תרגול · קווים מיוחדים במשולש · כיתה י׳

עשרה תרגילים על כל הפרק: תיכונים והיחס $2:1$ , התיכון ליתר, משפט חוצה הזווית והמשפט ההפוך לו, אנכים אמצעיים וגבהים, ומדידה במערכת צירים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

במשולש $ABC$ , $G$ נקודת מפגש התיכונים ו- $AD$ תיכון באורך $24$ . מצאו את $AG$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 24 \\ &= 16\end{aligned}

נקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס $2:1$

$AG = 16$ ו- $GD = 8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, ו- $BM$ תיכון ליתר $AC$ . נתון $AC = 30$ . מהו $BM$ ?

תלוי בניצבים
$30$
$15$
$7.5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $15$

הפתרון:

\begin{aligned}BM &= \frac{AC}{2} \\ &= 15\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

הנכונה: $15$ . הניצבים לא משנים: המשפט תלוי ביתר בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ , $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $AB = 4$ , $AC = 6$ ו- $BD = 2$ . מצאו את $DC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \ \Rightarrow \ \frac{2}{DC} \\ &= \frac{4}{6}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

DC = 3

כפל בהצלבה

$DC = 3$ . $D$ קרובה יותר ל- $B$ , לצד הצלע הקצרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 7$ , $AC = 14$ ו- $BC = 18$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{7}{14} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{1}{3} \cdot 18 \\ &= 6\end{aligned}

חלק אחד משלושה

$BD = 6$ ו- $DC = 12$ . יחס $1:2$ פירושו שלושה חלקים, לא שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונות $A(3,\,1)$ ו- $B(7,\,9)$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של האנך האמצעי של $AB$ עם ציר ה- $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

M(5,\,5)

אמצע הקטע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{9 - 1}{7 - 3} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע מאונך

\begin{aligned}y - 5 &= -\tfrac{1}{2}(x - 5) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\tfrac{1}{2}x + 7.5\end{aligned}

משוואת האנך האמצעי

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 7.5\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

$7.5$ . הנגדי וההופכי של $2$ הוא $-\frac{1}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: במשולש קהה זווית, נקודת המפגש של האנכים האמצעיים נמצאת מחוץ למשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\gamma > 90^\circ

כשזווית אחת קהה, הנקודה ששוות-מרחק משלושת הקודקודים נמצאת מעבר לצלע שמול הזווית הקהה

\begin{aligned}\gamma &= 90^\circ \ \Rightarrow \ OA \\ &= OB \\ &= OC \\ &= \tfrac{AB}{2}\end{aligned}

המקרה הגבולי: במשולש ישר זווית $O$ בדיוק על אמצע היתר, וכשהזווית גדלה עוד, $O$ יוצאת החוצה

הטענה נכונה. חד זוויות: בפנים; ישר זווית: על אמצע היתר; קהה זווית: בחוץ. אותו כלל בדיוק חל גם על מפגש הגבהים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $A(0,\,0)$ , $B(9,\,0)$ , $C(3,\,6)$ מצאו את נקודת מפגש התיכונים $G$ .

$G($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $G($ 4 $,$ 2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}D(4.5,\,0) \ \Rightarrow \ m_{CD} &= \frac{0 - 6}{4.5 - 3} \\ &= -4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x + 18\end{aligned}

התיכון מ- $C$ לאמצע $AB$

E(6,\,3) \ \Rightarrow \ AE: \ y = \tfrac{1}{2}x

התיכון מ- $A$ לאמצע $BC$

\begin{aligned}\tfrac{1}{2}x &= -4x + 18 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ y &= 2\end{aligned}

חיתוך

$G(4,\,2)$ . בדיקה בממוצע: $\frac{0 + 9 + 3}{3} = 4$ , $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, ו- $BM$ תיכון ליתר $AC$ . נתון $BM = 8.5$ ו- $AB = 8$ . חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 8.5 \\ &= 17\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}BC &= \sqrt{289 - 64} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 15}{2} \\ &= 60\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית

$60$ . השטח מהניצבים, לא מהתיכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שטח המשולש $ABC$ הוא $54$ סמ״ר. $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ), $AB = 12$ ו- $AC = 15$ . מצאו את שטח המשולש $ABD$ בסמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{12}{15} \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

חוצה זווית מחלק את השטח ביחס הצלעות: הגבהים מ- $D$ אל השוקיים שווים

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{4}{9} \cdot 54 \\ &= 24\end{aligned}

ארבעה חלקים מתשעה

$24$ סמ״ר. גם דרך משפט חוצה הזווית: $\frac{BD}{BC} = \frac{4}{9}$ , ואותו גובה מ- $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שטח המשולש $ABC$ הוא $45$ סמ״ר, ו- $G$ נקודת מפגש התיכונים. מצאו את שטח המשולש $AGB$ בסמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\frac{GF}{CF} = \frac{1}{3}

$CF$ התיכון לצלע $AB$ ; $G$ מחלקת אותו ביחס $2:1$ , ו- $GF$ שליש

\frac{h_G}{h_C} = \frac{1}{3}

הגובה מ- $G$ אל $AB$ הוא שליש מהגובה מ- $C$

\begin{aligned}S_{AGB} &= \frac{1}{3} \cdot 45 \\ &= 15\end{aligned}

אותו בסיס $AB$ , גובה שליש

$15$ סמ״ר. $G$ מחלקת את המשולש לשלושה משולשים שווי שטח, ולכן שליש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev