות · כיתה י׳

$3 < 5$ . כפלו את שני האגפים ב- $-1$ : $-3$ ו- $-5$ . איזה מהם גדול? $-3 > -5$ : הסדר התהפך. זו כל הסיבה שאי-שוויון שונה ממשוואה. נסו בעצמכם לפני הכלל.

אי-שוויון ממעלה ראשונה

חלוקה במספר שלילי

פתרו: $5 - 2x \geq 11$ .

-2x \geq 6

מעבירים את $5$

x \leq -3

מחלקים ב- $-2$ : הכיוון מתהפך

\begin{aligned}x &= -4: \ 5 + 8 \\ &= 13 \geq 11\end{aligned}

בדיקה במספר מהתחום ✓

פתרו: $3x - 7 < 2x + 1$

להציג את התשובה והפתרון

מעבירים אגפים: $x < 8$ . כאן לא חילקנו במספר שלילי, ולכן הכיוון נשאר. בדיקה: $x = 0$ נותן $-7 < 1$ ✓

אי-שוויון ריבועי — לקרוא את הסימן על הפרבולה

לפתור $x^2 - 5x + 6 > 0$ פירושו לשאול איפה הפרבולה מעל ציר ה- $x$ . מוצאים את השורשים, מסמנים אותם על ציר, ובוחרים את התחומים לפי כיוון הפרבולה.

אי-שוויון ריבועי

פתרו: $x^2 - 5x + 6 > 0$ .

(x - 2)(x - 3) = 0

מוצאים שורשים

\begin{aligned}x &= 2 \ \\ \ x &= 3\end{aligned}

הם מחלקים את הציר לשלושה תחומים

a > 0

פתוחה כלפי מעלה, ולכן חיובית בחוץ

x < 2 \ \text{או} \ x > 3

הפתרון

a > 0 : \ \text{חיובית מחוץ לשורשים}

פתוחה כלפי מעלה — $x^2 - 9 > 0$ נותן $x < -3$ או $x > 3$

a < 0 : \ \text{חיובית בין השורשים}

פתוחה כלפי מטה — $-x^2 + 9 > 0$ נותן $-3 < x < 3$

\leq ,\ \geq

השורשים עצמם נכללים: $x^2 - 9 \leq 0$ נותן $-3 \leq x \leq 3$

פתרו: $x^2 \leq 9$

להציג את התשובה והפתרון

$x^2 - 9 \leq 0$ , שורשים $-3$ ו- $3$ , פתוחה כלפי מעלה, ולכן שלילית בין השורשים: $-3 \leq x \leq 3$ . מי שכתב $x \leq 3$ שכח את החצי השמאלי: $x = -5$ נותן $25 \leq 9$ , שקר.

f(x) > g(x) — באלגברה ובגרף

שתי פונקציות, ושאלה אחת: עבור אילו $x$ הגרף של $f$ נמצא מעל הגרף של $g$ ? באלגברה מעבירים הכול לאגף אחד ופותרים $f(x) - g(x) > 0$ . בגרף מוצאים את נקודות המפגש, ומסתכלים מי למעלה בכל קטע.

f(x) = x² − 4 (כחול) ו-g(x) = x − 2 (כתום)

f(x) > g(x)

בדיוק במקומות שבהם הפרבולה מעל הישר: משמאל ל-

x = -1

ומימין ל-

x = 2

. בין שתי נקודות המפגש הישר מעל הפרבולה.

f(x) > g(x) באלגברה

נתונות $f(x) = x^2 - 4$ ו- $g(x) = x - 2$ . עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

x^2 - 4 > x - 2

כותבים את אי-השוויון

x^2 - x - 2 > 0

מעבירים הכול לאגף אחד

\begin{aligned}(x - 2)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}

השורשים הם נקודות המפגש של שני הגרפים

x < -1 \ \text{או} \ x > 2

פתוחה כלפי מעלה: חיובית בחוץ. בדיוק מה שהגרף מראה ✓

f(x) = x² (כחול) ו-g(x) = −x² + 8 (כתום)

שתי פרבולות שנפגשות ב-

x = -2

וב-

x = 2

. הכחולה מעל הכתומה מחוץ לקטע שביניהן, ומתחתיה בתוכו.

לפי הגרף של שתי הפרבולות: עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $g(x) > f(x)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

הכתומה מעל הכחולה בין נקודות המפגש: $-2 < x < 2$ . באלגברה: $-x^2 + 8 > x^2$ , כלומר $2x^2 < 8$ , $x^2 < 4$ , ולכן $-2 < x < 2$ ✓

בשאלה על גרף, קודם סמנו את נקודות המפגש. הן מחלקות את הציר לקטעים, ובכל קטע התשובה קבועה: או $f$ למעלה או $g$ למעלה.

שלוש הטעויות של הפרק.

-2x \geq 6 \ \Rightarrow \ x \geq -3

x \leq -3

חילוק במספר שלילי הופך את הכיוון. בדיקה: $x = 0$ נותן $0 \geq 6$ , שקר.

x^2 - 5x + 6 > 0 \ \Rightarrow \ 2 < x < 3

x < 2 \ \text{או} \ x > 3

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים, חיובית מחוצה להם.

x^2 > 4 \ \Rightarrow \ x > 2

x < -2 \ \text{או} \ x > 2

שכחו את החצי השלילי. $x = -3$ נותן $9 > 4$ , אמת.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו: $4 - 3x > 10$

$x > 2$
$x < -2$
$x < 2$
$x > -2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x < -2$

הפתרון:

-3x > 6

מעבירים את $4$

x < -2

מחלקים ב- $-3$ : הכיוון מתהפך

\begin{aligned}x &= -3: \ 4 + 9 \\ &= 13 > 10\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: $x < -2$ . $x > -2$ שכחה להפוך את הכיוון. $x < 2$ טעתה בסימן של $6 : (-3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו: $x^2 - 5x + 6 > 0$

$x > 3$
כל $x$
$x < 2$ או $x > 3$
$2 < x < 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x < 2$ או $x > 3$

הפתרון:

(x-2)(x-3) = 0

שורשים 2 ו-3

a > 0

פתוחה כלפי מעלה

\text{חיובית בחוץ}

ושלילית בפנים

כלפי מעלה — חיובית מחוץ לשורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו: $x^2 - 16 \leq 0$

$-4 \leq x \leq 4$
$x \leq -4$ או $x \geq 4$
$-4 < x < 4$
$x \leq 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $-4 \leq x \leq 4$

הפתרון:

\begin{aligned}(x - 4)(x + 4) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 4\end{aligned}

שורשים

a > 0

פתוחה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים

-4 \leq x \leq 4

עם השורשים, בגלל $\leq$

הנכונה: $-4 \leq x \leq 4$ . $-4 < x < 4$ השמיטה את השורשים, ושם הביטוי שווה ל- $0$ , מה שמותר ב- $\leq$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו: $x^2 + 2x - 8 > 0$

$x < -2$ או $x > 4$
$x < -4$ או $x > 2$
$-4 < x < 2$
$x > 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x < -4$ או $x > 2$

הפתרון:

\begin{aligned}(x + 4)(x - 2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שורשים

x < -4 \ \text{או} \ x > 2

פתוחה כלפי מעלה: חיובית בחוץ

הנכונה: $x < -4$ או $x > 2$ . $-4 < x < 2$ הוא בדיוק הקטע שבו הביטוי שלילי. בדיקה: $x = 0$ נותן $-8 > 0$ , שקר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו: $x^2 - 6x + 5 < 0$ . השלימו את הקטע.

____ $< x <$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1 $< x <$ 5

הפתרון:

\begin{aligned}(x - 1)(x - 5) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 5\end{aligned}

שורשים

1 < x < 5

פתוחה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים

\begin{aligned}x &= 3: \ 9 - 18 + 5 \\ &= -4 < 0\end{aligned}

בדיקה ✓

הפתרון הוא קטע כי השאלה היא «איפה שלילי» על פרבולה שפתוחה כלפי מעלה: רק בין השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: $x = 3$ מקיים את אי-השוויון $x^2 - 2x > 5$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}3^2 - 2 \cdot 3 &= 9 - 6 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

3 > 5

שקר

הטענה לא נכונה. בדיקה של מספר בודד לא דורשת לפתור את אי-השוויון: מציבים ובודקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

בגרף: $f(x) = x^2 - 2x - 3$ ו- $g(x) = x + 1$ . א. לפי הגרף, עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

$-1 < x < 4$
$x < 4$
$x > 4$
$x < -1$ או $x > 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x < -1$ או $x > 4$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

נקודות המפגש, מהגרף

x < -1 \ \text{או} \ x > 4

הפרבולה מעל הישר מחוץ לקטע שבין המפגשים

x^2 - 2x - 3 > x + 1 \ \Rightarrow \ x^2 - 3x - 4 > 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 1) > 0

אימות באלגברה ✓

הנכונה: $x < -1$ או $x > 4$ . $-1 < x < 4$ הוא הקטע שבו הישר מעל הפרבולה, כלומר $g(x) > f(x)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

בגרף: $f(x) = x^2 - 2x - 3$ ו- $g(x) = x + 1$ . ב. לפי הגרף, עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) < 0$ ?

$x < -1$ או $x > 3$
$x < 3$
$-1 < x < 4$
$-1 < x < 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $-1 < x < 3$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= (x - 3)(x + 1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוך הפרבולה עם ציר ה- $x$

-1 < x < 3

הפרבולה מתחת לציר בין השורשים

הנכונה: $-1 < x < 3$ . שימו לב: $f(x) < 0$ שואל על ציר ה- $x$ , לא על הישר $g$ . $-1 < x < 4$ עונה על השאלה הקודמת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה מספרים שלמים מקיימים את אי-השוויון $x^2 - 5x + 4 \leq 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}(x - 1)(x - 4) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

שורשים

1 \leq x \leq 4

שלילי או אפס בין השורשים, כולל אותם

1 ,\ 2 ,\ 3 ,\ 4

ארבעה שלמים

ב- $\leq$ השורשים נכללים: $1$ ו- $4$ נספרים. מי שענה $2$ פתר $<$ במקום $\leq$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

f(x) = x² + 1 (כחול) ו-g(x) = −x² + 9 (כתום)

בגרף: $f(x) = x^2 + 1$ ו- $g(x) = -x^2 + 9$ . עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

$x < -2$ או $x > 2$
$x < -3$ או $x > 3$
$-2 < x < 2$
$x > 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x < -2$ או $x > 2$

הפתרון:

x^2 + 1 > -x^2 + 9

כותבים

2x^2 > 8 \ \Rightarrow \ x^2 > 4

מעבירים אגף ומחלקים ב- $2$

x < -2 \ \text{או} \ x > 2

בגרף: הכחולה מעל הכתומה מחוץ לקטע שבין המפגשים ✓

הנכונה: $x < -2$ או $x > 2$ . $x > 2$ שכחה את החצי השמאלי: הפרבולות סימטריות סביב ציר ה- $y$ . $-2 < x < 2$ היא הקטע שבו $g$ למעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

אי-שוויון ממעלה ראשונה

אי-שוויון ריבועי — לקרוא את הסימן על הפרבולה

f(x) > g(x) — באלגברה ובגרף

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev