סדרה 3 — מאתגר · גאומטריה אנליטית — נקודות, קטעים וישרים · כיתה י׳

עשר שאלות שמחברות כלים: מקבילית והאלכסונים שלה, סוג של מרובע, גובה ואנך אמצעי, שלוש נקודות על ישר, ישר והצירים, וטרפז.

תיכון מתחיל מאמצע, גובה מתחיל משיפוע הופכי ונגדי, אנך אמצעי משתמש בשניהם. לפני שכותבים, אמרו איזה מהשלושה מבקשים.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה המקבילית $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(4,\,0)$ , $C(6,\,4)$ , $D(2,\,4)$ . מצאו את נקודת המפגש של האלכסונים.

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 3 $,$ 2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{0+6}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה: המפגש הוא אמצע $AC$

\begin{aligned}M_{BD} &= \left( \frac{4+2}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

בדיקה: גם אמצע $BD$ ✓

במקבילית אין צורך למצוא את משוואות האלכסונים ולחתוך: המפגש הוא אמצע של כל אחד מהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-1,\,0)$ , $B(3,\,0)$ , $C(3,\,4)$ , $D(-1,\,4)$ . איזה מרובע הוא?

ריבוע
מעוין שאינו ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
מקבילית שאינה מלבן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ריבוע

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 4 \\ \quad BC &= 4 \\ \quad CD &= 4 \\ \quad DA &= 4\end{aligned}

$AB$ ו- $CD$ אופקיים, $BC$ ו- $DA$ אנכיים

AB \perp BC

אופקי מאונך לאנכי: זווית ישרה

התשובה: ריבוע. ארבע צלעות שוות (מעוין) וזווית ישרה (מלבן) יחד. הצלעות מקבילות לצירים, ולכן הכול נקרא בלי נוסחת המרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הישר $y = 2x + k$ עובר דרך הנקודה $(3,\,-1)$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

-1 = 2 \cdot 3 + k

הנקודה מקיימת את המשוואה

\begin{aligned}k &= -1 - 6 \\ &= -7\end{aligned}

פותרים

נקודה על ישר: מציבים את שני שיעוריה במשוואה. $k$ הוא החיתוך עם ציר ה- $y$ , והוא שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון המשולש $ABC$ : $A(-2,\,1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(2,\,5)$ . מצאו את משוואת הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -4 $x +$ 13

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3 - 1}{6 - (-2)} \\ &= \frac{2}{8} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שיפוע הצלע

m_{\perp} = -4

הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 5 &= -4(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x + 13\end{aligned}

דרך $C$

גובה: שיפוע הצלע, הופכי ונגדי, ודרך הקודקוד. האמצע של $AB$ לא משתתף, הוא שייך לתיכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לאיזה ערך של $k$ הישרים $y = kx - 1$ ו- $y = -2x + 3$ מאונכים זה לזה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

k \cdot (-2) = -1

מכפלת השיפועים

k = \frac{1}{2}

פותרים

מי שענה $2$ שכח את הסימן: $2 \cdot (-2) = -4$ . הופכי ונגדי של $-2$ הוא $\frac{1}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(3,\,3)$ . איזה משולש הוא?

שווה צלעות
ישר זווית ושווה שוקיים
ישר זווית בלבד
שווה שוקיים בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ישר זווית ושווה שוקיים

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9 + 9} \\ &= \sqrt{18} \\ \quad BC &= \sqrt{9 + 9} \\ &= \sqrt{18}\end{aligned}

שתי שוקיים שוות

\begin{aligned}m_{AC} &= 1 \\ \quad m_{BC} &= \frac{3 - 0}{3 - 6} \\ &= -1 \\ \quad 1 \cdot (-1) &= -1\end{aligned}

$AC \perp BC$ : זווית ישרה ב- $C$

\begin{aligned}18 + 18 &= 36 \\ &= 6^2\end{aligned}

גם פיתגורס ההפוך מאשר

התשובה: ישר זווית ושווה שוקיים. השוקיים בשיפועים $1$ ו- $-1$ : ישרים כאלה תמיד מאונכים. לא שווה צלעות: $AB = 6 \neq \sqrt{18}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: הנקודות $A(1,\,2)$ , $B(3,\,6)$ ו- $C(5,\,10)$ נמצאות על ישר אחד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6 - 2}{3 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע $AB$

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{10 - 6}{5 - 3} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע $BC$

m_{AB} = m_{BC}

אותו שיפוע ונקודה משותפת $B$ : אותו ישר

הטענה נכונה. שלוש נקודות על ישר אחד כששני השיפועים שווים. הישר הוא $y = 2x$ , ושלושתן מקיימות אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הישר $4x - 3y - 12 = 0$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . חשבו את אורך $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ 4x \\ &= 12 \ \Rightarrow \ A(3,\,0)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ -3y \\ &= 12 \ \Rightarrow \ B(0,\,-4)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

$B$ מתחת לציר ה- $x$ : $-3y = 12$ נותן $y = -4$ , לא $4$ . לאורך זה לא משנה, לציור כן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונות הנקודות $A(1,\,2)$ ו- $B(5,\,4)$ . מצאו את משוואת האנך האמצעי של $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -2 $x +$ 9

הפתרון:

M = (3,\,3)

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 2}{5 - 1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}

הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 3 &= -2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 9\end{aligned}

דרך $M$

אנך אמצעי: אמצע בשביל הנקודה, מאונך בשביל השיפוע. שני הכלים יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון הטרפז $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,0)$ , $C(6,\,4)$ , $D(2,\,4)$ , כאשר $AB \parallel DC$ . חשבו את שטח הטרפז.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 8 \\ \quad DC &= 4\end{aligned}

שני הבסיסים אופקיים

h = 4

הגובה: ההפרש בין $y = 0$ ל- $y = 4$

\begin{aligned}S &= \frac{(8 + 4) \cdot 4}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח טרפז

כששני הבסיסים מקבילים לציר ה- $x$ , הגובה הוא הפרש ה- $y$ . הצלעות $AD$ ו- $BC$ אינן הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev