משוואות מסוגים שונים · טכניקה אלגברית, משוואות ואי-שוויונות · כיתה י׳

שלוש משוואות שנראות מפחידות: $\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x} = 1$ , $\sqrt{x+7} = x+1$ , $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ . בכל אחת מהן צעד אחד הופך אותה למשוואה שכבר פתרתם. ובכל אחת מהן יש צעד אחרון שאסור לדלג עליו: הבדיקה.

משוואה עם שברים אלגבריים

ארבעה צעדים, תמיד באותו סדר: תחום הגדרה (המכנים אינם אפס), מכנה משותף, כפל של כל המשוואה במכנה המשותף, ופתרון. בסוף משווים לתחום: פתרון שמאפס מכנה נפסל.

פעילות אינטראקטיבית

פתרו: $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{2}{x} = 1$

\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x} = 1

לחצו «להתחיל». הצעד הראשון אינו חישוב: הוא תחום ההגדרה.

תחום

x \neq 1 ,\quad x \neq 0

שני המכנים אסור שיתאפסו.

מכנה משותף

x(x - 1)

המכנים זרים, ולכן המכנה המשותף הוא המכפלה.

כופלים

x \cdot x - 2(x - 1) = x(x - 1)

כל איבר מוכפל במכנה המשותף, גם ה- $1$ באגף ימין.

פותחים

x^2 - 2x + 2 = x^2 - x

המינוס חל על כל $(x - 1)$ .

פותרים

\begin{aligned}-2x + 2 &= -x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

ה- $x^2$ מצטמצם: משוואה ממעלה ראשונה.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 2 \in \text{תחום} \\ \qquad \frac{2}{1} - \frac{2}{2} &= 2 - 1 \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בתחום, ומקיים.

הפתרון $x = 2$ . שימו לב לצעד «כופלים»: ה- $1$ באגף ימין הפך ל- $x(x-1)$ , לא נשאר $1$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

פתרו: $\dfrac{x^2}{x - 3} = \dfrac{9}{x - 3}$

להציג את התשובה והפתרון

תחום: $x \neq 3$ . אותו מכנה, ולכן $x^2 = 9$ , כלומר $x = 3$ או $x = -3$ . $x = 3$ נפסל, הוא מחוץ לתחום. הפתרון היחיד: $x = -3$ .

משוואה אי-רציונלית — מבודדים, מעלים בריבוע, בודקים

משוואה שבה הנעלם מתחת לשורש. מבודדים את השורש באגף אחד, מעלים את שני האגפים בריבוע, ופותרים. ההעלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון שלא היה: $(-2)^2 = 2^2$ , אבל $-2 \neq 2$ . לכן בודקים כל פתרון במשוואה המקורית.

פעילות אינטראקטיבית

פתרו: $\sqrt{x + 7} = x + 1$

פתרו את המשוואה $\sqrt{x + 7} = x + 1$ . בכל שלב בחרו את הצעד הנכון.

$x = 2$

$x = 2$ או $x = -3$

$x = -3$

אין פתרון

השורש כבר מבודד. מה הצעד הבא?

מעלים את שני האגפים בריבוע

להציג את התשובה והפתרון

השורש לבד באגף שמאל, ולכן הוא ייעלם.

מעלים בריבוע רק את אגף שמאל

להציג את התשובה והפתרון

פעולה על אגף אחד בלבד משנה את המשוואה.

מוציאים שורש מ- $x + 1$

להציג את התשובה והפתרון

זה מוסיף שורש במקום להוריד.

x + 7 = x^2 + 2x + 1

$(x + 1)^2$ לפי הזהות

איזו משוואה ריבועית מתקבלת?

$x^2 + x - 6 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

מעבירים $x + 7$ לאגף ימין: $2x - x = x$ , $1 - 7 = -6$ .

$x^2 + 3x - 6 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

$2x - x = x$ , לא $3x$ .

$x^2 + x + 8 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

$1 - 7 = -6$ , לא $+8$ .

\begin{aligned}x^2 + x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x + 3)(x - 2) \\ &= 0\end{aligned}

מועמדים: $x = -3$ , $x = 2$

מה עכשיו?

בודקים את שני המועמדים במשוואה המקורית

להציג את התשובה והפתרון

זה השלב שחובה בכל משוואה אי-רציונלית.

עונים $x = 2$ או $x = -3$

להציג את התשובה והפתרון

ההעלאה בריבוע עלולה להוסיף פתרון זר.

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 2 + 1 \ \checkmark \qquad x \\ &= -3: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

$x = -3$ נפסל

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון: $x = 2$ . בדיקה מהירה שחוסכת עבודה: אגף ימין $x + 1$ חייב להיות אי-שלילי כי שורש אינו שלילי, ולכן $x \geq -1$ ו- $x = -3$ לא יכול להתאים.

לעשות את הפעילות ב-elev

שני שורשים: מבודדים אחד, מעלים בריבוע, ושוב

פתרו: $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$ .

\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}

מבודדים שורש אחד

x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x

מעלים בריבוע: $(1 + \sqrt{x})^2$ לפי הזהות

\begin{aligned}4 &= 2\sqrt{x} \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2\end{aligned}

ה- $x$ מצטמצם, נשאר שורש אחד

x = 4

מעלים בריבוע שוב

\begin{aligned}\sqrt{9} - \sqrt{4} &= 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה ✓

למה חייבים לבדוק במשוואה אי-רציונלית, גם כשהחישוב נכון?

להציג את התשובה והפתרון

כי העלאה בריבוע היא פעולה שאינה הפיכה: $-3 = 3$ הוא שקר, אבל $(-3)^2 = 3^2$ אמת. המשוואה החדשה יכולה להכיל פתרון שהמקורית לא הכילה.

משוואה דו-ריבועית — הצבה

ב- $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ מופיעים רק $x^4$ ו- $x^2$ . מציבים $t = x^2$ , ואז $x^4 = t^2$ , והמשוואה נהיית ריבועית ב- $t$ . פותרים, וחוזרים ל- $x$ : כל $t$ חיובי נותן שני ערכי $x$ , ו- $t$ שלילי נפסל, כי ריבוע אינו שלילי.

פעילות אינטראקטיבית

פתרו: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

x^4 - 5x^2 + 4 = 0

לחצו «להתחיל». ההצבה הופכת מעלה רביעית למעלה שנייה.

הצבה

\begin{aligned}t &= x^2 \ \Rightarrow \ t^2 - 5t + 4 \\ &= 0\end{aligned}

$x^4 = (x^2)^2 = t^2$ .

פותרים ב-t

\begin{aligned}(t - 1)(t - 4) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 4\end{aligned}

מכפלה $4$ , סכום $5$ .

חוזרים ל-x

\begin{aligned}x^2 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1 \qquad x^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

כל $t$ חיובי נותן שני פתרונות.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 2: \ 16 - 20 + 4 \\ &= 0 \ \checkmark\end{aligned}

ארבעה פתרונות: $-2, -1, 1, 2$ .

ארבעה פתרונות, וזה המקסימום למשוואה ממעלה רביעית. הטעות הנפוצה: לענות $x = 1$ או $x = 4$ , כלומר לשכוח לחזור מ- $t$ ל- $x$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

פתרו: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

$t = x^2$ : $t^2 - 10t + 9 = 0$ , $(t - 1)(t - 9) = 0$ , $t = 1$ או $t = 9$ . חוזרים: $x = \pm 1$ או $x = \pm 3$ . ארבעה פתרונות.

שלוש משוואות, כלל אחד: הצעד שמשנה את המשוואה (כפל במכנה, העלאה בריבוע, הצבה) דורש בדיקה בסוף. כתבו את הבדיקה כשורה בפתרון, לא בראש.

שלוש הטעויות של הפרק.

\begin{aligned}\frac{x^2}{x - 3} &= \frac{9}{x - 3} \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

x = -3

$x = 3$ מאפס את המכנה. תחום ההגדרה נכתב לפני הכפל במכנה, ונבדק אחרי.

\begin{aligned}\sqrt{x + 7} &= x + 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

x = 2

$x = -3$ נותן $2 = -2$ . בלי בדיקה, פתרון זר נכנס לתשובה.

\begin{aligned}t^2 - 5t + 4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}x &= \pm 1 \ \text{או} \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

$t$ אינו $x$ . חוזרים דרך $x^2 = t$ , ולכל $t$ חיובי שני ערכי $x$ .

תרגילים

תרגיל 1

פתרו: $\dfrac{5}{x - 1} = \dfrac{10}{x + 2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x \neq 1 ,\ x \neq -2

תחום ההגדרה

5(x + 2) = 10(x - 1)

כופלים במכנה המשותף $(x-1)(x+2)$

\begin{aligned}5x + 10 &= 10x - 10 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

\frac{5}{3} = \frac{10}{6}

בתחום, ובדיקה ✓

כשיש שבר מכל צד, הכפל במכנה המשותף הוא «כפל בהצלבה». ואחרי הפתרון משווים לתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו תחום ההגדרה של המשוואה $\dfrac{3}{x^2 - 4x} = \dfrac{1}{x}$ ?

$x \neq 0$
$x \neq 0$ וגם $x \neq 4$
$x \neq 4$
$x \neq 0$ וגם $x \neq -4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x \neq 0$ וגם $x \neq 4$

הפתרון:

x^2 - 4x = x(x - 4) \neq 0

המכנה הראשון: מפרקים

x \neq 0 ,\quad x \neq 4

שני הגורמים, וגם המכנה השני $x \neq 0$

הנכונה: $x \neq 0$ וגם $x \neq 4$ . כדי לראות את $4$ חייבים לפרק את המכנה: $x^2 - 4x$ לא מגלה אותו במבט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו: $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4} = 0$

$x = -4$
$x = 4$ או $x = -4$
$x = 4$
אין פתרון

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x = -4$

הפתרון:

x \neq 4

תחום ההגדרה

\begin{aligned}x^2 - 16 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 4\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

x = 4 \ \text{נפסל}

מחוץ לתחום

הנכונה: $x = -4$ . « $x = 4$ או $x = -4$ » היא תשובה בלי תחום הגדרה: ב- $x = 4$ המכנה הוא אפס, והשבר אינו מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו: $\sqrt{2x + 3} = 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

2x + 3 = 25

מעלים בריבוע

\begin{aligned}2x &= 22 \ \Rightarrow \ x \\ &= 11\end{aligned}

פותרים

\sqrt{25} = 5

בדיקה ✓

מי שכתב $2x + 3 = 5$ שכח להעלות בריבוע ומקבל $x = 1$ , ושם $\sqrt{5} \neq 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו: $\sqrt{x + 2} = x$

$x = 2$
$x = -1$
אין פתרון
$x = 2$ או $x = -1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x = 2$

הפתרון:

\begin{aligned}x + 2 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 2 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}(x - 2)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}

מועמדים

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \ \checkmark \qquad x \\ &= -1: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: $x = 2$ . $x = -1$ נפסל: אגף ימין שלילי ואגף שמאל, שורש, אינו שלילי לעולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו: $\sqrt{3x - 2} = x - 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3x - 2 = x^2 - 4x + 4

מעלים בריבוע: $(x - 2)^2$ לפי הזהות

\begin{aligned}x^2 - 7x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 1)(x - 6) \\ &= 0\end{aligned}

מועמדים $1$ ו- $6$

\begin{aligned}x &= 6: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \\ &= 6 - 2 \ \checkmark \qquad x \\ &= 1: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

בדיקה: $x = 1$ נפסל

אגף ימין $x - 2$ חייב להיות אי-שלילי, ולכן $x \geq 2$ . $x = 1$ נפסל עוד לפני ההצבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו: $\sqrt{x + 8} - \sqrt{x} = 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\sqrt{x + 8} = 2 + \sqrt{x}

מבודדים שורש אחד

x + 8 = 4 + 4\sqrt{x} + x

מעלים בריבוע

\begin{aligned}4 &= 4\sqrt{x} \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מצמצמים ומעלים בריבוע שוב

\begin{aligned}\sqrt{9} - \sqrt{1} &= 3 - 1 \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה ✓

בהעלאה בריבוע של $2 + \sqrt{x}$ יש איבר אמצעי $4\sqrt{x}$ . מי ששכח אותו כתב $x + 8 = 4 + x$ ומצא סתירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

$x = \pm 4$ או $x = \pm 9$
$x = 4$ או $x = 9$
$x = \pm 2$ או $x = \pm 3$
$x = 2$ או $x = 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x = \pm 2$ או $x = \pm 3$

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 13t + 36 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}(t - 4)(t - 9) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4 \\ \ t &= 9\end{aligned}

מכפלה $36$ , סכום $13$

\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2 \qquad x^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

הנכונה: $x = \pm 2$ או $x = \pm 3$ . « $x = 4$ או $x = 9$ » עצרה ב- $t$ . « $x = 2$ או $x = 3$ » שכחה את הפתרונות השליליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה פתרונות יש למשוואה $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 3t - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (t - 4)(t + 1) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה ופירוק

\begin{aligned}t &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2 \qquad t \\ &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

$x^2 = -1$ אין לה פתרון

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני פתרונות

מי שענה $4$ ספר גם את $t = -1$ . ריבוע אינו שלילי, ולכן $t$ שלילי לא נותן אף $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הוכיחו או הפריכו: למשוואה $\sqrt{x - 1} = -3$ אין פתרון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\sqrt{x - 1} \geq 0

שורש ריבועי אינו שלילי לעולם

\begin{aligned}x - 1 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10 \\ \qquad \sqrt{9} &= 3 \neq -3\end{aligned}

גם מי שהעלה בריבוע: הבדיקה פוסלת

הטענה נכונה. אפשר לראות את זה בלי חישוב: אגף שמאל אי-שלילי, אגף ימין שלילי. ההעלאה בריבוע מייצרת מועמד, והבדיקה פוסלת אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

משוואה עם שברים אלגבריים

משוואה אי-רציונלית — מבודדים, מעלים בריבוע, בודקים

משוואה דו-ריבועית — הצבה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev