סדרה 3 — מאתגר · קווים מיוחדים במשולש · כיתה י׳

עשר שאלות שמשלבות שניים או שלושה משפטים: התיכון ליתר ואז פיתגורס ואז שטח, חוצה זווית עם היתר, שליש השטח של נקודת מפגש התיכונים, והמשולש שווה השוקיים שבו ארבעת הקווים מתלכדים.

כתבו את שם המשפט בכל שלב, גם כשהחישוב קצר. בשאלת הוכחה, הנימוק הוא התשובה.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $CM = 10$ ו- $AC = 16$ . חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 96

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot CM \\ &= 20\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}BC &= \sqrt{20^2 - 16^2} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}S &= \frac{16 \cdot 12}{2} \\ &= 96\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית

$96$ . שלושה משפטים בשלושה שלבים. השטח לא מחושב עם $CM$ : תיכון אינו גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 15$ ו- $BC = 20$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $DC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.5

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{225 + 400} \\ &= 25\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{15}{25} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}DC &= \frac{5}{8} \cdot 20 \\ &= 12.5\end{aligned}

חמישה חלקים משמונה

$DC = 12.5$ ו- $BD = 7.5$ . שאלו $DC$ , החלק הגדול, ליד היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $A(2,\,7)$ , $B(-1,\,1)$ , $C(8,\,1)$ מצאו את נקודת מפגש התיכונים $G$ .

$G($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $G($ 3 $,$ 3 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}D(3.5,\,1) \ \Rightarrow \ m_{AD} &= \frac{1 - 7}{3.5 - 2} \\ &= -4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x + 15\end{aligned}

התיכון מ- $A$ לאמצע $BC$

\begin{aligned}E(5,\,4) \ \Rightarrow \ m_{BE} &= \frac{4 - 1}{5 + 1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ y \\ &= \tfrac{1}{2}x + 1.5\end{aligned}

התיכון מ- $B$ לאמצע $AC$

\begin{aligned}-4x + 15 &= \tfrac{1}{2}x + 1.5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ y &= 3\end{aligned}

חיתוך

$G(3,\,3)$ . בדיקה: ממוצע הקודקודים $\frac{2 - 1 + 8}{3} = 3$ ו- $\frac{7 + 1 + 1}{3} = 3$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונות $A(2,\,2)$ ו- $B(8,\,6)$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של האנך האמצעי של $AB$ עם ציר ה- $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.5

הפתרון:

M(5,\,4)

אמצע הקטע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6 - 2}{8 - 2} \\ &= \frac{2}{3} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -\frac{3}{2}\end{aligned}

שיפוע מאונך

\begin{aligned}y - 4 &= -\tfrac{3}{2}(x - 5) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\tfrac{3}{2}x + 11.5\end{aligned}

משוואת האנך האמצעי

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 11.5\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

$11.5$ . השיפוע $-\frac{3}{2}$ הוא הנגדי וההופכי של $\frac{2}{3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: במשולש ישר זווית, נקודת מפגש התיכונים ונקודת מפגש האנכים האמצעיים מתלכדות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

O = M

מפגש האנכים האמצעיים הוא אמצע היתר $M$

CG = \tfrac{2}{3} CM

מפגש התיכונים $G$ נמצא על התיכון $CM$ , בשני שלישים מהדרך מ- $C$

G \neq M

$G$ בתוך המשולש, $M$ על היתר

הטענה לא נכונה. $G$ נמצא על התיכון ליתר, אבל בשני שלישים ממנו, ולא בקצהו. בכל משולש ישר זווית הן שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שטח המשולש $ABC$ הוא $36$ סמ״ר, ו- $G$ נקודת מפגש התיכונים. $AD$ תיכון. מצאו את שטח המשולש $BGC$ בסמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}

נקודת מפגש התיכונים: $GD$ שליש מהתיכון

\begin{aligned}\frac{h_G}{h_A} &= \frac{GD}{AD} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

הגובה מ- $G$ אל $BC$ הוא שליש מהגובה מ- $A$ (משולשים דומים, או תאלס)

\begin{aligned}S_{BGC} &= \frac{BC \cdot h_G}{2} \\ &= \frac{1}{3} S_{ABC} \\ &= 12\end{aligned}

אותו בסיס $BC$ , גובה שליש

$12$ סמ״ר. שלושת המשולשים $BGC$ , $AGC$ ו- $AGB$ שווי שטח, שליש כל אחד: זו הסיבה ש- $G$ היא נקודת האיזון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $A(0,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(6,\,0)$ , $O$ נקודת המפגש של האנכים האמצעיים. מצאו את $OB$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.24

הפתרון:

O(3,\,3)

משולש ישר זווית: $O$ אמצע היתר $AC$

\begin{aligned}OB &= \sqrt{9 + 9} \\ &= \sqrt{18} \\ &= 3\sqrt{2} \approx 4.24\end{aligned}

מרחק מהראשית

$OB = 3\sqrt{2} \approx 4.24$ . התשובה המדויקת היא $3\sqrt{2}$ ; העיגול רק כי השאלה ביקשה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = 7$ , $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מהו $BD$ ?

$5.25$
$\frac{28}{3}$
$6$
$6.75$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $5.25$

הפתרון:

\frac{BD}{DC} = \frac{7}{9}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{7}{16} \cdot 12 \\ &= 5.25\end{aligned}

שבעה חלקים מ- $16$

הנכונה: $5.25$ . $6.75$ הוא $DC$ ; $6$ מניח תיכון; $\frac{28}{3}$ משווה את $BD$ לכל הצלע: $\frac{7}{9} \cdot 12$ . כשמתלבטים: $BD + DC$ חייב לתת $12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 13$ ו- $BC = 10$ . $AD$ הגובה לבסיס, ו- $G$ נקודת מפגש התיכונים. מצאו את $AG$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

BD = 5

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

\begin{aligned}AD &= \sqrt{169 - 25} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 12 \\ &= 8\end{aligned}

$AD$ תיכון, ו- $G$ מחלקת אותו ביחס $2:1$

$AG = 8$ . המפתח: הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון, ולכן $G$ נמצאת עליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $M$ אמצע היתר $AB$ . הוכיחו: $\angle MCB = \angle MBC$ .

$\angle ACB = 90^\circ$
$AM = MB$

$\angle MCB = \angle MBC$

להציג את התשובה והפתרון

$CM$ תיכון ליתר — $M$ אמצע $AB$ , ו- $AB$ היתר
$CM = \frac{AB}{2}$ — במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר
$MB = \frac{AB}{2}$ — $M$ אמצע $AB$
$CM = MB$ — שניהם שווים למחצית $AB$
$\angle MCB = \angle MBC$ — במשולש $MCB$ מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות (משולש שווה שוקיים)

הפתרון:

\begin{aligned}CM &= MB \\ &= \frac{AB}{2}\end{aligned}

התיכון ליתר, ואמצע היתר

\Rightarrow \ \angle MCB = \angle MBC

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים $MCB$

המשפט על התיכון ליתר יוצר שני משולשים שווי שוקיים, $MCB$ ו- $MCA$ . זה הכלי לכל שאלת זוויות עם אמצע היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev