סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות ישירות: הפונקציה כמעט נתונה, והעבודה היא לגזור, לבדוק את התחום ולענות על מה שנשאל. יש כאן מכל סוג: מספרים, גאומטריה, גרף וכלכלה.

בכל שאלה כתבו לפני הגזירה את התחום, ואחרי המקסימום בדקו מה נשאל: xx, או הערך.

תרגילים

תרגיל 1

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 2424. מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 144

הפתרון:

P(x)=x(24−x)0<x<24\begin{aligned}P(x) &= x(24 - x) \\ \quad 0 < x < 24\end{aligned}

סימון, הבעה ותחום

P′(x)=24−2x=0 ⇒ x=12\begin{aligned}P'(x) &= 24 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

P(12)=144P(12) = 144

המכפלה

התשובה היא המכפלה 144144. 1212 הוא כל אחד מהמספרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 2424, ו-xx הוא המספר הראשון. מהו תחום ההגדרה של הבעיה?

  1. 0≤x≤240 \le x \le 24
  2. 0<x<120 < x < 12
  3. 0<x<240 < x < 24
  4. x>0x > 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 0<x<240 < x < 24

הפתרון:

x>0x > 0

המספר הראשון חיובי

24−x>0 ⇒ x<2424 - x > 0 \ \Rightarrow \ x < 24

גם השני חיובי

הנכונה: 0<x<240 < x < 24. «חיוביים» פוסל את 00, ולכן התחום פתוח. x>0x > 0 שוכח שגם המספר השני חייב להיות חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCD
היקף המלבן ABCD הוא 20 ס״מ. AB = x.

היקף המלבן ABCDABCD הוא 2020 ס״מ, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

AB=xBC=10−x\begin{aligned}AB &= x \\ \quad BC &= 10 - x\end{aligned}

חצי היקף הוא 1010

S(x)=x(10−x)0<x<10\begin{aligned}S(x) &= x(10 - x) \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=10−2x=0 ⇒ x=5\begin{aligned}S'(x) &= 10 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום

S(5)=25S(5) = 25

השטח

בהיקף 2020 חצי ההיקף הוא 1010. מי שכותב BC=20−xBC = 20 - x בונה מלבן שהיקפו 4040.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מספר אחד גדול ממספר שני ב-66. מהי המכפלה הקטנה ביותר של שני המספרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -9

הפתרון:

P(x)=x(x−6)=x2−6x\begin{aligned}P(x) &= x(x - 6) \\ &= x^2 - 6x\end{aligned}

xx המספר הגדול. אין הגבלה על xx

P′(x)=2x−6=0 ⇒ x=3\begin{aligned}P'(x) &= 2x - 6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

P(3)=3⋅(−3)=−9\begin{aligned}P(3) &= 3 \cdot (-3) \\ &= -9\end{aligned}

המספרים 33 ו-−3-3

המכפלה הקטנה ביותר שלילית. מספרים שליליים מותרים כאן, כי השאלה לא אמרה «חיוביים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים, ולרשותנו 4040 מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

S(x)=x(40−2x)0<x<20\begin{aligned}S(x) &= x(40 - 2x) \\ \quad 0 < x < 20\end{aligned}

BC=40−2xBC = 40 - 2x

S′(x)=40−4x=0 ⇒ x=10\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מקסימום

S(10)=10⋅20=200\begin{aligned}S(10) &= 10 \cdot 20 \\ &= 200\end{aligned}

השטח

לאורך קיר יש שתי צלעות ניצבות. x(40−x)x(40 - x) סופר רק אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במפעל העלות של ייצור יחידה, כשמייצרים xx יחידות ביום, היא c(x)=x2−20x+150c(x) = x^2 - 20x + 150 שקלים. מהי העלות הקטנה ביותר ליחידה, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

c′(x)=2x−20=0 ⇒ x=10\begin{aligned}c'(x) &= 2x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

גזירה

c′(5)<0,c′(15)>0c'(5) < 0 ,\quad c'(15) > 0

מינימום

c(10)=100−200+150=50\begin{aligned}c(10) &= 100 - 200 + 150 \\ &= 50\end{aligned}

העלות

נשאלתם על העלות, לא על מספר היחידות. מציבים x=10x = 10 ב-cc.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: בבעיית קיצון, כל פתרון של המשוואה f′(x)=0f'(x) = 0 הוא פתרון של הבעיה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

V(x)=x(12−2x)20<x<6\begin{aligned}V(x) &= x(12 - 2x)^2 \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

התיבה מגיליון 12×1212 \times 12

V′(x)=(12−2x)(12−6x)=0 ⇒ x=2 x=6\begin{aligned}V'(x) &= (12 - 2x)(12 - 6x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 6\end{aligned}

שני פתרונות

x=6∉(0,6)x = 6 \notin (0, 6)

ב-x=6x = 6 אין תיבה

הטענה לא נכונה. פתרון שנמצא מחוץ לתחום של הבעיה נפסל. לכן כותבים את התחום לפני הגזירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

תיאטרון בבאר שבע מוכר 100100 כרטיסים להצגה, במחיר 6060 שקלים לכרטיס. כל העלאה של שקל אחד במחיר מורידה כרטיס אחד מהמכירות. באיזה מחיר לכרטיס ההכנסה הגדולה ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

R(x)=(60+x)(100−x)0≤x≤100\begin{aligned}R(x) &= (60 + x)(100 - x) \\ \quad 0 \le x \le 100\end{aligned}

xx ההעלאה בשקלים

R′(x)=(100−x)−(60+x)=40−2x\begin{aligned}R'(x) &= (100 - x) - (60 + x) \\ &= 40 - 2x\end{aligned}

כלל המכפלה

R′(x)=0 ⇒ x=20\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

60+20=8060 + 20 = 80

המחיר

נשאלתם על המחיר: 8080 שקלים, לא ההעלאה 2020. ההכנסה עצמה: 80⋅80=640080 \cdot 80 = 6400.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 2424. סדרו את שורות הפתרון שמוצא את המכפלה הגדולה ביותר.

  • 0<x<240 < x < 24
  • P′(x)=24−2x=0P'(x) = 24 - 2x = 0, ולכן x=12x = 12
  • P(x)=x(24−x)P(x) = x(24 - x)
  • xx המספר הראשון, 24−x24 - x המספר השני
  • הנגזרת עוברת מ-++ ל-−-, ו-P(12)=144P(12) = 144
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: xx המספר הראשון, 24−x24 - x המספר השני · P(x)=x(24−x)P(x) = x(24 - x) · 0<x<240 < x < 24 · P′(x)=24−2x=0P'(x) = 24 - 2x = 0, ולכן x=12x = 12 · הנגזרת עוברת מ-++ ל-−-, ו-P(12)=144P(12) = 144

הפתרון:

1→2→3→4→51 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5

סימון, הבעה, תחום, גזירה, סוג ותשובה

אותם חמישה שלבים בכל בעיה. התחום בא לפני הגזירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מלבן מתחת לגרף y = 3 − x²

הקודקודים PP ו-QQ של מלבן נמצאים על הגרף y=3−x2y = 3 - x^2, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

S(x)=2x(3−x2)=6x−2x30<x<3\begin{aligned}S(x) &= 2x(3 - x^2) \\ &= 6x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{3}\end{aligned}

רוחב 2x2x, גובה 3−x23 - x^2

S′(x)=6−6x2=0 ⇒ x=1\begin{aligned}S'(x) &= 6 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מקסימום

S(1)=2⋅2=4\begin{aligned}S(1) &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

השטח

הרוחב 2x2x, כי QQ נמצא ב-−x-x. מי שכותב x(3−x2)x(3 - x^2) מקבל 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת