פותרים יחד · בעיות ערך קיצון · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל סוג של בעיית קיצון: מספרים, מקבילית בתוך מלבן, משולש עם שורש, קטע בין שני גרפים, ומחיר וכמות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בכל שאלה חוזרים אותם חמישה שלבים: סימון המשתנה, הבעת הגודל כפונקציה, תחום ההגדרה של הבעיה, גזירה והשוואה לאפס, ובדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה.

1 — מספרים: מכפלה עם חזקה

פעילות אינטראקטיבית

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 9$ . א. הביעו את $x^2 \cdot y$ באמצעות $x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו $x^2 \cdot y$ הגדול ביותר. ג. מהו הערך הגדול ביותר?

\begin{aligned}x + y &= 9 \\ \qquad P &= x^2 y\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הצעד הראשון: לסלק את $y$ .

סימון

y = 9 - x

מהנתון הקבוע.

א. הבעה

\begin{aligned}P(x) &= x^2(9 - x) \\ &= 9x^2 - x^3\end{aligned}

הגודל באמצעות $x$ בלבד.

תחום

0 < x < 9

שני המספרים חיוביים.

ב. גזירה

\begin{aligned}P'(x) &= 18x - 3x^2 \\ &= 3x(6 - x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

$x = 0$ אינו בתחום.

סוג

\begin{aligned}P'(1) &= 15 > 0 \\ \quad P'(7) &= -21 < 0\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום ב- $x = 6$ .

ג. תשובה

\begin{aligned}P(6) &= 36 \cdot 3 \\ &= 108\end{aligned}

המספרים $6$ ו- $3$ .

המספרים אינם שווים במקסימום. הכלל «שני מספרים שווים» נכון רק למכפלה $x \cdot y$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

למה $x = 0$ נפסל, אף שהוא פותר את $P'(x) = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

המספרים חיוביים, ולכן $x = 0$ מחוץ לתחום. וגם בלי זה: $P(0) = 0$ , וזו המכפלה הקטנה ביותר, לא הגדולה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מקבילית בתוך מלבן

AB = 16, BC = 12. AQ = CE = x, AP = CT = 2x.

פעילות אינטראקטיבית

במלבן $ABCD$ , $AB = 16$ ו- $BC = 12$ . על הצלעות נמצאות הנקודות $P, E, T, Q$ , כך ש- $AQ = CE = x$ ו- $AP = CT = 2x$ . $PETQ$ היא מקבילית. א. הביעו את שטח המקבילית באמצעות $x$ . ב. מצאו את השטח הגדול ביותר.

\begin{aligned}AB &= 16 \\ \ BC &= 12 \\ \quad AQ &= CE \\ &= x \\ \ AP &= CT \\ &= 2x\end{aligned}

לחצו «להתחיל». את שטח המקבילית מקבלים מהמלבן, בחיסור.

פינות A ו-C

\begin{aligned}S_{\triangle APQ} &= S_{\triangle CTE} \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot x \\ &= x^2\end{aligned}

משולשים ישרי זווית: חצי מכפלת הניצבים.

פינות B ו-D

\begin{aligned}S_{\triangle PBE} &= S_{\triangle TDQ} \\ &= \tfrac{1}{2}(16 - 2x)(12 - x)\end{aligned}

$PB = 16 - 2x$ ו- $BE = 12 - x$ .

א.

\begin{aligned}S(x) &= 192 - 2x^2 - (16 - 2x)(12 - x) \\ &= 40x - 4x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים.

תחום

0 < x \le 8

$2x \le 16$ וגם $x \le 12$ : ההגבלה החזקה היא $x \le 8$ .

גזירה

\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

בתוך התחום; מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום.

ב.

\begin{aligned}S(5) &= 200 - 100 \\ &= 100 \\ \qquad S(8) &= 64 < 100\end{aligned}

השטח הגדול ביותר $100$ , גם לעומת הקצה.

כמו בכל מקבילית כזאת, השטח הגדול ביותר קרוב לחצי משטח המלבן.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה אורכי הקטעים $AP$ ו- $AQ$ במקבילית הגדולה ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

$AQ = x = 5$ ו- $AP = 2x = 10$ . בדיקה: שטח ארבעת המשולשים $2 \cdot 25 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 50 + 42 = 92 = 192 - 100$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משולש עם שורש

AB = 10 (היתר), BC = x.

פעילות אינטראקטיבית

המשולש הגדול ביותר עם יתר נתון

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, והיתר $AB = 10$ . הניצב $BC = x$ . מהו השטח הגדול ביותר של המשולש?

$25$

$50$

$24$

$5\sqrt{2}$

איך מבטאים את הניצב $AC$ ?

$AC = \sqrt{100 - x^2}$

להציג את התשובה והפתרון

לפי משפט פיתגורס.

$AC = 10 - x$

להציג את התשובה והפתרון

ביתר לא מחסרים אורכים. משתמשים במשפט פיתגורס.

\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2} x\sqrt{100 - x^2} \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים. $x$ קטן מהיתר.

מה הנגזרת?

$S'(x) = \frac{100 - 2x^2}{2\sqrt{100 - x^2}}$

להציג את התשובה והפתרון

כלל המכפלה ונגזרת של שורש, ואז מכנה משותף.

$S'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}}$

להציג את התשובה והפתרון

זו רק הנגזרת של השורש. בכלל המכפלה יש שני מחוברים.

\begin{aligned}S'(x) &= \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{100 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{100 - x^2}}\right) \\ &= \frac{100 - 2x^2}{2\sqrt{100 - x^2}}\end{aligned}

המכנה חיובי, והסימן נקבע לפי המונה.

איפה $S'(x) = 0$ בתחום?

$x = 5\sqrt{2}$

להציג את התשובה והפתרון

$x^2 = 50$ , ורק הפתרון החיובי בתחום.

$x = 5$

להציג את התשובה והפתרון

$100 - 2x^2 = 0$ נותן $x^2 = 50$ , לא $x = 5$ .

\begin{aligned}x^2 &= 50 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

המונה $100 - 2x^2$ עובר מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום.

להציג את התשובה והפתרון

השטח הגדול ביותר הוא $25$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 25$ . שני הניצבים שווים: המשולש שווה שוקיים. $5\sqrt{2}$ הוא אורך הניצב, לא השטח. $24$ הוא שטח המשולש $6, 8, 10$ , ולכן קטן יותר.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה המשולש הגדול ביותר הוא דווקא המשולש שבו הניצבים שווים?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x = 5\sqrt{2}$ גם $AC = \sqrt{100 - 50} = 5\sqrt{2}$ . החישוב מראה את זה, לא מניח את זה: מבין כל המשולשים ישרי הזווית עם יתר $10$ , לשווה השוקיים השטח הגדול ביותר.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — הקטע האנכי בין שורש לישר

f(x) = 2√x ו-g(x) = x/2

A על f ו-B על g, באותו x. הגרפים נחתכים בראשית וב-(16, 8).

פעילות אינטראקטיבית

נתונות $f(x) = 2\sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{x}{2}$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בתחום $0 \le x \le 16$ . א. מצאו את $x$ שעבורו הקטע $AB$ הארוך ביותר. ב. מהו האורך הגדול ביותר?

\begin{aligned}f(x) &= 2\sqrt{x} \\ \quad g(x) &= \frac{x}{2} \\ \quad 0 \le x \le 16\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם בודקים איזה גרף עליון.

עליון

\begin{aligned}f(4) &= 4 > g(4) \\ &= 2\end{aligned}

בין נקודות החיתוך $0$ ו- $16$ , הגרף של $f$ מעל הגרף של $g$ .

הבעה

\begin{aligned}L(x) &= 2\sqrt{x} - \frac{x}{2} \\ \quad 0 \le x \le 16\end{aligned}

העליון פחות התחתון. תחום סגור.

גזירה

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2}\end{aligned}

הנגזרת לא מוגדרת ב- $x = 0$ , קצה התחום.

א.

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{x}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

בתוך התחום.

קצוות

\begin{aligned}L(0) &= 0 \\ \quad L(16) &= 8 - 8 \\ &= 0\end{aligned}

בנקודות החיתוך האורך $0$ .

ב.

\begin{aligned}L(4) &= 4 - 2 \\ &= 2\end{aligned}

האורך הגדול ביותר $2$ , ב- $A(4,\,4)$ ו- $B(4,\,2)$ .

בתחום סגור משווים את הנקודה החשודה לשני הקצוות, גם כשברור שהם קטנים.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה מיוחד בשיפועים של $f$ ושל $g$ ב- $x = 4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

הם שווים: $f'(4) = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = g'(4)$ . זה בדיוק התנאי $L'(x) = f'(x) - g'(x) = 0$ . המשיק ל- $f$ ב- $A$ מקביל לישר $g$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — מחיר וכמות

פעילות אינטראקטיבית

קיוסק המיצים

קיוסק בתל אביב מוכר $80$ כוסות מיץ ביום, במחיר $18$ שקלים לכוס. כל כוס עולה לקיוסק $6$ שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה $10$ כוסות ביום. א. באיזה מחיר הרווח היומי הגדול ביותר? ב. מהו הרווח הזה?

$16$ שקלים, רווח $1000$

$18$ שקלים, רווח $960$

$2$ שקלים, רווח $1000$

$16$ שקלים, רווח $1600$

$x$ היא ההורדה במחיר. מהו הרווח היומי?

$P(x) = (12 - x)(80 + 10x)$

להציג את התשובה והפתרון

רווח לכוס $18 - x - 6$ , כפול מספר הכוסות.

$P(x) = (18 - x)(80 + 10x)$

להציג את התשובה והפתרון

זו ההכנסה. לא חיסרתם את העלות.

\begin{aligned}P(x) &= (12 - x)(80 + 10x) \\ &= 960 + 40x - 10x^2 \\ \quad 0 \le x \le 12\end{aligned}

לא מוכרים מתחת לעלות.

איפה $P'(x) = 0$ ?

$x = 2$

להציג את התשובה והפתרון

$40 - 20x = 0$ .

$x = 4$

להציג את התשובה והפתרון

הנגזרת של $-10x^2$ היא $-20x$ .

\begin{aligned}P'(x) &= 40 - 20x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום. $P(0) = 960$ ו- $P(12) = 0$ קטנים יותר.

מה עונים בסעיף א?

המחיר $18 - 2 = 16$ שקלים

להציג את התשובה והפתרון

נשאלתם על המחיר.

$2$ שקלים

להציג את התשובה והפתרון

זו ההורדה, לא המחיר.

\begin{aligned}P(2) &= 10 \cdot 100 \\ &= 1000\end{aligned}

סעיף ב: רווח לכוס $10$ , ו- $100$ כוסות.

להציג את התשובה והפתרון

$16$ שקלים לכוס, ורווח יומי של $1000$ שקלים. $1600 = 16 \cdot 100$ היא ההכנסה. $960$ הוא הרווח בלי הורדה: ההורדה משתלמת.

לעשות את הפעילות ב-elev

בכמה אחוזים גדל מספר הכוסות, ובכמה ירד הרווח לכוס?

להציג את התשובה והפתרון

הכוסות: מ- $80$ ל- $100$ , עלייה של $25\%$ . הרווח לכוס: מ- $12$ ל- $10$ , ירידה של כ- $17\%$ . העלייה בכמות גדולה מהירידה ברווח לכוס, ולכן הרווח הכולל גדל.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 15$ . מהו הערך הגדול ביותר של $x^2 \cdot y$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 500

הפתרון:

\begin{aligned}P(x) &= x^2(15 - x) \\ &= 15x^2 - x^3 \\ \quad 0 < x < 15\end{aligned}

מסלקים את $y$

\begin{aligned}P'(x) &= 30x - 3x^2 \\ &= 3x(10 - x) \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

$x = 0$ אינו בתחום

P'(1) > 0 ,\quad P'(11) < 0

מקסימום

\begin{aligned}P(10) &= 100 \cdot 5 \\ &= 500\end{aligned}

המספרים $10$ ו- $5$

המכפלה $x^2 y$ אינה מקסימלית כשהמספרים שווים: $7.5^2 \cdot 7.5 \approx 422 < 500$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

AB = 12, BC = 8. AQ = CE = x, AP = CT = 3x.

במלבן $ABCD$ , $AB = 12$ ו- $BC = 8$ . על הצלעות נמצאות הנקודות $P, E, T, Q$ , כך ש- $AQ = CE = x$ ו- $AP = CT = 3x$ , כמו בשרטוט. $PETQ$ היא מקבילית. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

S(x) = 96 - 2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 3x \cdot x - 2 \cdot \tfrac{1}{2}(12 - 3x)(8 - x)

המלבן פחות ארבעת המשולשים בפינות

\begin{aligned}S(x) &= 96 - 3x^2 - (96 - 36x + 3x^2) \\ &= 36x - 6x^2\end{aligned}

מפשטים

0 < x \le 4

תחום: $3x \le 12$

\begin{aligned}S'(x) &= 36 - 12x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= 108 - 54 \\ &= 54\end{aligned}

השטח. בקצה: $S(4) = 48 < 54$

התחום נקבע לפי $AP = 3x \le 12$ , כלומר $x \le 4$ . מי שכותב $x \le 8$ שכח שהנקודה $P$ צריכה להישאר על הצלע $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

AB = 6 (היתר), BC = x.

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, היתר $AB = 6$ , והניצב $BC = x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{36 - x^2} \ \Rightarrow \ S(x) \\ &= \tfrac{1}{2}x\sqrt{36 - x^2} \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

משפט פיתגורס

S'(x) = \frac{36 - 2x^2}{2\sqrt{36 - x^2}}

כלל המכפלה ונגזרת של שורש

\begin{aligned}S'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 18 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\sqrt{2}\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 18 \\ &= 9\end{aligned}

השטח

ב- $x = 3\sqrt{2}$ שני הניצבים שווים. מי שעונה $3\sqrt{2}$ נתן את אורך הניצב, לא את השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

f(x) = 4√x ו-g(x) = x

A על f ו-B על g, באותו x.

נתונות $f(x) = 4\sqrt{x}$ ו- $g(x) = x$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בתחום $0 \le x \le 16$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}L(x) &= 4\sqrt{x} - x \\ \quad 0 \le x \le 16\end{aligned}

$f(4) = 8 > g(4) = 4$ : $f$ העליון

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{4}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= \frac{2}{\sqrt{x}} - 1\end{aligned}

נגזרת של שורש

\begin{aligned}L'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

בתוך התחום

\begin{aligned}L(4) &= 8 - 4 \\ &= 4 \\ \quad L(0) &= L(16) \\ &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

האורך הגדול ביותר $4$ , ב- $x = 4$ . שני המספרים שווים כאן במקרה: $x$ מהנגזרת, והאורך מ- $L$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

קיוסק מוכר $60$ כוסות מיץ ביום, במחיר $20$ שקלים לכוס. כל כוס עולה לקיוסק $8$ שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה $10$ כוסות ביום. מהו הרווח היומי הגדול ביותר, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 810

הפתרון:

\begin{aligned}P(x) &= (12 - x)(60 + 10x) \\ \quad 0 \le x \le 12\end{aligned}

רווח לכוס $20 - x - 8$

\begin{aligned}P'(x) &= -(60 + 10x) + 10(12 - x) \\ &= 60 - 20x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}P(3) &= 9 \cdot 90 \\ &= 810\end{aligned}

מחיר $17$ שקלים, $90$ כוסות

בלי הורדה הרווח $12 \cdot 60 = 720$ . ההורדה של $3$ שקלים מוסיפה $90$ שקלים ביום. $17 \cdot 90 = 1530$ היא ההכנסה, לא הרווח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — מספרים: מכפלה עם חזקה

2 — מקבילית בתוך מלבן

3 — משולש עם שורש

4 — הקטע האנכי בין שורש לישר

5 — מחיר וכמות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev