סדרה 2 — בינוני · גאומטריה אנליטית — נקודות, קטעים וישרים · כיתה י׳

עשר שאלות בשני צעדים: ישר דרך שתי נקודות, חיתוך של שני ישרים, ישרים מתלכדים, פרמטר, ומשולש שווה שוקיים עם תיכון אנכי.

בכל ישר שמצאתם, הציבו את הנקודה השנייה. ובכל ישר בצורה הכללית, בודדו את $y$ לפני שקוראים שיפוע.

תרגילים

תרגיל 1

מהו המרחק בין $(-1,\,-2)$ ל- $(5,\,6)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}5 - (-1) &= 6 \\ \qquad 6 - (-2) &= 8\end{aligned}

שני ההפרשים

\begin{aligned}d &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס

שני המינוסים הופכים לפלוס בחיסור. השלשה $6,\,8,\,10$ היא $3,\,4,\,5$ כפול $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את משוואת הישר העובר דרך $(2,\,1)$ ו- $(6,\,9)$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 2 $x +$ -3

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \frac{9 - 1}{6 - 2} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y - 1 &= 2(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x - 3\end{aligned}

שיפוע ונקודה

2 \cdot 6 - 3 = 9

בדיקה עם הנקודה השנייה ✓

$b = -3$ : המספר החופשי שלילי. מי שכתב $y = 2x + 1$ לקח את ה- $y$ של הנקודה בתור $b$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי נקודת החיתוך של הישרים $y = x + 4$ ו- $y = -2x + 1$ ?

$(1,\,5)$
$(-1,\,3)$
$(3,\,-1)$
$(-1,\,-3)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(-1,\,3)$

הפתרון:

\begin{aligned}x + 4 &= -2x + 1 \ \Rightarrow \ 3x \\ &= -3 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}y &= -1 + 4 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

-2 \cdot (-1) + 1 = 3

בדיקה בישר השני ✓

התשובה: $(-1,\,3)$ . $(1,\,5)$ נמצאת על הישר הראשון בלבד. נקודת חיתוך חייבת לקיים את שתי המשוואות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: הישרים $y = \frac{1}{2}x + 1$ ו- $2x - 4y + 4 = 0$ מתלכדים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}-4y &= -2x - 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x + 1\end{aligned}

מבודדים $y$ בישר השני

\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad b_1 &= b_2 \\ &= 1\end{aligned}

אותו שיפוע ואותו $b$

הטענה נכונה. המשוואה השנייה היא הראשונה כפול $-4$ . אותו ישר בשתי כתיבות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לאיזה ערך של $k$ הישר $y = kx + 2$ מקביל לישר $6x - 2y + 1 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}-2y &= -6x - 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x + \frac{1}{2}\end{aligned}

מבודדים $y$

k = 3

מקבילים: אותו שיפוע

מי שענה $6$ קרא את המקדם בצורה הכללית. אחרי הבידוד, $\frac{6}{2} = 3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהי משוואת הישר העובר דרך $(3,\,2)$ ומאונך לישר $y = -3x + 1$ ?

$y = -\frac{1}{3}x + 3$
$y = \frac{1}{3}x + 1$
$y = \frac{1}{3}x + 2$
$y = 3x - 7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y = \frac{1}{3}x + 1$

הפתרון:

m_{\perp} = \frac{1}{3}

הופכי ונגדי ל- $-3$

\begin{aligned}y - 2 &= \frac{1}{3}(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{3}x + 1\end{aligned}

דרך הנקודה

\frac{1}{3} \cdot 3 + 1 = 2

בדיקה ✓

התשובה: $y = \frac{1}{3}x + 1$ . $y = 3x - 7$ שינה רק סימן. $y = \frac{1}{3}x + 2$ לקח את ה- $2$ של הנקודה בתור $b$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(3,\,4)$ . חשבו את היקף המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

AB = 6

צלע על ציר ה- $x$

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5 \\ \quad BC &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

6 + 5 + 5 = 16

היקף

שווה שוקיים: $C$ מעל אמצע $AB$ . ההיקף הוא סכום שלוש הצלעות, לא רק השתיים שחישבנו בנוסחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(3,\,4)$ . מצאו את משוואת התיכון מ- $C$ לצלע $AB$ .

$x =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 3

הפתרון:

M = (3,\,0)

אמצע $AB$

\begin{aligned}x_C &= x_M \\ &= 3\end{aligned}

$C$ ו- $M$ עם אותו $x$ : הישר אנכי

x = 3

אין שיפוע, ואין צורה $y = mx + b$

ישר אנכי נכתב $x = 3$ . מי שניסה לחשב שיפוע קיבל חילוק באפס, וזה הסימן לישר אנכי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ישר יורד יוצר זווית של $45^\circ$ עם ציר ה- $x$ ועובר דרך $(0,\,2)$ . מהי משוואתו?

$y = -x + 2$
$y = -x - 2$
$y = -45x + 2$
$y = x + 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $y = -x + 2$

הפתרון:

\tan 45^\circ = 1

התלילות

m = -1

יורד: סימן שלילי

b = 2

הנקודה על ציר ה- $y$

התשובה: $y = -x + 2$ . $y = x + 2$ עולה. הזווית נותנת את $|m|$ , הכיוון נותן את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(0,\,4)$ . $M$ אמצע $AB$ . חשבו את אורך התיכון $CM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

M = (3,\,0)

אמצע $AB$

\begin{aligned}CM &= \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

תיכון הוא קטע, ואורכו נמדד בנוסחת המרחק. לא לבלבל עם משוואת התיכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev