בעיות קיצון בגאומטריה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בגאומטריה הגודל שמחפשים הוא שטח או נפח, והמשתנה הוא אורך. כשהאורך משתנה, הצורה משתנה, ואיתה השטח או הנפח. לפני כל נוסחה, הזיזו את xx במעבדה וחפשו את השיא.

לפי המעבדה: מהו התחום של xx, ובאיזה xx הנפח הגדול ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

צלע הבסיס היא 12−2x12 - 2x, והיא חייבת להיות חיובית: 0<x<60 < x < 6. השיא ב-x=2x = 2, והנפח V(2)=2⋅82=128V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128 סמ״ק. V′(x)=(12−2x)(12−6x)V'(x) = (12 - 2x)(12 - 6x) מתאפסת גם ב-x=6x = 6, אבל שם אין תיבה.

גדר לאורך קיר

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

החלקה הגדולה ביותר

חקלאי בעמק יזרעאל גודר חלקה צמודה לקיר ארוך, כמו בשרטוט. לאורך הקיר לא גודרים. לרשותו 8080 מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה?

AB=CD=x\begin{aligned}AB &= CD \\ &= x\end{aligned}

סימון המשתנה: שתי הצלעות הניצבות לקיר

BC=80−2x ⇒ S(x)=x(80−2x)=80x−2x2\begin{aligned}BC &= 80 - 2x \ \Rightarrow \ S(x) \\ &= x(80 - 2x) \\ &= 80x - 2x^2\end{aligned}

הבעת הגודל כפונקציה: שתי צלעות ניצבות ורק אחת מקבילה לקיר

0<x<400 < x < 40

תחום ההגדרה: BC>0BC > 0

S′(x)=80−4x=0 ⇒ x=20\begin{aligned}S'(x) &= 80 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

גזירה והשוואה לאפס

S′(10)>0 S′(30)<0 ⇒ S(20)=20⋅40=800\begin{aligned}S'(10) > 0 \\ \ S'(30) < 0 \ \Rightarrow \ S(20) &= 20 \cdot 40 \\ &= 800\end{aligned}

מקסימום. השטח הגדול ביותר: 800800 מ״ר

מה הממדים של החלקה הגדולה ביותר? האם היא בצורת ריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

AB=20AB = 20 מ׳ ו-BC=40BC = 40 מ׳. לא ריבוע: הצלע שלאורך הקיר ארוכה פי 22, כי את הצלע הרביעית «נותן» הקיר בחינם.

מקבילית בתוך מלבן

ABCDPETQ
AB = 12, BC = 8. AQ = CE = x, AP = CT = 2x.

במלבן ABCDABCD, AB=12AB = 12 ו-BC=8BC = 8. על הצלעות בוחרים ארבע נקודות: AQ=CE=xAQ = CE = x ו-AP=CT=2xAP = CT = 2x. המרובע PETQPETQ הוא מקבילית. את השטח שלה לא מחשבים ישירות: מחסרים משטח המלבן את ארבעת המשולשים שבפינות. המשולשים שבפינות AA ו-CC חופפים, וגם אלה שבפינות BB ו-DD.

השטח של המקבילית כפונקציה של x

מצאו את xx שעבורו שטח המקבילית PETQPETQ הגדול ביותר, ואת השטח הזה.

S△APQ=S△CTE=12⋅2x⋅x=x2\begin{aligned}S_{\triangle APQ} &= S_{\triangle CTE} \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot x \\ &= x^2\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

S△PBE=S△TDQ=12(12−2x)(8−x)\begin{aligned}S_{\triangle PBE} &= S_{\triangle TDQ} \\ &= \tfrac{1}{2}(12 - 2x)(8 - x)\end{aligned}

PB=12−2xPB = 12 - 2x ו-BE=8−xBE = 8 - x

S(x)=96−2x2−(12−2x)(8−x)=28x−4x2\begin{aligned}S(x) &= 96 - 2x^2 - (12 - 2x)(8 - x) \\ &= 28x - 4x^2\end{aligned}

שטח המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x≤60 < x \le 6

תחום: 2x≤122x \le 12 וגם x≤8x \le 8

S′(x)=28−8x=0 ⇒ x=3.5S(3.5)=98−49=49\begin{aligned}S'(x) &= 28 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3.5 \\ \quad S(3.5) &= 98 - 49 \\ &= 49\end{aligned}

בטבלה שלמטה: מקסימום

למה התחום הוא 0<x≤60 < x \le 6 ולא 0<x<80 < x < 8?

להציג את התשובה והפתרון

הנקודה PP על הצלע ABAB, ולכן AP=2x≤12AP = 2x \le 12, כלומר x≤6x \le 6. התנאי x≤8x \le 8 (עבור QQ על ADAD) חלש יותר. התחום נקבע לפי ההגבלה החזקה ביותר. ב-x=6x = 6 הנקודה PP מגיעה ל-BB, והמקבילית עדיין קיימת.

בכל בעיה גאומטרית בודקים את התחום לפי כל הצלעות שהמשתנה נוגע בהן: כל אורך בשרטוט חייב להיות חיובי, וכל נקודה צריכה להישאר על הצלע שלה.

שלוש הטעויות של בעיות הגאומטריה.

BC=80−xBC = 80 - x
BC=80−2xBC = 80 - 2x

לאורך קיר יש שתי צלעות ניצבות. מי שסופר אחת בלבד בונה גדר ארוכה מ-8080 מ׳.

V(x)=x(12−x)2V(x) = x(12 - x)^2
V(x)=x(12−2x)2V(x) = x(12 - 2x)^2

מכל צלע של הגיליון גוזרים שתי פינות, ולכן הצלע מתקצרת ב-2x2x.

0<x<120 < x < 12
0<x<60 < x < 6

התחום נקבע לפי צלע הבסיס 12−2x12 - 2x, לא לפי אורך הגיליון.

תרגילים

תרגיל 1

ABCD
היקף המלבן ABCD הוא 36 ס״מ. AB = x.

היקף המלבן ABCDABCD הוא 3636 ס״מ, ו-AB=xAB = x, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81

הפתרון:

AB=xBC=18−x\begin{aligned}AB &= x \\ \quad BC &= 18 - x\end{aligned}

חצי היקף הוא 1818

S(x)=x(18−x)=18x−x20<x<18\begin{aligned}S(x) &= x(18 - x) \\ &= 18x - x^2 \\ \quad 0 < x < 18\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=18−2x=0 ⇒ x=9\begin{aligned}S'(x) &= 18 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מקסימום: מ-++ ל-−-

S(9)=9⋅9=81\begin{aligned}S(9) &= 9 \cdot 9 \\ &= 81\end{aligned}

המלבן הוא ריבוע

מי שכותב BC=36−xBC = 36 - x שכח שבהיקף כל צלע מופיעה פעמיים. חצי ההיקף הוא AB+BC=18AB + BC = 18.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

חקלאית גודרת חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים, ולרשותה 100100 מ׳ גדר. AB=CD=xAB = CD = x. מהי הפונקציה של שטח החלקה?

  1. S(x)=2x(100−2x)S(x) = 2x(100 - 2x)
  2. S(x)=x(100−2x)S(x) = x(100 - 2x)
  3. S(x)=x(50−x)S(x) = x(50 - x)
  4. S(x)=x(100−x)S(x) = x(100 - x)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב S(x)=x(100−2x)S(x) = x(100 - 2x)

הפתרון:

AB+BC+CD=100AB + BC + CD = 100

שלוש צלעות גדורות

BC=100−2xBC = 100 - 2x

שתי צלעות ניצבות לקיר

S(x)=AB⋅BC=x(100−2x)\begin{aligned}S(x) &= AB \cdot BC \\ &= x(100 - 2x)\end{aligned}

שטח

הנכונה: S(x)=x(100−2x)S(x) = x(100 - 2x). x(50−x)x(50 - x) מתאים לארבע צלעות גדורות, כלומר לחלקה בלי קיר. x(100−x)x(100 - x) סופר רק צלע ניצבת אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

חקלאית גודרת חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים, ולרשותה 100100 מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1250

הפתרון:

S(x)=x(100−2x)=100x−2x20<x<50\begin{aligned}S(x) &= x(100 - 2x) \\ &= 100x - 2x^2 \\ \quad 0 < x < 50\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=100−4x=0 ⇒ x=25\begin{aligned}S'(x) &= 100 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 25\end{aligned}

גזירה

S′(10)>0,S′(40)<0S'(10) > 0 ,\quad S'(40) < 0

מקסימום

S(25)=25⋅50=1250\begin{aligned}S(25) &= 25 \cdot 50 \\ &= 1250\end{aligned}

השטח

הגזירה של −2x2-2x^2 נותנת −4x-4x, לא −2x-2x. מי שטועה כאן מקבל x=50x = 50, ושם BC=0BC = 0: אין חלקה בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDPETQ
AB = 18, BC = 10. AQ = CE = x, AP = CT = 3x.

במלבן ABCDABCD, AB=18AB = 18 ו-BC=10BC = 10. הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q נמצאות על הצלעות, כך ש-AQ=CE=xAQ = CE = x ו-AP=CT=3xAP = CT = 3x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. א. מצאו את xx שעבורו שטח המקבילית הגדול ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

S△APQ=S△CTE=12⋅3x⋅x=1.5x2\begin{aligned}S_{\triangle APQ} &= S_{\triangle CTE} \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 3x \cdot x \\ &= 1.5x^2\end{aligned}

משולשים ישרי זווית בפינות AA ו-CC

S△PBE=S△TDQ=12(18−3x)(10−x)\begin{aligned}S_{\triangle PBE} &= S_{\triangle TDQ} \\ &= \tfrac{1}{2}(18 - 3x)(10 - x)\end{aligned}

בפינות BB ו-DD

S(x)=180−3x2−(18−3x)(10−x)=48x−6x2\begin{aligned}S(x) &= 180 - 3x^2 - (18 - 3x)(10 - x) \\ &= 48x - 6x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x≤60 < x \le 6

תחום: 3x≤183x \le 18

S′(x)=48−12x=0 ⇒ x=4\begin{aligned}S'(x) &= 48 - 12x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

את שטח המקבילית מקבלים בחיסור, לא מנוסחה של מקבילית. והתחום נקבע לפי AP=3x≤18AP = 3x \le 18, לא לפי x≤10x \le 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDPETQ
AB = 18, BC = 10. AQ = CE = x, AP = CT = 3x.

במלבן ABCDABCD, AB=18AB = 18 ו-BC=10BC = 10. הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q נמצאות על הצלעות, כך ש-AQ=CE=xAQ = CE = x ו-AP=CT=3xAP = CT = 3x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. ב. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 96

הפתרון:

S(x)=48x−6x2S(x) = 48x - 6x^2

מסעיף א

x=4x = 4

מסעיף א

S(4)=192−96=96\begin{aligned}S(4) &= 192 - 96 \\ &= 96\end{aligned}

מציבים ב-SS

S(6)=288−216=72<96\begin{aligned}S(6) &= 288 - 216 \\ &= 72 < 96\end{aligned}

בדיקה מול הקצה x=6x = 6

מציבים x=4x = 4 ב-SS, לא ב-S′S'. בדיקה: AP=12AP = 12, AQ=4AQ = 4, ושטח ארבעת המשולשים 2⋅24+2⋅18=84=180−962 \cdot 24 + 2 \cdot 18 = 84 = 180 - 96 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

גיליון 24 על 15, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx024015

מגיליון קרטון שממדיו 2424 ס״מ על 1515 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים את הדפנות לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. א. מצאו את xx שעבורו נפח התיבה הגדול ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

V(x)=x(24−2x)(15−2x)=4x3−78x2+360x\begin{aligned}V(x) &= x(24 - 2x)(15 - 2x) \\ &= 4x^3 - 78x^2 + 360x\end{aligned}

בסיס (24−2x)(15−2x)(24 - 2x)(15 - 2x), גובה xx

0<x<7.50 < x < 7.5

תחום: לפי הצלע הקצרה 15−2x>015 - 2x > 0

V′(x)=12x2−156x+360=12(x−3)(x−10)\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 156x + 360 \\ &= 12(x - 3)(x - 10)\end{aligned}

גזירה ופירוק

x=3(x=10∉(0,7.5))x = 3 \quad (x = 10 \notin (0, 7.5))

רק x=3x = 3 בתחום; מ-++ ל-−-: מקסימום

x=10x = 10 פותר את המשוואה, אבל אז 15−2x<015 - 2x < 0. התחום נקבע לפי הצלע הקצרה של הגיליון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גיליון 24 על 15, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx024015

מגיליון קרטון שממדיו 2424 ס״מ על 1515 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים את הדפנות לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. ב. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ״ק)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 486

הפתרון:

x=3x = 3

מסעיף א

V(3)=3⋅(24−6)(15−6)=3⋅18⋅9\begin{aligned}V(3) &= 3 \cdot (24 - 6)(15 - 6) \\ &= 3 \cdot 18 \cdot 9\end{aligned}

מציבים

=486= 486

הנפח הגדול ביותר

הבסיס הוא 18×918 \times 9, לא 21×1221 \times 12: מכל צלע יורדות שתי פינות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD
היקף המלבן ABCD הוא 36 ס״מ. AB = x.

הוכיחו או הפריכו: מבין כל המלבנים שהיקפם 3636 ס״מ, למלבן בעל השטח הגדול ביותר יש ארבע צלעות שוות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

S(x)=x(18−x)0<x<18\begin{aligned}S(x) &= x(18 - x) \\ \quad 0 < x < 18\end{aligned}

צלע אחת xx, והשנייה 18−x18 - x

S′(x)=18−2x=0 ⇒ x=9\begin{aligned}S'(x) &= 18 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מקסימום

18−9=918 - 9 = 9

שתי הצלעות שוות

הטענה נכונה. בהיקף קבוע, השטח הגדול ביותר מתקבל כשהמלבן הוא ריבוע. אבל שימו לב: לאורך קיר זה לא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDEF
AD הוא הקיר. AB = EF = CD = x, והגדר EF מחלקת את החלקה לשתי חלקות.

גודרים חלקה צמודה לקיר, ומחלקים אותה בגדר EFEF לשתי חלקות, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים. לרשותנו 120120 מ׳ גדר לכל הגדרות. מהו השטח הכולל הגדול ביותר (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1200

הפתרון:

AB=EF=CD=x ⇒ BC=120−3x\begin{aligned}AB &= EF \\ &= CD \\ &= x \ \Rightarrow \ BC \\ &= 120 - 3x\end{aligned}

שלוש גדרות ניצבות לקיר

S(x)=x(120−3x)=120x−3x20<x<40\begin{aligned}S(x) &= x(120 - 3x) \\ &= 120x - 3x^2 \\ \quad 0 < x < 40\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=120−6x=0 ⇒ x=20\begin{aligned}S'(x) &= 120 - 6x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(20)=20⋅60=1200\begin{aligned}S(20) &= 20 \cdot 60 \\ &= 1200\end{aligned}

השטח הכולל

הגדר המחלקת EFEF גם נלקחת מ-120120 המטרים. מי ששוכח אותה כותב 120−2x120 - 2x ומקבל 18001800.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ואורכו 30 מ׳. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט, ולרשותנו 8080 מ׳ גדר. הפעם הקיר ADAD קצר: אורכו 3030 מ׳ בלבד, ולכן BC≤30BC \le 30. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 750

הפתרון:

S(x)=x(80−2x)BC=80−2x≤30 ⇒ x≥25\begin{aligned}S(x) &= x(80 - 2x) \\ \quad BC &= 80 - 2x \le 30 \ \Rightarrow \ x \ge 25\end{aligned}

הקיר מוסיף הגבלה

25≤x<4025 \le x < 40

תחום סגור בקצה x=25x = 25

S′(x)=80−4x=0 ⇒ x=20∉[25,40)\begin{aligned}S'(x) &= 80 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20 \notin [25, 40)\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

S′(x)<0 ל-x≥25S'(x) < 0 \ \text{ל-} x \ge 25

השטח יורד בכל התחום

S(25)=25⋅30=750\begin{aligned}S(25) &= 25 \cdot 30 \\ &= 750\end{aligned}

הערך הגדול ביותר, בקצה

מי שעונה 800800 (ב-x=20x = 20) בנה צלע BC=40BC = 40, ארוכה מהקיר. הנקודה החשודה נפסלת, והמקסימום נמצא בקצה של התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — שאלה 1

תרגיל 11

ABCDEFG
ריבוע ABCD שצלעו 24 ס״מ. BE = x, BF = 2x, DG = 2x. המחומש EFCDG הוא החלק המוצלל.

נתון ריבוע ABCDABCD שאורך צלעו 2424 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע BE=xBE = x, על הצלע BCBC קטע BF=2xBF = 2x, ועל הצלע ADAD קטע DG=2xDG = 2x, כמו בשרטוט. המחומש EFCDGEFCDG מוצלל. א. איזו פונקציה מבטאת את שטח המחומש EFCDGEFCDG (בסמ״ר) באמצעות xx?

  1. S(x)=576−x2S(x) = 576 - x^2
  2. S(x)=72x−3x2S(x) = 72x - 3x^2
  3. S(x)=288+36x−3x2S(x) = 288 + 36x - 3x^2
  4. S(x)=288+36x−2x2S(x) = 288 + 36x - 2x^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד S(x)=288+36x−2x2S(x) = 288 + 36x - 2x^2

הפתרון:

SBEF=x⋅2x2=x2\begin{aligned}S_{BEF} &= \frac{x \cdot 2x}{2} \\ &= x^2\end{aligned}

משולש ישר-זווית בקודקוד BB

AE=24−xAG=24−2x\begin{aligned}AE &= 24 - x \\ \quad AG &= 24 - 2x\end{aligned}

הניצבים של המשולש AEGAEG

SAEG=(24−x)(24−2x)2=288−36x+x2\begin{aligned}S_{AEG} &= \frac{(24 - x)(24 - 2x)}{2} \\ &= 288 - 36x + x^2\end{aligned}

פותחים סוגריים ומחלקים ב-22

S(x)=576−x2−(288−36x+x2)=288+36x−2x2\begin{aligned}S(x) &= 576 - x^2 - (288 - 36x + x^2) \\ &= 288 + 36x - 2x^2\end{aligned}

מהריבוע מחסירים את שני המשולשים הלבנים

הנכונה: S(x)=288+36x−2x2S(x) = 288 + 36x - 2x^2. 576−x2576 - x^2 שוכח את המשולש AEGAEG, ו-72x−3x272x - 3x^2 שוכח לחלק את שטחו ב-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCDEFG
ריבוע ABCD שצלעו 24 ס״מ. BE = x, BF = 2x, DG = 2x. המחומש EFCDG הוא החלק המוצלל.

נתון ריבוע ABCDABCD שאורך צלעו 2424 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע BE=xBE = x, על הצלע BCBC קטע BF=2xBF = 2x, ועל הצלע ADAD קטע DG=2xDG = 2x, כמו בשרטוט. המחומש EFCDGEFCDG מוצלל. שטח המחומש הוא S(x)=288+36x−2x2S(x) = 288 + 36x - 2x^2. ב. מה צריך להיות ערכו של xx (בס״מ) כדי ששטח המחומש יהיה מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

0<x<120 < x < 12

התחום: DG=2xDG = 2x קטן מהצלע AD=24AD = 24

S′(x)=36−4x=0 ⇒ x=9\begin{aligned}S'(x) &= 36 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

S′(8)=4>0S′(10)=−4<0\begin{aligned}S'(8) &= 4 > 0 \\ \quad S'(10) &= -4 < 0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

x=9x = 9 ס״מ. זו נקודת הקיצון היחידה בתחום, ולכן היא המקסימום המוחלט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ABCDEFG
ריבוע ABCD שצלעו 24 ס״מ. BE = x, BF = 2x, DG = 2x. המחומש EFCDG הוא החלק המוצלל.

נתון ריבוע ABCDABCD שאורך צלעו 2424 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע BE=xBE = x, על הצלע BCBC קטע BF=2xBF = 2x, ועל הצלע ADAD קטע DG=2xDG = 2x, כמו בשרטוט. המחומש EFCDGEFCDG מוצלל. שטח המחומש הוא S(x)=288+36x−2x2S(x) = 288 + 36x - 2x^2, והוא מקסימלי כאשר x=9x = 9. ג. מהו השטח המקסימלי של המחומש (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 450

הפתרון:

S(9)=288+36⋅9−2⋅81=288+324−162=450\begin{aligned}S(9) &= 288 + 36 \cdot 9 - 2 \cdot 81 \\ &= 288 + 324 - 162 \\ &= 450\end{aligned}

מציבים x=9x = 9

S(0)=288S(12)=432\begin{aligned}S(0) &= 288 \\ \quad S(12) &= 432\end{aligned}

בדיקה בקצות התחום: קטן מ-450450

השטח המקסימלי 450450 סמ״ר. בדיקה: SBEF=81S_{BEF} = 81 ו-SAEG=15⋅62=45S_{AEG} = \frac{15 \cdot 6}{2} = 45, ו-576−81−45=450576 - 81 - 45 = 450 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — שאלה 2

תרגיל 14

ABCDKLMN
מלבן ABCD: AB = 24 ס״מ, BC = 16 ס״מ. BK = BL = DM = DN = x.

במלבן ABCDABCD אורכי הצלעות הם AB=24AB = 24 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. הנקודות KK, LL, MM, NN נמצאות על הצלעות ABAB, BCBC, CDCD, DADA בהתאמה, כך ש-BK=BL=DM=DN=xBK = BL = DM = DN = x, כמו בשרטוט. א. הביעו באמצעות xx את סכום השטחים של ארבעת המשולשים AKNAKN, KBLKBL, LCMLCM, MDNMDN.

S(x)=S(x) = ____ x2−x^2 - ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S(x)=S(x) = 2 x2−x^2 - 40 x+x + 384

הפתרון:

SKBL=SMDN=x22\begin{aligned}S_{KBL} &= S_{MDN} \\ &= \frac{x^2}{2}\end{aligned}

שני משולשים ישרי-זווית שניצביהם xx ו-xx

AK=CM=24−xAN=CL=16−x\begin{aligned}AK &= CM \\ &= 24 - x \\ \quad AN &= CL \\ &= 16 - x\end{aligned}

מה שנשאר מכל צלע

SAKN=SLCM=(24−x)(16−x)2\begin{aligned}S_{AKN} &= S_{LCM} \\ &= \frac{(24 - x)(16 - x)}{2}\end{aligned}

שני משולשים חופפים

S(x)=(24−x)(16−x)+x2=2x2−40x+384\begin{aligned}S(x) &= (24 - x)(16 - x) + x^2 \\ &= 2x^2 - 40x + 384\end{aligned}

פותחים סוגריים

S(x)=2x2−40x+384S(x) = 2x^2 - 40x + 384. המשולשים באים בזוגות חופפים, ולכן כל זוג תורם שטח של מלבן שלם: x2x^2 ו-(24−x)(16−x)(24 - x)(16 - x).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ABCDKLMN
מלבן ABCD: AB = 24 ס״מ, BC = 16 ס״מ. BK = BL = DM = DN = x.

במלבן ABCDABCD אורכי הצלעות הם AB=24AB = 24 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. הנקודות KK, LL, MM, NN נמצאות על הצלעות ABAB, BCBC, CDCD, DADA בהתאמה, כך ש-BK=BL=DM=DN=xBK = BL = DM = DN = x, כמו בשרטוט. סכום שטחי ארבעת המשולשים הוא 2x2−40x+3842x^2 - 40x + 384. ב. מה צריך להיות xx (בס״מ) כדי ששטח המרובע KLMNKLMN יהיה מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

SKLMN(x)=384−(2x2−40x+384)=40x−2x2\begin{aligned}S_{KLMN}(x) &= 384 - (2x^2 - 40x + 384) \\ &= 40x - 2x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x<160 < x < 16

התחום: BL=xBL = x קטן מ-BC=16BC = 16

S′(x)=40−4x=0 ⇒ x=10\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

S′(9)=4>0S′(11)=−4<0\begin{aligned}S'(9) &= 4 > 0 \\ \quad S'(11) &= -4 < 0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

x=10x = 10 ס״מ. שטח KLMNKLMN מקסימלי בדיוק כשסכום המשולשים מינימלי. המלכודת: לגזור את סכום המשולשים ולקרוא לתוצאה מקסימום — שם זו נקודת מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABCDKLMN
מלבן ABCD: AB = 24 ס״מ, BC = 16 ס״מ. BK = BL = DM = DN = x.

במלבן ABCDABCD אורכי הצלעות הם AB=24AB = 24 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. הנקודות KK, LL, MM, NN נמצאות על הצלעות ABAB, BCBC, CDCD, DADA בהתאמה, כך ש-BK=BL=DM=DN=xBK = BL = DM = DN = x, כמו בשרטוט. שטח המרובע KLMNKLMN מקסימלי כאשר x=10x = 10. ג. מהו השטח של המרובע KLMNKLMN במקרה זה (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

SKLMN(10)=40⋅10−2⋅100=200\begin{aligned}S_{KLMN}(10) &= 40 \cdot 10 - 2 \cdot 100 \\ &= 200\end{aligned}

מציבים בפונקציית השטח

384−(200−400+384)=384−184=200\begin{aligned}384 - (200 - 400 + 384) &= 384 - 184 \\ &= 200\end{aligned}

בדיקה: המלבן פחות המשולשים

השטח 200200 סמ״ר. בקצה x=16x = 16 השטח רק 128128 סמ״ר, ולכן 200200 הוא אכן המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — שאלה 3

תרגיל 17

ABCDEFGHI
מלבן ABCD: AB = 12 ס״מ, BC = 16 ס״מ. EB = x, HC = 2x. המלבנים הצבועים (מודגשים) הם AEIG ו-IHCF.

נתון מלבן ABCDABCD שאורכי צלעותיו AB=12AB = 12 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע EB=xEB = x, ועל הצלע BCBC קטע HC=2xHC = 2x. דרך EE מעבירים קטע EFEF המקביל ל-BCBC, ודרך HH קטע GHGH המקביל ל-ABAB, והם נחתכים בנקודה II. המלבנים AEIGAEIG ו-IHCFIHCF צבועים, כמו בשרטוט. א. הביעו באמצעות xx את סכום השטחים של שני המלבנים הצבועים.

S(x)=S(x) = ____ x2−x^2 - ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S(x)=S(x) = 4 x2−x^2 - 40 x+x + 192

הפתרון:

AE=12−xAG=16−2x\begin{aligned}AE &= 12 - x \\ \quad AG &= 16 - 2x\end{aligned}

צלעות המלבן AEIGAEIG

IF=HC=2xFC=EB=x\begin{aligned}IF &= HC \\ &= 2x \\ \quad FC &= EB \\ &= x\end{aligned}

צלעות המלבן IHCFIHCF

S(x)=(12−x)(16−2x)+x⋅2xS(x) = (12 - x)(16 - 2x) + x \cdot 2x

סכום השטחים

=192−40x+2x2+2x2=4x2−40x+192= 192 - 40x + 2x^2 + 2x^2 = 4x^2 - 40x + 192

פותחים סוגריים

S(x)=4x2−40x+192S(x) = 4x^2 - 40x + 192. המלכודת: לקחת את AG=2xAG = 2x — הקטע 2x2x נמדד מ-CC, ולכן הגובה של המלבן העליון הוא 16−2x16 - 2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABCDEFGHI
מלבן ABCD: AB = 12 ס״מ, BC = 16 ס״מ. EB = x, HC = 2x. המלבנים הצבועים (מודגשים) הם AEIG ו-IHCF.

נתון מלבן ABCDABCD שאורכי צלעותיו AB=12AB = 12 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע EB=xEB = x, ועל הצלע BCBC קטע HC=2xHC = 2x. דרך EE מעבירים קטע EFEF המקביל ל-BCBC, ודרך HH קטע GHGH המקביל ל-ABAB, והם נחתכים בנקודה II. המלבנים AEIGAEIG ו-IHCFIHCF צבועים, כמו בשרטוט. סכום שטחי המלבנים הצבועים הוא S(x)=4x2−40x+192S(x) = 4x^2 - 40x + 192. ב. מצאו את xx (בס״מ) שעבורו סכום השטחים מינימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

0<x<80 < x < 8

התחום: HC=2xHC = 2x קטן מ-BC=16BC = 16

S′(x)=8x−40=0 ⇒ x=5\begin{aligned}S'(x) &= 8x - 40 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

S′(4)=−8<0S′(6)=8>0\begin{aligned}S'(4) &= -8 < 0 \\ \quad S'(6) &= 8 > 0\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

x=5x = 5 ס״מ, בתוך התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABCDEFGHI
מלבן ABCD: AB = 12 ס״מ, BC = 16 ס״מ. EB = x, HC = 2x. המלבנים הצבועים (מודגשים) הם AEIG ו-IHCF.

נתון מלבן ABCDABCD שאורכי צלעותיו AB=12AB = 12 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע EB=xEB = x, ועל הצלע BCBC קטע HC=2xHC = 2x. דרך EE מעבירים קטע EFEF המקביל ל-BCBC, ודרך HH קטע GHGH המקביל ל-ABAB, והם נחתכים בנקודה II. המלבנים AEIGAEIG ו-IHCFIHCF צבועים, כמו בשרטוט. סכום שטחי המלבנים הצבועים הוא S(x)=4x2−40x+192S(x) = 4x^2 - 40x + 192, והוא מינימלי כאשר x=5x = 5. ג. מהו הסכום המינימלי (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 92

הפתרון:

S(5)=4⋅25−40⋅5+192=92\begin{aligned}S(5) &= 4 \cdot 25 - 40 \cdot 5 + 192 \\ &= 92\end{aligned}

מציבים x=5x = 5

7⋅6+5⋅10=42+50=92\begin{aligned}7 \cdot 6 + 5 \cdot 10 &= 42 + 50 \\ &= 92\end{aligned}

בדיקה: AEIGAEIG הוא 7×67 \times 6, ו-IHCFIHCF הוא 5×105 \times 10

הסכום המינימלי 9292 סמ״ר. בקצוות: S(0)=192S(0) = 192 ו-S(8)=128S(8) = 128, שניהם גדולים יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת