סדרה 4 — מתקדם · קווים מיוחדים במשולש · כיתה י׳

עשר שאלות במבנה של הבגרות: שאלה עם שני סעיפים במערכת צירים, היקף דרך התיכון ליתר, שטח דרך חוצה הזווית, ואנכים אמצעיים של משולש ישר זווית עם קודקודים נתונים.

בשאלה עם סעיפים, כל סעיף משתמש בתוצאה של הקודם. טעות בסעיף א עוברת הלאה, ולכן בודקים אותו לפני שממשיכים: יחס $2:1$ , סכום הקטעים, פיתגורס.

תרגילים

תרגיל 1

נתון משולש $A(3,\,9)$ , $B(0,\,0)$ , $C(6,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ , $BE$ תיכון לצלע $AC$ , ו- $G$ נקודת המפגש שלהם. א. מצאו את $AG$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}D(3,\,0) \ \Rightarrow \ AD: \ x &= 3 \\ \quad AD &= 9\end{aligned}

אמצע $BC$ ; התיכון אנכי באורך $9$

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 9 \\ &= 6\end{aligned}

היחס $2:1$

$AG = 6$ , ולכן $G(3,\,3)$ . אפשר גם לחתוך עם $BE$ : $E(4.5,\,4.5)$ , $BE: y = x$ , וב- $x = 3$ מקבלים $y = 3$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון משולש $A(3,\,9)$ , $B(0,\,0)$ , $C(6,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ , $BE$ תיכון לצלע $AC$ , ו- $G$ נקודת המפגש שלהם. ב. מצאו את שיפוע התיכון $BE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

E\left(\frac{3 + 6}{2},\ \frac{9 + 0}{2}\right) = E(4.5,\,4.5)

אמצע $AC$

\begin{aligned}m_{BE} &= \frac{4.5 - 0}{4.5 - 0} \\ &= 1\end{aligned}

שיפוע דרך $B(0,\,0)$

$m = 1$ : התיכון $BE$ הוא הישר $y = x$ , והוא אכן עובר דרך $G(3,\,3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, ו- $BM$ תיכון ליתר $AC$ . נתון $BM = 6.5$ ו- $BC = 5$ . חשבו את היקף המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 6.5 \\ &= 13\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}AB &= \sqrt{169 - 25} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}P &= 5 + 12 + 13 \\ &= 30\end{aligned}

היקף

$30$ . $BM$ לא חלק מההיקף: הוא קטע בתוך המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 18$ ו- $BC = 25$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{12}{18} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{2}{5} \cdot 25 \\ &= 10\end{aligned}

שני חלקים מחמישה

$BD = 10$ ו- $DC = 15$ . מצמצמים את היחס לפני שמחלקים: $12:18 = 2:3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שטח המשולש $ABC$ הוא $60$ סמ״ר. $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ), $AB = 10$ ו- $AC = 15$ . מצאו את שטח המשולש $ABD$ בסמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

חוצה זווית מחלק את השטח ביחס הצלעות (הגבהים מ- $D$ אל השוקיים שווים)

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{2}{5} \cdot 60 \\ &= 24\end{aligned}

שני חלקים מחמישה

$24$ סמ״ר. אפשר גם דרך משפט חוצה הזווית: $\frac{BD}{BC} = \frac{2}{5}$ , ואותו גובה מ- $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$P$ נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של $AB$ וגם על האנך האמצעי של $BC$ . הוכיחו או הפריכו: $PA = PC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

PA = PB

$P$ על האנך האמצעי של $AB$

PB = PC

$P$ על האנך האמצעי של $BC$

PA = PC

שניהם שווים ל- $PB$

הטענה נכונה. וזו בדיוק ההוכחה ששלושת האנכים האמצעיים נפגשים: מ- $PA = PC$ נובע ש- $P$ גם על האנך האמצעי של $AC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $A(-2,\,0)$ , $B(4,\,0)$ , $C(4,\,8)$ מצאו את נקודת המפגש $O$ של האנכים האמצעיים ואת $OB$ .

$O($ ____ $,$ ____ $)$ , $OB =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $O($ 1 $,$ 4 $)$ , $OB =$ 5

הפתרון:

x = 1

האנך האמצעי של $AB$ : $AB$ אופקי, אמצעו $(1,\,0)$

y = 4

האנך האמצעי של $BC$ : $BC$ אנכי, אמצעו $(4,\,4)$

O(1,\,4)

חיתוך. וזה אמצע היתר $AC$ : $\angle B = 90^\circ$

\begin{aligned}OB &= \sqrt{(4 - 1)^2 + (0 - 4)^2} \\ &= 5\end{aligned}

מרחק בין נקודות

$O(1,\,4)$ ו- $OB = 5$ . בדיקה: $AC = \sqrt{36 + 64} = 10$ , ו- $OB = \frac{AC}{2}$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ , $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}$ ו- $AB = 10$ . מהו $AC$ ?

$15$
$12$
$20$
$6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $15$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{BD}{DC} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}\frac{10}{AC} &= \frac{2}{3} \ \Rightarrow \ AC \\ &= 15\end{aligned}

כפל בהצלבה

הנכונה: $15$ . $BD$ קטן מ- $DC$ , ולכן $AB$ קטן מ- $AC$ : התשובה חייבת להיות גדולה מ- $10$ . $6$ הופך את היחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ נפגשים התיכונים $AD$ ו- $BE$ בנקודה $G$ . נתון $GD = 2.5$ ו- $BG = 6$ . מצאו את $BE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}BG &= \tfrac{2}{3} BE \ \Rightarrow \ BE \\ &= \tfrac{3}{2} \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

$BG$ הוא החלק ליד הקודקוד $B$ , שני שלישים מ- $BE$

$BE = 9$ . $GD = 2.5$ שייך לתיכון האחר, $AD = 7.5$ , והוא לא נחוץ כאן: כל תיכון מחולק בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB = 10$ הוא היתר, ו- $CM$ תיכון ליתר. תלמיד חישב את שטח המשולש. שורה אחת שגויה, מצאו אותה ותקנו.

AB = 10

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot CM}{2} \\ &= 25\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S = \frac{AB \cdot CM}{2} = 25$ → $S = \frac{AC \cdot BC}{2}$

הפתרון:

CM = 5

התיכון ליתר, נכון

CM \not\perp AB

אבל תיכון אינו גובה: $CM$ לא מאונך ליתר

S = \frac{AC \cdot BC}{2}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים, ואותם לא נתנו

השורה השלישית מציבה תיכון במקום גובה. עם הנתונים האלה בלבד אי אפשר לחשב את השטח: היתר לבדו לא קובע את המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev