חמשת השלבים — בעיות מספרים · בעיות ערך קיצון · כיתה י׳

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $16$ . מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם? נסו כמה זוגות: $1 \cdot 15 = 15$ , $4 \cdot 12 = 48$ , $8 \cdot 8 = 64$ , $12 \cdot 4 = 48$ . המכפלה עולה, מגיעה לשיא ויורדת. כל זוג הוא נקודה על גרף, והשיא של הגרף הוא התשובה.

המכפלה P(x) = x(16 − x) כשסכום שני המספרים 16

על ציר ה-

x

המספר הראשון, ועל ציר ה-

y

המכפלה

P(x) = x(16 - x)

. בשיא הגרף המשיק אופקי, ושם

P'(x) = 0

לפי הגרף: באיזה $x$ המכפלה הגדולה ביותר? ומה קורה למכפלה כש- $x$ מתקרב ל- $0$ או ל- $16$ ?

להציג את התשובה והפתרון

השיא ב- $x = 8$ , והמכפלה $64$ . בשני הקצוות המכפלה מתקרבת ל- $0$ , כי אחד המספרים כמעט $0$ . המספרים חיוביים, ולכן $x = 0$ ו- $x = 16$ אינם מותרים. התחום פתוח: $0 < x < 16$ .

חמשת השלבים, תמיד באותו סדר

1

סימון המשתנה. בוחרים משתנה $x$ וכותבים במילים מה הוא: « $x$ — המספר הראשון».

2

הבעת הגודל כפונקציה. כותבים את הגודל שרוצים להגדיל או להקטין באמצעות $x$ בלבד. אם יש משתנה שני, מסלקים אותו בעזרת הנתון הקבוע: $y = 16 - x$ .

3

תחום ההגדרה של הבעיה. אילו ערכי $x$ אפשריים בסיפור? תחום פתוח כשהקצה אסור, תחום סגור כשגם הקצה אפשרי.

4

גזירה והשוואה לאפס. גוזרים, פותרים $f'(x) = 0$ , ומשאירים רק פתרונות בתוך התחום.

5

בדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה. טבלת סימנים של $f'$ (ובתחום סגור: השוואה לערכים בקצוות). אחר כך עונים על מה שנשאל: המספר, או הערך.

המכפלה הגדולה ביותר, בחמישה שלבים

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $16$ . מצאו את המכפלה הגדולה ביותר שלהם.

x \ ,\ \ 16 - x

שלב 1: $x$ המספר הראשון, ולכן השני $16 - x$

\begin{aligned}P(x) &= x(16 - x) \\ &= 16x - x^2\end{aligned}

שלב 2: המכפלה באמצעות $x$ בלבד

0 < x < 16

שלב 3: שני המספרים חיוביים

\begin{aligned}P'(x) &= 16 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

שלב 4: ו- $8$ בתוך התחום

\begin{aligned}P(8) &= 8 \cdot 8 \\ &= 64\end{aligned}

שלב 5: אחרי טבלת הסימנים שלמטה, המכפלה הגדולה ביותר היא $64$

מספר והחזקה השנייה שלו

מהו המספר $x$ שעבורו ההפרש $x - x^2$ הגדול ביותר? כאן יש מספר אחד בלבד, ולכן שלבים 1 ו-2 נכתבים בשורה אחת: $f(x) = x - x^2$ . אין הגבלה על $x$ , והתחום הוא כל $x$ .

גזרו, ומצאו את $x$ ואת ההפרש הגדול ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x) = 1 - 2x = 0$ , ולכן $x = \frac{1}{2}$ . משמאל הנגזרת חיובית ומימין שלילית: מקסימום. $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ .

\begin{aligned}(\sqrt{x})' &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad \left(\sqrt{f(x)}\right)' \\ &= \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\end{aligned}

גם שורש יכול להופיע בבעיה, למשל ההפרש $\sqrt{x} - x$ . גוזרים אותו לפי שני הכללים האלה.

תחום סגור: משווים גם לקצוות

לפעמים הבעיה מגבילה את המשתנה כולל הקצוות, למשל « $x$ בין $2$ ל- $7$ ». אז התחום סגור, $2 \le x \le 7$ , ושלב 5 משתנה: מחשבים את הגודל בנקודות החשודות שבתוך התחום וגם בשני הקצוות, ובוחרים את הגדול ביותר או את הקטן ביותר.

הערך הגדול והקטן ביותר בתחום סגור

ידוע ש- $x + y = 10$ ו- $2 \le x \le 7$ . מצאו את הערך הקטן ביותר ואת הערך הגדול ביותר של $x^2 + y^2$ .

\begin{aligned}f(x) &= x^2 + (10 - x)^2 \\ &= 2x^2 - 20x + 100\end{aligned}

שלבים 1 ו-2: $y = 10 - x$

2 \le x \le 7

שלב 3: תחום סגור

\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

שלב 4: $5$ בתוך התחום

\begin{aligned}f(5) &= 50 \\ \quad f(2) &= 68 \\ \quad f(7) &= 58\end{aligned}

שלב 5: הנקודה החשודה ושני הקצוות

\begin{aligned}\min &= 50 \ (x = 5) \qquad \max \\ &= 68 \ (x = 2)\end{aligned}

הערך הגדול ביותר נמצא בקצה, ושם הנגזרת אינה אפס

ואם התחום היה $2 \le x \le 4$ , היכן הערך הקטן ביותר של $x^2 + y^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x = 5$ נמצא מחוץ לתחום, ולכן הנקודה החשודה נפסלת. $f'(x) = 4x - 20 < 0$ בכל התחום, ולכן $f$ יורדת. הערך הקטן ביותר נמצא בקצה הימני: $f(4) = 16 + 36 = 52$ .

בדיקה מהירה אחרי כל תשובה: הציבו ערך אחר מהתחום, וודאו שהוא נותן פחות (או יותר). $P(7) = 63 < 64$ ✓. הבדיקה לא מחליפה את טבלת הסימנים, אבל היא תופסת טעויות חשבון.

שלוש הטעויות של בעיות הקיצון.

x = 8

\begin{aligned}P_{max} &= P(8) \\ &= 64\end{aligned}

נשאלתם על המכפלה. מי שעוצר ב- $x$ עונה על שאלה אחרת.

\begin{aligned}P'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 9 \notin (0, 9) \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

פתרון של $f'(x) = 0$ שאינו בתחום אינו פתרון של הבעיה. תמיד חוזרים לתחום.

\max = f(5)

\begin{aligned}\max &= f(2) \\ &= 68\end{aligned}

בתחום סגור בודקים גם את הקצוות. הנגזרת לא «רואה» אותם.

תרגילים

תרגיל 1

סדרו את חמשת השלבים של פתרון בעיית קיצון.

בדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה
גזירה והשוואה לאפס
הבעת הגודל כפונקציה
סימון המשתנה
תחום ההגדרה של הבעיה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סימון המשתנה · הבעת הגודל כפונקציה · תחום ההגדרה של הבעיה · גזירה והשוואה לאפס · בדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה

הפתרון:

1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5

התחום נקבע לפני הגזירה

התחום בא לפני הגזירה, כי הוא מחליט אילו פתרונות של $f'(x) = 0$ נשארים. מי שקובע אותו בסוף נוטה «להתאים» אותו לתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $30$ . $x$ הוא המספר הראשון. מהי הפונקציה שמבטאת את המכפלה שלהם?

$P(x) = 30x$
$P(x) = x(x - 30)$
$P(x) = x + (30 - x)$
$P(x) = x(30 - x)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $P(x) = x(30 - x)$

הפתרון:

y = 30 - x

המספר השני, מתוך הסכום

\begin{aligned}P(x) &= x \cdot y \\ &= x(30 - x)\end{aligned}

מכפלה

הנכונה: $P(x) = x(30 - x)$ . $x(x - 30)$ נותן מכפלה שלילית לכל $0 < x < 30$ . $x + (30 - x) = 30$ הוא הסכום, לא המכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $30$ . מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 225

הפתרון:

\begin{aligned}P(x) &= x(30 - x) \\ &= 30x - x^2 \\ \quad 0 < x < 30\end{aligned}

שלבים 1 עד 3

\begin{aligned}P'(x) &= 30 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 15\end{aligned}

שלב 4

\begin{aligned}P'(10) &= 10 > 0 \\ \quad P'(20) &= -10 < 0\end{aligned}

שלב 5: מקסימום

\begin{aligned}P(15) &= 15 \cdot 15 \\ &= 225\end{aligned}

התשובה לשאלה

התשובה היא המכפלה $225$ , לא $x = 15$ . המכפלה הגדולה ביותר מתקבלת כששני המספרים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 10$ . מהו הערך הקטן ביותר של $x^2 + y^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= x^2 + (10 - x)^2 \\ &= 2x^2 - 20x + 100 \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

מסלקים את $y$

\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

נקודה חשודה

f'(1) < 0 ,\quad f'(6) > 0

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}f(5) &= 25 + 25 \\ &= 50\end{aligned}

הערך הקטן ביותר

כאן מחפשים מינימום, והנגזרת עוברת מ- $-$ ל- $+$ . מי שכותב $(10 - x)^2 = 100 - x^2$ שכח את האיבר האמצעי $-20x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הערך הגדול ביותר של ההפרש בין מספר $x$ לבין פעמיים $x^2$ , כלומר של $x - 2x^2$ ? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

f(x) = x - 2x^2

שלבים 1 ו-2. אין הגבלה על $x$

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שלב 4

\begin{aligned}f'(0) &= 1 > 0 \\ \quad f'(1) &= -3 < 0\end{aligned}

שלב 5: מקסימום

\begin{aligned}f\left(\tfrac{1}{4}\right) &= \tfrac{1}{4} - 2 \cdot \tfrac{1}{16} \\ &= \tfrac{1}{8} \\ &= 0.125\end{aligned}

הערך

נשאלתם על ההפרש, ולכן התשובה $0.125$ ולא $x = 0.25$ . ו- $2x^2$ ב- $x = \frac{1}{4}$ הוא $\frac{2}{16}$ , לא $\frac{1}{4}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: בתחום סגור, הערך הגדול ביותר של הגודל מתקבל תמיד בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= x^2 + (10 - x)^2 \\ \quad 2 \le x \le 7\end{aligned}

דוגמה נגדית

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \quad f(5) &= 50\end{aligned}

בנקודה החשודה: מינימום

f(2) = 68 > 50

הערך הגדול ביותר נמצא בקצה

הטענה לא נכונה. בתחום סגור הערך הגדול ביותר יכול להיות בקצה, ושם הנגזרת אינה אפס. לכן משווים תמיד לקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ידוע ש- $x + y = 10$ ו- $1 \le x \le 6$ . מהו הערך הגדול ביותר של $x^2 + y^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 82

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= 2x^2 - 20x + 100 \\ \quad 1 \le x \le 6\end{aligned}

מסלקים את $y$ . התחום סגור

\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

בתוך התחום

\begin{aligned}f(5) &= 50 \\ \quad f(1) &= 1 + 81 \\ &= 82 \\ \quad f(6) &= 36 + 16 \\ &= 52\end{aligned}

הנקודה החשודה ושני הקצוות

\max = 82 \ (x = 1)

הגדול מבין השלושה

הנקודה החשודה $x = 5$ היא מינימום, לא מקסימום. הערך הגדול ביותר נמצא בקצה $x = 1$ , ורק ההשוואה לקצוות מגלה אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מספר אחד גדול ממספר שני ב- $8$ . מהי המכפלה הקטנה ביותר של שני המספרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -16

הפתרון:

x \ ,\ \ x - 8

סימון: $x$ המספר הגדול

\begin{aligned}P(x) &= x(x - 8) \\ &= x^2 - 8x\end{aligned}

אין הגבלה על $x$ : המספרים לא חייבים להיות חיוביים

\begin{aligned}P'(x) &= 2x - 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

נקודה חשודה; מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}P(4) &= 4 \cdot (-4) \\ &= -16\end{aligned}

המספרים $4$ ו- $-4$

המכפלה הקטנה ביותר שלילית: $4 \cdot (-4) = -16$ . מי שמניח שהמספרים חיוביים מחפש תחום שלא ניתן בשאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 9$ . מחפשים את הערך הגדול ביותר של $x \cdot y^2$ . שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

P(x) = x(9 - x)^2

0 < x < 9

P'(x) = (9 - x)(9 - 3x)

\begin{aligned}x &= 9 \ \Rightarrow \ P(9) \\ &= 0\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x = 9 \ \Rightarrow \ P(9) = 0$ → $x = 3 \ \Rightarrow \ P(3) = 3 \cdot 36 = 108$

הפתרון:

\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

שני פתרונות

9 \notin (0, 9)

התחום פוסל את $x = 9$

\begin{aligned}P(3) &= 3 \cdot 6^2 \\ &= 108\end{aligned}

מקסימום: הנגזרת עוברת מ- $+$ ל- $-$

ב- $x = 9$ המספר $y$ הוא $0$ , והמכפלה $0$ : זו הקטנה ביותר, לא הגדולה. פתרון של $P'(x) = 0$ שנמצא מחוץ לתחום נפסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו הערך הגדול ביותר של ההפרש $\sqrt{x} - x$ ? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{x} - x \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

תחום: שורש מוגדר רק ל- $x \ge 0$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

גזירה והשוואה לאפס

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{1}{9}\right) &= \tfrac{3}{2} - 1 > 0 \\ \quad f'(1) &= -\tfrac{1}{2} < 0\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}f\left(\tfrac{1}{4}\right) &= \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

הערך

בין $0$ ל- $1$ השורש גדול מהמספר עצמו: $\sqrt{0.25} = 0.5 > 0.25$ . לכן ההפרש חיובי שם, והשיא שלו $0.25$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חמשת השלבים, תמיד באותו סדר

מספר והחזקה השנייה שלו

תחום סגור: משווים גם לקצוות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev