סדרה 2 — בינוני · קווים מיוחדים במשולש · כיתה י׳

עשר שאלות בשני צעדים: פיתגורס ואז התיכון ליתר, חוצה זווית כשנתונה הצלע השלמה, תיכונים ואנכים אמצעיים במערכת צירים, ושטח דרך חוצה הזווית.

כשהיחס הוא $3:5$ , הצלע השלמה מתחלקת ל-8 חלקים. «חלק על חלק» איננו «חלק על שלם».

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 5$ ו- $BC = 12$ . $BM$ תיכון ליתר. מצאו את $BM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.5

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{25 + 144} \\ &= 13\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}BM &= \frac{AC}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

$BM = 6.5$ . קודם היתר, ואז חצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 10$ ו- $BC = 12$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.5

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{6}{10} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{3}{8} \cdot 12 \\ &= 4.5\end{aligned}

שלושה חלקים משמונה

$BD = 4.5$ ו- $DC = 7.5$ . בדיקה: $\frac{4.5}{7.5} = \frac{3}{5}$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונות $A(2,\,4)$ ו- $B(8,\,2)$ . מצאו את שיפוע האנך האמצעי של $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2 - 4}{8 - 2} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הקטע

m_{\perp} = 3

הנגדי וההופכי: $3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$

$m = 3$ . אמצע הקטע, $(5,\,3)$ , לא נחוץ לשיפוע, רק למשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(3,\,9)$ מצאו את נקודת מפגש התיכונים $G$ .

$G($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $G($ 3 $,$ 3 $)$

הפתרון:

D(3,\,0) \ \Rightarrow \ CD: \ x = 3

$D$ אמצע $AB$ ; התיכון $CD$ אנכי

E(4.5,\,4.5) \ \Rightarrow \ AE: \ y = x

$E$ אמצע $BC$ ; שיפוע $1$ דרך הראשית

\begin{aligned}x &= 3 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3\end{aligned}

חיתוך

$G(3,\,3)$ . בדיקה בממוצע הקודקודים: $\frac{0 + 6 + 3}{3} = 3$ , $\frac{0 + 0 + 9}{3} = 3$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ נתון $AB = 8$ , $AC = 12$ , ו- $D$ על $BC$ כך ש- $BD = 4$ ו- $DC = 6$ . הוכיחו או הפריכו: $AD$ חוצה את הזווית $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3} \\ \quad \frac{AB}{AC} &= \frac{8}{12} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

שני היחסים

\Rightarrow \ \angle BAD = \angle DAC

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

הטענה נכונה. יחסים שווים, ולכן חוצה זווית לפי המשפט ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 8$ ו- $BC = 15$ . $O$ נקודת המפגש של האנכים האמצעיים. מצאו את $OB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.5

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{64 + 225} \\ &= 17\end{aligned}

משפט פיתגורס

O \ \text{אמצע} \ AC

במשולש ישר זווית האנכים האמצעיים נפגשים באמצע היתר

\begin{aligned}OB &= \frac{AC}{2} \\ &= 8.5\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

$OB = 8.5$ , וכך גם $OA$ ו- $OC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נקודה הנמצאת במרחקים שווים משלושת קודקודי המשולש היא נקודת המפגש של:

הגבהים
האנכים האמצעיים
התיכונים
חוצי הזוויות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב האנכים האמצעיים

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC\end{aligned}

לפי המקום הגאומטרי, $O$ נמצאת על האנך האמצעי של כל צלע

הנכונה: האנכים האמצעיים. מפגש חוצי הזוויות שוות-מרחק מהצלעות, לא מהקודקודים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ , $G$ נקודת מפגש התיכונים ו- $AD$ תיכון. נתון $AG = 8$ . מצאו את $AD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} AD \ \Rightarrow \ AD \\ &= \tfrac{3}{2} \cdot 8 \\ &= 12\end{aligned}

$AG$ הוא שני שלישים מהתיכון

$AD = 12$ ו- $GD = 4$ . מי שכתב $16$ הכפיל ב- $2$ , כאילו $AG$ היה החלק הקטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ , $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $AB = 9$ , $AC = 12$ , ושטח המשולש $ABC$ הוא $42$ סמ״ר. מצאו את שטח המשולש $ABD$ בסמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{9}{12} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} &= \frac{BD}{BC} \\ &= \frac{3}{7}\end{aligned}

אותו גובה מ- $A$ : השטחים כמו הבסיסים

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{3}{7} \cdot 42 \\ &= 18\end{aligned}

כופלים

$18$ סמ״ר. חוצה זווית מחלק את השטח ביחס הצלעות, $3:4$ , וסך החלקים הוא $7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ , $G$ נקודת מפגש התיכונים ו- $AD$ תיכון באורך $12$ . תלמיד חישב את $AG$ ואת $GD$ . שורה אחת שגויה, מצאו אותה ותקנו.

AD = 12

\begin{aligned}AG &= \frac{1}{2} \cdot 12 \\ &= 6\end{aligned}

\begin{aligned}GD &= 12 - 6 \\ &= 6\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AG = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ → $AG = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$

הפתרון:

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 12 \\ &= 8\end{aligned}

היחס $2:1$ , שני שלישים ליד הקודקוד

\begin{aligned}GD &= 12 - 8 \\ &= 4\end{aligned}

השליש הנותר

השורה השנייה מניחה ש- $G$ באמצע התיכון. השורה השלישית עקבית עם הטעות, ולכן נראית תקינה, וזה בדיוק מה שמסוכן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev