בעיות קיצון בכלכלה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

חנות בנתניה מוכרת 200200 זוגות כפכפים בחודש, במחיר 5050 שקלים לזוג. לחנות כל זוג עולה 2020 שקלים. בעלת החנות יודעת שכל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 זוגות למכירות. להוריד את המחיר? שני כוחות מושכים לכיוונים הפוכים: מוכרים יותר זוגות, אבל מרוויחים פחות על כל זוג. הסתכלו על הגרף.

הרווח החודשי P(x), כש-x היא ההורדה במחיר (בשקלים)
(0, 6000)(5, 6250)(10, 6000)(20, 4000)05101520253001000200030004000500060007000xy
הורדה קטנה במחיר מגדילה את הרווח. הורדה גדולה מקטינה אותו: מרוויחים מעט מדי על כל זוג.

לפי הגרף: איזו הורדה במחיר נותנת את הרווח הגדול ביותר? ומה קורה לרווח בהורדה של 3030 שקלים?

להציג את התשובה והפתרון

השיא בהורדה של 55 שקלים, והרווח 62506250 שקלים. בהורדה של 3030 שקלים המחיר 2020, בדיוק העלות: על כל זוג מרוויחים 00, והרווח 00.

הרווח: הרווח לזוג כפול מספר הזוגות

ואם החנות רשאית להוריד את המחיר ב-33 שקלים לכל היותר?

להציג את התשובה והפתרון

התחום 0≤x≤30 \le x \le 3, ו-x=5x = 5 מחוץ לו. P′(x)>0P'(x) > 0 בכל התחום, ולכן הרווח עולה. הרווח הגדול ביותר בקצה: P(3)=27⋅230=6210P(3) = 27 \cdot 230 = 6210 שקלים, במחיר 4747 שקלים.

עלות הייצור של יחידה

כמה לייצר ביום?

במפעל בקריית גת העלות של ייצור יחידה אחת, כשמייצרים xx יחידות ביום, היא c(x)=0.2x2−16x+400c(x) = 0.2x^2 - 16x + 400 שקלים. כמה יחידות כדאי לייצר ביום, כדי שהעלות ליחידה תהיה הקטנה ביותר?

c(x)=0.2x2−16x+400x>0\begin{aligned}c(x) &= 0.2x^2 - 16x + 400 \\ \quad x > 0\end{aligned}

הפונקציה נתונה. התחום: מספר יחידות חיובי

c′(x)=0.4x−16=0 ⇒ x=40\begin{aligned}c'(x) &= 0.4x - 16 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 40\end{aligned}

גזירה והשוואה לאפס

c′(10)<0,c′(50)>0c'(10) < 0 ,\quad c'(50) > 0

מ-−- ל-++: מינימום

c(40)=320−640+400=80\begin{aligned}c(40) &= 320 - 640 + 400 \\ &= 80\end{aligned}

מייצרים 4040 יחידות ביום, והעלות ליחידה 8080 שקלים

רווח עם שורש

כמה להשקיע בפרסום?

חברה משקיעה בפרסום xx אלפי שקלים. הפרסום מביא הכנסה נוספת של 12x12\sqrt{x} אלפי שקלים. מהו הרווח הנקי הגדול ביותר מהפרסום?

R(x)=12x−xx≥0\begin{aligned}R(x) &= 12\sqrt{x} - x \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

ההכנסה הנוספת פחות ההשקעה

R′(x)=122x−1=6x−1\begin{aligned}R'(x) &= \frac{12}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= \frac{6}{\sqrt{x}} - 1\end{aligned}

לפי (x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

6x=1 ⇒ x=6 ⇒ x=36\begin{aligned}\frac{6}{\sqrt{x}} &= 1 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 36\end{aligned}

השוואה לאפס

R′(25)=0.2>0R′(49)=−17<0\begin{aligned}R'(25) &= 0.2 > 0 \\ \quad R'(49) &= -\tfrac{1}{7} < 0\end{aligned}

מקסימום

R(36)=72−36=36\begin{aligned}R(36) &= 72 - 36 \\ &= 36\end{aligned}

רווח נקי של 3636 אלף שקלים, בהשקעה של 3636 אלף

בבעיה כלכלית שואלים שלוש שאלות שונות: ההורדה (xx), המחיר (50−x50 - x), או הרווח (P(x)P(x)). קראו שוב את השאלה לפני שאתם כותבים את התשובה.

שלוש הטעויות של הבעיות הכלכליות.

P(x)=(50−x)(200+10x)P(x) = (50 - x)(200 + 10x)
P(x)=(30−x)(200+10x)P(x) = (30 - x)(200 + 10x)

זו ההכנסה, לא הרווח. הרווח לזוג הוא המחיר פחות העלות.

מחיר=5\text{מחיר} = 5
מחיר=50−5=45\begin{aligned}\text{מחיר} &= 50 - 5 \\ &= 45\end{aligned}

xx הוא ההורדה. המחיר הוא 50−x50 - x.

P(x)=(30−x)(200−10x)P(x) = (30 - x)(200 - 10x)
P(x)=(30−x)(200+10x)P(x) = (30 - x)(200 + 10x)

כשהמחיר יורד, הכמות עולה. בדקו: ב-x=1x = 1 מוכרים 210210 זוגות.

תרגילים

תרגיל 1

חנות ספרים בחיפה מוכרת 100100 עותקים בחודש של ספר, במחיר 6060 שקלים לעותק. כל עותק עולה לחנות 3030 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 עותקים למכירות. xx היא ההורדה במחיר, בשקלים. מהי הפונקציה של הרווח החודשי?

  1. P(x)=(30−x)(100−10x)P(x) = (30 - x)(100 - 10x)
  2. P(x)=(30−x)(100+10x)P(x) = (30 - x)(100 + 10x)
  3. P(x)=(60−x)(100+10x)P(x) = (60 - x)(100 + 10x)
  4. P(x)=(30+x)(100+10x)P(x) = (30 + x)(100 + 10x)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב P(x)=(30−x)(100+10x)P(x) = (30 - x)(100 + 10x)

הפתרון:

60−x−30=30−x60 - x - 30 = 30 - x

הרווח לעותק: המחיר החדש פחות העלות

100+10x100 + 10x

מספר העותקים

P(x)=(30−x)(100+10x)P(x) = (30 - x)(100 + 10x)

רווח לעותק כפול מספר העותקים

הנכונה: P(x)=(30−x)(100+10x)P(x) = (30 - x)(100 + 10x). (60−x)(100+10x)(60 - x)(100 + 10x) היא ההכנסה. ב-(100−10x)(100 - 10x) המכירות יורדות כשהמחיר יורד, וזה הפוך לנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חנות ספרים מוכרת 100100 עותקים בחודש, במחיר 6060 שקלים לעותק, וכל עותק עולה לה 3030 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 עותקים למכירות. א. באיזה מחיר לעותק הרווח החודשי הגדול ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

P(x)=(30−x)(100+10x)=3000+200x−10x20≤x≤30\begin{aligned}P(x) &= (30 - x)(100 + 10x) \\ &= 3000 + 200x - 10x^2 \\ \quad 0 \le x \le 30\end{aligned}

הרווח והתחום

P′(x)=200−20x=0 ⇒ x=10\begin{aligned}P'(x) &= 200 - 20x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

גזירה

P′(5)>0,P′(15)<0P'(5) > 0 ,\quad P'(15) < 0

מקסימום

60−10=5060 - 10 = 50

המחיר

נשאלתם על המחיר: 60−10=5060 - 10 = 50 שקלים. 1010 הוא ההורדה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חנות ספרים מוכרת 100100 עותקים בחודש, במחיר 6060 שקלים לעותק, וכל עותק עולה לה 3030 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 עותקים למכירות. ב. מהו הרווח החודשי הגדול ביותר, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4000

הפתרון:

x=10x = 10

מסעיף א

P(10)=(30−10)(100+100)=20⋅200\begin{aligned}P(10) &= (30 - 10)(100 + 100) \\ &= 20 \cdot 200\end{aligned}

רווח לעותק כפול מספר העותקים

=4000= 4000

הרווח

P(0)=3000P(30)=0\begin{aligned}P(0) &= 3000 \\ \quad P(30) &= 0\end{aligned}

בקצוות: פחות

מי שמכפיל את המחיר 5050 ב-200200 מקבל 1000010000: זו ההכנסה, לא הרווח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במלון באילת 6060 חדרים. במחיר 400400 שקלים ללילה כל החדרים מלאים. כל העלאה של 2020 שקלים במחיר משאירה חדר אחד ריק. א. באיזה מחיר ללילה ההכנסה של המלון הגדולה ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 800

הפתרון:

x העלאות:מחיר=400+20xחדרים=60−x\begin{aligned}x \ \text{העלאות} :\quad \text{מחיר} &= 400 + 20x \\ \quad \text{חדרים} &= 60 - x\end{aligned}

סימון המשתנה

R(x)=(400+20x)(60−x)0≤x≤60\begin{aligned}R(x) &= (400 + 20x)(60 - x) \\ \quad 0 \le x \le 60\end{aligned}

ההכנסה והתחום

R′(x)=20(60−x)−(400+20x)=800−40x\begin{aligned}R'(x) &= 20(60 - x) - (400 + 20x) \\ &= 800 - 40x\end{aligned}

כלל המכפלה

R′(x)=0 ⇒ x=20\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

400+20⋅20=800400 + 20 \cdot 20 = 800

המחיר

xx הוא מספר ההעלאות, לא המחיר. במחיר 800800 שקלים תפוסים רק 4040 חדרים, ובכל זאת ההכנסה גדלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במלון באילת 6060 חדרים. במחיר 400400 שקלים ללילה כל החדרים מלאים. כל העלאה של 2020 שקלים במחיר משאירה חדר אחד ריק. ב. מהי ההכנסה הגדולה ביותר ללילה, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32000

הפתרון:

x=20x = 20

מסעיף א

R(20)=800⋅40=32000\begin{aligned}R(20) &= 800 \cdot 40 \\ &= 32000\end{aligned}

מחיר כפול מספר החדרים

R(0)=24000R(60)=0\begin{aligned}R(0) &= 24000 \\ \quad R(60) &= 0\end{aligned}

בקצוות: פחות

ב-x=0x = 0 המלון מלא, וההכנסה רק 2400024000. מלון מלא אינו בהכרח ההכנסה הגדולה ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במאפייה העלות של אפיית עוגה אחת, כשאופים xx עוגות ביום, היא c(x)=0.5x2−30x+500c(x) = 0.5x^2 - 30x + 500 שקלים. א. כמה עוגות כדאי לאפות ביום, כדי שהעלות לעוגה תהיה הקטנה ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

c′(x)=x−30c'(x) = x - 30

גזירה

c′(x)=0 ⇒ x=30\begin{aligned}c'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 30\end{aligned}

השוואה לאפס

c′(20)<0,c′(40)>0c'(20) < 0 ,\quad c'(40) > 0

מ-−- ל-++: מינימום

מחפשים כאן מינימום, ולכן הנגזרת עוברת מ-−- ל-++. הנגזרת של 0.5x20.5x^2 היא xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במאפייה העלות של אפיית עוגה אחת, כשאופים xx עוגות ביום, היא c(x)=0.5x2−30x+500c(x) = 0.5x^2 - 30x + 500 שקלים. ב. מהי העלות הקטנה ביותר לעוגה, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

x=30x = 30

מסעיף א

c(30)=0.5⋅900−900+500c(30) = 0.5 \cdot 900 - 900 + 500

מציבים ב-cc

=450−900+500=50= 450 - 900 + 500 = 50

העלות לעוגה

מציבים ב-cc, לא ב-c′c'. c′(30)=0c'(30) = 0 תמיד, ואינו העלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חברה משקיעה בפרסום xx אלפי שקלים, והפרסום מביא הכנסה נוספת של 8x8\sqrt{x} אלפי שקלים. מהו הרווח הנקי הגדול ביותר מהפרסום, באלפי שקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

R(x)=8x−xx≥0\begin{aligned}R(x) &= 8\sqrt{x} - x \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

ההכנסה הנוספת פחות ההשקעה

R′(x)=82x−1=4x−1\begin{aligned}R'(x) &= \frac{8}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= \frac{4}{\sqrt{x}} - 1\end{aligned}

נגזרת של שורש

R′(x)=0 ⇒ x=4 ⇒ x=16\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 16\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

R(16)=32−16=16\begin{aligned}R(16) &= 32 - 16 \\ &= 16\end{aligned}

הרווח הנקי

ההשקעה x=16x = 16 והרווח 1616 שווים כאן. הרווח הוא R(16)R(16), לא 816=328\sqrt{16} = 32: מההכנסה צריך לחסר את ההשקעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חנות ספרים מוכרת 100100 עותקים בחודש, במחיר 6060 שקלים לעותק, וכל עותק עולה לה 3030 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 עותקים. ההוצאה לאור מרשה להוריד את המחיר ב-44 שקלים לכל היותר. מהו הרווח החודשי הגדול ביותר, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3640

הפתרון:

P(x)=(30−x)(100+10x)0≤x≤4\begin{aligned}P(x) &= (30 - x)(100 + 10x) \\ \quad 0 \le x \le 4\end{aligned}

התחום סגור

P′(x)=200−20x=0 ⇒ x=10∉[0,4]\begin{aligned}P'(x) &= 200 - 20x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10 \notin [0, 4]\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

P′(x)>0 ב-0≤x≤4P'(x) > 0 \ \text{ב-} 0 \le x \le 4

הרווח עולה בכל התחום

P(4)=26⋅140=3640\begin{aligned}P(4) &= 26 \cdot 140 \\ &= 3640\end{aligned}

הערך הגדול ביותר, בקצה

מי שעונה 40004000 השתמש בהורדה של 1010 שקלים, שאסורה כאן. כשהנקודה החשודה מחוץ לתחום, מחפשים את התשובה בקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במלון באילת 6060 חדרים. במחיר 400400 שקלים ללילה כל החדרים מלאים, וכל העלאה של 2020 שקלים משאירה חדר אחד ריק. ניקוי של חדר תפוס עולה למלון 8080 שקלים ללילה. הוכיחו או הפריכו: המחיר שנותן את הרווח הגדול ביותר הוא 800800 שקלים, כמו המחיר שנותן את ההכנסה הגדולה ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

P(x)=(400+20x−80)(60−x)=(320+20x)(60−x)\begin{aligned}P(x) &= (400 + 20x - 80)(60 - x) \\ &= (320 + 20x)(60 - x)\end{aligned}

רווח לחדר כפול מספר החדרים

P′(x)=20(60−x)−(320+20x)=880−40x\begin{aligned}P'(x) &= 20(60 - x) - (320 + 20x) \\ &= 880 - 40x\end{aligned}

כלל המכפלה

P′(x)=0 ⇒ x=22\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 22\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

400+20⋅22=840400 + 20 \cdot 22 = 840

המחיר

הטענה לא נכונה. עלות לכל חדר תפוס «דוחפת» את המחיר למעלה: כדאי להשאיר עוד חדרים ריקים. ההכנסה הגדולה ביותר והרווח הגדול ביותר הם שתי שאלות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת