בעיות קיצון על גרפים · בעיות ערך קיצון · כיתה י׳

בבעיות האלה נקודה $P$ זזה על גרף, ואיתה זזים מלבן, קטע או מרחק. הסוד הוא משפט אחד: נקודה על הגרף של $f$ היא $(x,\,f(x))$ . משם כל אורך בשרטוט נכתב באמצעות $x$ בלבד.

מלבן מתחת לפרבולה

מלבן מתחת לגרף y = 27 − x²

הקודקודים $P$ ו- $Q$ נמצאים על הגרף $y = 27 - x^2$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ . אם $P = (x,\,27 - x^2)$ , אז $Q = (-x,\,27 - x^2)$ , כי הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . לכן רוחב המלבן $2x$ , וגובהו $27 - x^2$ : שיעור ה- $y$ של הנקודה הוא הגובה.

מהו התחום של $x$ כאן?

להציג את התשובה והפתרון

$0 < x < \sqrt{27}$ . ב- $x = 0$ אין רוחב. ב- $x = \sqrt{27} \approx 5.2$ הגרף פוגש את ציר ה- $x$ , ואין גובה.

פעילות אינטראקטיבית

השטח הגדול ביותר של המלבן

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $y = 27 - x^2$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

$108$

$54$

$162$

$27$

$P = (x,\,27 - x^2)$ , ו- $x > 0$ . מהו שטח המלבן?

$S = x(27 - x^2)$

להציג את התשובה והפתרון

זה חצי מהמלבן. $Q$ נמצא ב- $-x$ , ולכן הרוחב $2x$ .

$S = 2x(27 - x^2)$

להציג את התשובה והפתרון

רוחב $2x$ כפול גובה $27 - x^2$ .

$S = 2x \cdot 27$

להציג את התשובה והפתרון

$27$ הוא הגובה של קודקוד הפרבולה, לא של $P$ .

\begin{aligned}S(x) &= 54x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{27}\end{aligned}

פותחים סוגריים ורושמים את התחום.

איפה $S'(x) = 0$ בתוך התחום?

$x = 3$

להציג את התשובה והפתרון

$54 - 6x^2 = 0$ , ולכן $x^2 = 9$ . $x = -3$ מחוץ לתחום.

$x = 9$

להציג את התשובה והפתרון

$x^2 = 9$ נותן $x = 3$ . ו- $9$ גם מחוץ לתחום.

$x = \sqrt{27}$

להציג את התשובה והפתרון

זה קצה התחום. שם הגובה $0$ .

\begin{aligned}S'(x) &= 54 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

$S'(1) = 48 > 0$ ו- $S'(4) = -42 < 0$ : מקסימום.

מה עונים?

$S(3) = 6 \cdot 18 = 108$

להציג את התשובה והפתרון

השאלה על השטח.

$x = 3$

להציג את התשובה והפתרון

זה שיעור ה- $x$ של $P$ , לא השטח.

\begin{aligned}S(3) &= 2 \cdot 3 \cdot (27 - 9) \\ &= 108\end{aligned}

רוחב $6$ , גובה $18$ .

להציג את התשובה והפתרון

השטח הגדול ביותר: $108$ . $54$ הוא השטח של חצי מלבן ( $x(27 - x^2)$ ב- $x = 3$ ). $162$ מתקבל מהצבה של $x = 3$ ב- $2x \cdot 27$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

הקטע האנכי בין שני גרפים

הקטע האנכי AB בין שני הגרפים

A על הגרף של f, ו-B על הגרף של g, באותו x.

הקטע האנכי הארוך ביותר

הקטע $AB$ מקביל לציר ה- $y$ : $A$ על $f(x) = -x^2 + 10x$ ו- $B$ על $g(x) = x^2 - 2x$ , באותו $x$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים. מהו האורך הגדול ביותר של $AB$ ?

\begin{aligned}-x^2 + 10x &= x^2 - 2x \ \Rightarrow \ 2x^2 - 12x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך קובעות את התחום $0 < x < 6$

\begin{aligned}L(x) &= f(x) - g(x) \\ &= -2x^2 + 12x\end{aligned}

הגרף העליון פחות הגרף התחתון, באותו $x$

\begin{aligned}L'(x) &= -4x + 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}L(3) &= -18 + 36 \\ &= 18\end{aligned}

$A = (3,\,21)$ ו- $B = (3,\,3)$

איך יודעים איזה גרף הוא העליון?

להציג את התשובה והפתרון

מציבים נקודה אחת מתוך התחום: $f(1) = 9$ ו- $g(1) = -1$ . לכן $f$ מעל $g$ בכל התחום (הגרפים לא נחתכים בתוכו), והאורך הוא $f(x) - g(x)$ .

הנקודה הקרובה ביותר: מרחק מתחת לשורש

המרחק מ-A(5, 0) לנקודה P על y = √(2x)

P היא נקודה כללית על הגרף. הקו המקווקו הוא המרחק AP.

פעילות אינטראקטיבית

מהו המרחק הקטן ביותר מהנקודה $A(5,\,0)$ לגרף $y = \sqrt{2x}$ ?

A(5,\,0) ,\qquad P\left(x,\,\sqrt{2x}\right)

לחצו «להתחיל». נקודה כללית על הגרף היא $P(x,\,\sqrt{2x})$ , ו- $x \ge 0$ .

הבעה

\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 5)^2 + \left(\sqrt{2x}\right)^2} \\ &= \sqrt{x^2 - 8x + 25}\end{aligned}

נוסחת המרחק בין שתי נקודות. $(\sqrt{2x})^2 = 2x$ .

תחום

x \ge 0

התחום של $\sqrt{2x}$ . הביטוי $x^2 - 8x + 25$ חיובי תמיד.

גזירה

\begin{aligned}d'(x) &= \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}} \\ &= \frac{x - 4}{\sqrt{x^2 - 8x + 25}}\end{aligned}

לפי $\left(\sqrt{f}\right)' = \frac{f'}{2\sqrt{f}}$ .

אפס

\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס. המכנה חיובי תמיד.

סוג

d'(3) < 0 ,\quad d'(5) > 0

הסימן נקבע לפי המונה $x - 4$ : מ- $-$ ל- $+$ , מינימום.

תשובה

\begin{aligned}d(4) &= \sqrt{16 - 32 + 25} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה הקרובה ביותר: $P(4,\,\sqrt{8})$ , והמרחק $3$ .

הנקודה $(5,\,\sqrt{10})$ , שנמצאת «מעל» $A$ , אינה הקרובה ביותר: המרחק אליה $\sqrt{10} \approx 3.16 > 3$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

למה מספיק לבדוק את הסימן של המונה $x - 4$ בלבד?

להציג את התשובה והפתרון

המכנה $\sqrt{x^2 - 8x + 25}$ הוא שורש, ולכן חיובי בכל התחום. הסימן של השבר הוא הסימן של המונה: שלילי ל- $x < 4$ , חיובי ל- $x > 4$ .

שלושה משפטים פותרים כמעט כל בעיה על גרף: נקודה על הגרף היא $(x,\,f(x))$ . אורך אנכי הוא הפרש של שיעורי $y$ באותו $x$ . מרחק בין שתי נקודות הוא $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ .

הטעויות של בעיות על גרף.

S = x(27 - x^2)

S = 2x(27 - x^2)

מלבן סימטרי ביחס לציר ה- $y$ : הרוחב $2x$ . בדקו תמיד מה $x$ מסמן בשרטוט.

L(x) = g(x) - f(x)

L(x) = f(x) - g(x)

אורך הוא העליון פחות התחתון. בדקו בנקודה אחת מי מעל.

d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}}

d'(x) = \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}}

בנגזרת של שורש מכפילים בנגזרת של מה שמתחת לשורש. בלעדיה הנגזרת לא מתאפסת אף פעם.

תרגילים

תרגיל 1

מלבן מתחת לגרף y = 27 − x²

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $y = 27 - x^2$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. $P = (x,\,27 - x^2)$ ו- $x > 0$ . מהי הפונקציה של שטח המלבן?

$S(x) = 2x + 2(27 - x^2)$
$S(x) = 2x(27 - x^2)$
$S(x) = 54x$
$S(x) = x(27 - x^2)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $S(x) = 2x(27 - x^2)$

הפתרון:

Q = (-x,\,27 - x^2)

סימטריה ביחס לציר ה- $y$

\begin{aligned}PQ &= 2x \\ \quad \text{גובה} &= 27 - x^2\end{aligned}

רוחב וגובה

S(x) = 2x(27 - x^2)

שטח

הנכונה: $S(x) = 2x(27 - x^2)$ . $x(27 - x^2)$ הוא חצי מלבן. $2x + 2(27 - x^2)$ הוא חצי היקף, לא שטח.

מלבן מתחת לפרבולה

הקטע האנכי בין שני גרפים

הנקודה הקרובה ביותר: מרחק מתחת לשורש

תרגילים

חזרה — שאלה 1

חזרה — שאלה 2

חזרה — שאלה 3

חזרה — שאלה 4

השיעור הבא מחכה ב-elev