סדרה 5 — לקראת הבגרות · קווים מיוחדים במשולש · כיתה י׳

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים כמו בבחינה: תיכונים במערכת צירים, תיכון וחוצה זווית במשולש ישר זווית, אנך אמצעי ומקום גאומטרי, והמשפט ההפוך עם זווית.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: שם המשפט בכל שלב, תוצאות מדויקות ( $\sqrt{20}$ , לא $4.47$ ), ובדיקה שהסעיפים מסכימים זה עם זה.

תרגילים

תרגיל 1

נתון משולש $A(4,\,9)$ , $B(0,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ ו- $BE$ תיכון לצלע $AC$ . א. מצאו את אורך התיכון $BE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

E\left(\frac{4 + 8}{2},\ \frac{9 + 0}{2}\right) = E(6,\,4.5)

אמצע $AC$

\begin{aligned}BE &= \sqrt{6^2 + 4.5^2} \\ &= \sqrt{36 + 20.25} \\ &= \sqrt{56.25} \\ &= 7.5\end{aligned}

מרחק מהראשית

$BE = 7.5$ . תיכון מתחיל באמצע צלע: קודם $E$ , ואז מרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון משולש $A(4,\,9)$ , $B(0,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ ו- $BE$ תיכון לצלע $AC$ . ב. מצאו את נקודת המפגש $G$ של התיכונים.

$G($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $G($ 4 $,$ 3 $)$

הפתרון:

D(4,\,0) \ \Rightarrow \ AD: \ x = 4

התיכון $AD$ אנכי

\begin{aligned}m_{BE} &= \frac{4.5}{6} \\ &= \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ BE: \ y \\ &= \tfrac{3}{4}x\end{aligned}

התיכון $BE$ דרך הראשית

\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3 \ \Rightarrow \ G(4,\,3)\end{aligned}

חיתוך

$G(4,\,3)$ . בדיקה: ממוצע הקודקודים $\frac{4 + 0 + 8}{3} = 4$ , $\frac{9}{3} = 3$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון משולש $A(4,\,9)$ , $B(0,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ ו- $BE$ תיכון לצלע $AC$ . ג. חשבו את $BG$ בשתי דרכים: מהמרחק בין הנקודות, ומהיחס $2:1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}BG &= \sqrt{4^2 + 3^2} \\ &= 5\end{aligned}

מרחק בין $B(0,\,0)$ ל- $G(4,\,3)$

\begin{aligned}BG &= \tfrac{2}{3} \cdot BE \\ &= \tfrac{2}{3} \cdot 7.5 \\ &= 5\end{aligned}

נקודת מפגש התיכונים מחלקת ביחס $2:1$ ✓

$BG = 5$ בשתי הדרכים. כשהחישוב מסכים עם המשפט, שני הסעיפים הקודמים נכונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 12$ ו- $BC = 16$ . $CM$ תיכון ליתר $AB$ , ו- $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). א. מצאו את $CM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{144 + 256} \\ &= 20\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \\ &= 10\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

$CM = 10$ . היתר קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 12$ ו- $BC = 16$ . $CM$ תיכון ליתר $AB$ , ו- $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). ב. מצאו את $CD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{CD}{DB} &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{12}{20} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית מהקודקוד $A$ : הצלעות הכולאות הן $AC$ ו- $AB$

\begin{aligned}CD &= \frac{3}{8} \cdot 16 \\ &= 6\end{aligned}

שלושה חלקים משמונה

$CD = 6$ ו- $DB = 10$ . הצלע ביחס מול $DB$ היא היתר $AB = 20$ , מסעיף א.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 12$ ו- $BC = 16$ . $CM$ תיכון ליתר $AB$ , ו- $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). ג. חשבו את שטח המשולש $ACD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

AC \perp CD

$\angle C = 90^\circ$ , ולכן $AC$ הוא הגובה לבסיס $CD$

\begin{aligned}S_{ACD} &= \frac{AC \cdot CD}{2} \\ &= \frac{12 \cdot 6}{2} \\ &= 36\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית

$36$ . בדיקה דרך היחס: $S_{ABC} = 96$ , ו- $\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}} = \frac{CD}{CB} = \frac{6}{16}$ , כלומר $36$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונות הנקודות $A(2,\,3)$ ו- $B(8,\,5)$ . א. מצאו את שיפוע האנך האמצעי של $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{5 - 3}{8 - 2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הקטע

m_{\perp} = -3

הנגדי וההופכי

$m = -3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונות הנקודות $A(2,\,3)$ ו- $B(8,\,5)$ . ב. הנקודה $P$ נמצאת על האנך האמצעי של $AB$ , ושיעור ה- $x$ שלה הוא $6$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של $P$ , והראו ש- $PA = PB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}M(5,\,4) \ \Rightarrow \ y - 4 &= -3(x - 5) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 19\end{aligned}

משוואת האנך האמצעי דרך האמצע

\begin{aligned}x &= 6 \ \Rightarrow \ y \\ &= 1 \ \Rightarrow \ P(6,\,1)\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}PA &= \sqrt{16 + 4} \\ &= \sqrt{20} \\ \quad PB &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

שווים: נקודה על האנך האמצעי שוות-מרחק מקצות הקטע ✓

$y_P = 1$ . המרחקים נשארים $\sqrt{20}$ , תשובה מדויקת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 8$ ו- $BC = 15$ . הנקודה $D$ על $BC$ מקיימת $BD = 9$ . א. הוכיחו או הפריכו: $AD$ חוצה את הזווית $BAC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}DC &= 15 - 9 \\ &= 6\end{aligned}

הקטע השני

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{9}{6} \\ &= \frac{3}{2} \\ \quad \frac{AB}{AC} &= \frac{12}{8} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

שני היחסים שווים

\Rightarrow \ \angle BAD = \angle DAC

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

הטענה נכונה. הנימוק: המשפט ההפוך. אורכים בלבד הוכיחו חציית זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 8$ ו- $BC = 15$ . הנקודה $D$ על $BC$ מקיימת $BD = 9$ . ב. נתון $\angle BAC \approx 95^\circ$ . מצאו את $\angle BAD$ במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 47.5

הפתרון:

\angle BAD = \angle DAC

מסעיף א: $AD$ חוצה זווית

\begin{aligned}\angle BAD &= \frac{95^\circ}{2} \\ &= 47.5^\circ\end{aligned}

חוצה זווית מחלק את הזווית לשני חלקים שווים

$47.5^\circ$ . היחס $3:2$ שייך לקטעים על $BC$ ; הזווית תמיד נחצית לשניים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev