פותרים יחד · טכניקה אלגברית, משוואות ואי-שוויונות · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: שבר אלגברי שמצמצמים ואז פותרים, מערכת של ישר ופרבולה, משוואה עם שני שורשים, $f(x) > g(x)$ מתוך גרף, ומשוואה דו-ריבועית. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — שבר אלגברי: תחום, צמצום, ומשוואה

פעילות אינטראקטיבית

נתון הביטוי $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. צמצמו את הביטוי. ג. פתרו את המשוואה $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} = 5$ .

\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}

לחצו «להתחיל». התחום נקבע לפי המכנה המקורי, לפני כל צמצום.

א. מכנה

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

זהות: ריבוע של הפרש.

א. תחום

(x - 3)^2 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 3

ערך אחד אסור.

ב. מונה

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

הפרש ריבועים.

ב. צמצום

\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x + 3}{x - 3}

מצמצמים גורם $x - 3$ אחד.

ג. משוואה

\begin{aligned}\frac{x + 3}{x - 3} &= 5 \ \Rightarrow \ x + 3 \\ &= 5(x - 3)\end{aligned}

כופלים במכנה, מותר כי $x \neq 3$ .

ג. פתרון

\begin{aligned}x + 3 &= 5x - 15 \ \Rightarrow \ 18 \\ &= 4x \ \Rightarrow \ x \\ &= 4.5\end{aligned}

משוואה ממעלה ראשונה.

ג. בדיקה

\frac{7.5}{1.5} = 5 \ \checkmark

בתחום ( $4.5 \neq 3$ ), ומקיים.

סעיף ג משתמש בסעיף ב: פותרים עם הביטוי המצומצם, וזה חוקי כי התחום כבר נרשם. בלי סעיף א, פתרון $x = 3$ היה יכול להתגנב.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה בסעיף ב מצמצמים רק גורם $x - 3$ אחד, כשבמכנה יש שניים?

להציג את התשובה והפתרון

כי במונה יש רק אחד. צמצום הוא חלוקה של המונה ושל המכנה באותו גורם: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-3)}$ , מחלקים פעם אחת ב- $x - 3$ , ונשאר $\frac{x+3}{x-3}$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מערכת של ישר ופרבולה

פעילות אינטראקטיבית

פתרו את המערכת: $y = x^2 - 3x + 2$ ו- $y = 2x - 4$

נתונות הפרבולה $y = x^2 - 3x + 2$ והישר $y = 2x - 4$ . מצאו את נקודות המפגש שלהם.

$(2,\,0)$ ו- $(3,\,2)$

$(2,\,0)$ בלבד

$(1,\,0)$ ו- $(2,\,0)$

אין נקודות מפגש

איך מתחילים?

משווים: $x^2 - 3x + 2 = 2x - 4$

להציג את התשובה והפתרון

בנקודת מפגש ה- $y$ של הפרבולה שווה ל- $y$ של הישר.

מציבים $x = 0$ בשתי המשוואות

להציג את התשובה והפתרון

זה נותן את החיתוך עם ציר ה- $y$ , לא נקודת מפגש בין הגרפים.

מחברים את שתי המשוואות

להציג את התשובה והפתרון

חיבור לא מבטל את $y$ כאן. הצבה היא הדרך.

x^2 - 3x + 2 = 2x - 4

אותו $y$ בשתי המשוואות

איזו משוואה ריבועית מתקבלת?

$x^2 - 5x + 6 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

$-3x - 2x = -5x$ , $2 + 4 = 6$ .

$x^2 - x - 2 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

טעות סימן: $-3x - 2x$ הוא $-5x$ , ו- $2 - (-4) = 6$ .

$x^2 - 5x - 2 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

$2 - (-4) = 6$ , לא $-2$ .

\begin{aligned}x^2 - 5x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 2)(x - 3) \\ &= 0\end{aligned}

$x = 2$ או $x = 3$

איך מוצאים את $y$ ?

מציבים כל $x$ בישר $y = 2x - 4$

להציג את התשובה והפתרון

החישוב הקצר. אפשר גם בפרבולה, התוצאה זהה.

$y$ הוא תמיד $0$ בנקודת מפגש

להציג את התשובה והפתרון

$y = 0$ רק בחיתוך עם ציר ה- $x$ . כאן מפגש בין שני גרפים.

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0 \qquad x \\ &= 3 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה בפרבולה: $4 - 6 + 2 = 0$ ✓, $9 - 9 + 2 = 2$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

$(2,\,0)$ ו- $(3,\,2)$ . שתי נקודות מפגש, כי למשוואה של ההצבה שני פתרונות. « $(1,\,0)$ ו- $(2,\,0)$ » הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $x$ : שאלה אחרת.

לעשות את הפעילות ב-elev

בלי לחשב: כמה נקודות מפגש יכולות להיות לישר ולפרבולה?

להציג את התשובה והפתרון

אפס, אחת או שתיים. משוואת ההצבה היא ריבועית, ולה לכל היותר שני פתרונות. נקודה אחת פירושה שהישר משיק לפרבולה.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משוואה עם שני שורשים

פעילות אינטראקטיבית

פתרו: $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x} = 1$

\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x} = 1

לחצו «להתחיל». עם שני שורשים מעלים בריבוע פעמיים, ובודקים פעם אחת בסוף.

תחום

x \geq 0

שני השורשים מוגדרים כש- $x \geq 0$ .

מבודדים

\sqrt{2x + 1} = 1 + \sqrt{x}

שורש אחד לבד באגף שמאל.

ריבוע

2x + 1 = 1 + 2\sqrt{x} + x

$(1 + \sqrt{x})^2$ לפי הזהות: שלושה איברים.

מצמצמים

x = 2\sqrt{x}

נשאר שורש אחד.

ריבוע שוב

\begin{aligned}x^2 &= 4x \ \Rightarrow \ x(x - 4) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

לא מחלקים ב- $x$ : הוא יכול להיות אפס.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 0: \ 1 - 0 \\ &= 1 \ \checkmark \qquad x \\ &= 4: \ 3 - 2 \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

שני הפתרונות מתקבלים.

שני פתרונות, $x = 0$ ו- $x = 4$ . מי שחילק את $x = 2\sqrt{x}$ ב- $\sqrt{x}$ מצא רק $x = 4$ ואיבד פתרון נכון.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשלב «ריבוע» הופיע איבר $2\sqrt{x}$ . מאיפה הוא בא?

להציג את התשובה והפתרון

מהזהות $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ עם $a = 1$ , $b = \sqrt{x}$ : האיבר האמצעי $2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x}$ . מי שכותב $1 + x$ שוכח אותו, ומקבל $x = 0$ בלבד.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — f(x) > g(x) מתוך הגרף

f(x) = x² − 4x + 3 (כחול) ו-g(x) = −x + 3 (כתום)

שני הגרפים נפגשים ב-

(0,\,3)

וב-

(3,\,0)

. לפני שפותרים, אמרו במילים: באיזה קטע הכחול למעלה?

פעילות אינטראקטיבית

עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

בגרף: $f(x) = x^2 - 4x + 3$ ו- $g(x) = -x + 3$ . א. מצאו את נקודות המפגש. ב. עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

$x < 0$ או $x > 3$

$0 < x < 3$

$x > 3$

$1 < x < 3$

א. איך מוצאים את נקודות המפגש?

פותרים $x^2 - 4x + 3 = -x + 3$

להציג את התשובה והפתרון

נקודת מפגש: אותו $y$ לשני הגרפים.

פותרים $x^2 - 4x + 3 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

זה החיתוך של $f$ עם ציר ה- $x$ ( $x = 1$ , $x = 3$ ), לא המפגש עם $g$ .

\begin{aligned}x^2 - 3x &= 0 \ \Rightarrow \ x(x - 3) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

הנקודות $(0,\,3)$ ו- $(3,\,0)$ , כמו בגרף

ב. בקטע $0 < x < 3$ , מי למעלה?

הישר $g$

להציג את התשובה והפתרון

בדיקה ב- $x = 1$ : $f(1) = 0$ , $g(1) = 2$ . הישר גבוה יותר.

הפרבולה $f$

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x = 1$ : $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ , ו- $g(1) = 2$ . הפרבולה מתחת.

0 < x < 3: \ g(x) > f(x)

בין נקודות המפגש הישר מעל הפרבולה

ב. אז איפה $f(x) > g(x)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

מחוץ לקטע שבין המפגשים הפרבולה למעלה.

$x > 3$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

גם משמאל ל- $0$ הפרבולה למעלה: $f(-1) = 8 > g(-1) = 4$ .

x^2 - 3x > 0 \ \Rightarrow \ x < 0 \ \text{או} \ x > 3

אימות באלגברה: פתוחה כלפי מעלה, חיובית מחוץ לשורשים ✓

להציג את התשובה והפתרון

$x < 0$ או $x > 3$ . « $1 < x < 3$ » ערבבה את השורשים של $f$ עם נקודות המפגש. השאלה היא על $f$ מול $g$ , לא על $f$ מול ציר ה- $x$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) = g(x)$ ? ומה זה אומר על מספר הפתרונות של המשוואה $x^2 - 4x + 3 = -x + 3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

רק ב- $x = 0$ ו- $x = 3$ : נקודות המפגש. למשוואה שני פתרונות, בדיוק כמספר נקודות המפגש בגרף.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — משוואה דו-ריבועית, עם פסילה

פעילות אינטראקטיבית

פתרו: $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

x^4 - 8x^2 - 9 = 0

לחצו «להתחיל». הפעם אחד מערכי $t$ ייפסל.

הצבה

\begin{aligned}t &= x^2 \ \Rightarrow \ t^2 - 8t - 9 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב- $t$ .

פותרים ב-t

\begin{aligned}(t - 9)(t + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 9 \\ \ t &= -1\end{aligned}

מכפלה $-9$ , סכום $-8$ .

פוסלים

\begin{aligned}t &= -1 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי.

חוזרים ל-x

\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני פתרונות.

בדיקה

\begin{aligned}x &= 3: \ 81 - 72 - 9 \\ &= 0 \ \checkmark\end{aligned}

גם $x = -3$ , כי כל החזקות זוגיות.

שני פתרונות ולא ארבעה: $t$ שלילי לא נותן אף $x$ . בגרף, הפונקציה $y = x^4 - 8x^2 - 9$ חותכת את ציר ה- $x$ בשתי נקודות בלבד.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה $x = -3$ בהכרח פתרון, אם $x = 3$ פתרון?

להציג את התשובה והפתרון

כי במשוואה מופיעים רק $x^4$ ו- $x^2$ , חזקות זוגיות: $(-3)^4 = 3^4$ ו- $(-3)^2 = 3^2$ . פתרונות של משוואה דו-ריבועית תמיד באים בזוגות $\pm$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתון הביטוי $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4}$ . א. איזה ערך של $x$ אסור? ב. פתרו: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} = 3$ .

א. $x \neq$ ____ , ב. $x =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א. $x \neq$ 2 , ב. $x =$ 4

הפתרון:

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 2

תחום ההגדרה

\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^2} = \frac{x + 2}{x - 2}

צמצום

\begin{aligned}\frac{x + 2}{x - 2} &= 3 \ \Rightarrow \ x + 2 \\ &= 3x - 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

\frac{6}{2} = 3

בתחום, ובדיקה ✓

הצמצום לפני המשוואה חוסך משוואה ריבועית. ותחום ההגדרה נרשם לפניו: $x = 2$ אסור גם אחרי הצמצום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את המערכת: $y = x^2 - 2x - 3$ ו- $y = x - 5$ . רשמו את שתי הנקודות, קודם זו עם ה- $x$ הקטן.

( ____ , ____ ) ו-( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( 1 , -4 ) ו-( 2 , -3 )

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= x - 5 \ \Rightarrow \ x^2 - 3x + 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים אגף

\begin{aligned}(x - 1)(x - 2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

מפרקים

\begin{aligned}x &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4 \\ \qquad x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= -3\end{aligned}

מציבים בישר

בדיקה בפרבולה: $1 - 2 - 3 = -4$ ✓ ו- $4 - 4 - 3 = -3$ ✓. שתי נקודות מפגש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו: $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}

מבודדים

\begin{aligned}x + 5 &= 1 + 2\sqrt{x} + x \ \Rightarrow \ 4 \\ &= 2\sqrt{x}\end{aligned}

מעלים בריבוע ומצמצמים

\begin{aligned}\sqrt{x} &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מעלים בריבוע שוב

\begin{aligned}\sqrt{9} - \sqrt{4} &= 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה ✓

הפעם פתרון יחיד: אחרי הצמצום נשאר $\sqrt{x} = 2$ ולא $x = 2\sqrt{x}$ . האיבר האמצעי $2\sqrt{x}$ הוא לב החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

f(x) = x² − 1 (כחול) ו-g(x) = 2x + 2 (כתום)

בגרף: $f(x) = x^2 - 1$ ו- $g(x) = 2x + 2$ . עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) > g(x)$ ?

$x < -1$ או $x > 1$
$x > 3$
$-1 < x < 3$
$x < -1$ או $x > 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x < -1$ או $x > 3$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 1 &= 2x + 2 \ \Rightarrow \ x^2 - 2x - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 3)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

נקודות המפגש: $x = -1$ , $x = 3$

x < -1 \ \text{או} \ x > 3

הפרבולה מעל הישר מחוץ לקטע שבין המפגשים

\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= -1 < g(0) \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה בתוך הקטע: שם הישר למעלה ✓

הנכונה: $x < -1$ או $x > 3$ . « $x < -1$ או $x > 1$ » ערבבה את שורשי $f$ ( $\pm 1$ ) עם נקודות המפגש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו: $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

$x = \pm 2$
$x = \pm 4$
$x = \pm 2$ או $x = \pm \sqrt{2}$
$x = 4$ או $x = -2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x = \pm 2$

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 2t - 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (t - 4)(t + 2) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה ופירוק

t = -2 \ \text{נפסל}

ריבוע אינו שלילי

\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

הנכונה: $x = \pm 2$ . « $x = 4$ או $x = -2$ » עצרה ב- $t$ . « $\pm 2$ או $\pm \sqrt{2}$ » לקחה שורש גם מ- $t = -2$ כאילו היה $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — שבר אלגברי: תחום, צמצום, ומשוואה

2 — מערכת של ישר ופרבולה

3 — משוואה עם שני שורשים

4 — f(x) > g(x) מתוך הגרף

5 — משוואה דו-ריבועית, עם פסילה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev