סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות מאתגרות: מקבילית בתוך מלבן, מרחק מתחת לשורש, מלבן מתחת לגרף שורש, ושלוש שאלות שבהן התחום סגור והתשובה בקצה.

כשהנקודה החשודה יוצאת מחוץ לתחום, אל תמחקו את השאלה: בדקו את הסימן של הנגזרת בכל התחום, והתשובה בקצה.

תרגילים

תרגיל 1

ABCDPETQ
AB = 20, BC = 12. AQ = CE = x, AP = CT = 2x.

במלבן ABCDABCD, AB=20AB = 20 ו-BC=12BC = 12. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AQ=CE=xAQ = CE = x ו-AP=CT=2xAP = CT = 2x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 121

הפתרון:

S(x)=240−2x2−(20−2x)(12−x)=44x−4x2\begin{aligned}S(x) &= 240 - 2x^2 - (20 - 2x)(12 - x) \\ &= 44x - 4x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x≤100 < x \le 10

תחום: 2x≤202x \le 20

S′(x)=44−8x=0 ⇒ x=5.5\begin{aligned}S'(x) &= 44 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5.5\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(5.5)=242−121=121\begin{aligned}S(5.5) &= 242 - 121 \\ &= 121\end{aligned}

השטח; S(10)=40S(10) = 40

x=5.5x = 5.5 אינו שלם, וזה בסדר: אורך יכול להיות כל מספר חיובי. השטח 121121 הוא יותר מחצי משטח המלבן (240240).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המרחק מ-A(9, 0) לנקודה P על y = √(4x)
AP0123456789101112-101234567xy
P היא נקודה כללית על הגרף.

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה A(9, 0)A(9,\,0) לבין הגרף y=4xy = \sqrt{4x}, כמו בשרטוט? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.66

הפתרון:

d(x)=(x−9)2+4x=x2−14x+81\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 9)^2 + 4x} \\ &= \sqrt{x^2 - 14x + 81}\end{aligned}

נוסחת המרחק

d′(x)=2x−142x2−14x+81d'(x) = \frac{2x - 14}{2\sqrt{x^2 - 14x + 81}}

נגזרת של שורש

d′(x)=0 ⇒ x=7\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

d(7)=49−98+81=32=42≈5.66\begin{aligned}d(7) &= \sqrt{49 - 98 + 81} \\ &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

המרחק

התשובה המדויקת 424\sqrt{2}. מי שעונה 32\sqrt{32} בלי לחשב, או מעגל ל-5.65.6, מאבד את הספרה השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מלבן ברביע הראשון, P על הגרף y = √(27 − x)
P03691215182124270123456xy
צלע אחת על כל ציר, והקודקוד P על הגרף.

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעות שלו על הצירים, והקודקוד PP על הגרף y=27−xy = \sqrt{27 - x}, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

S(x)=x27−x0<x<27\begin{aligned}S(x) &= x\sqrt{27 - x} \\ \quad 0 < x < 27\end{aligned}

רוחב xx, גובה 27−x\sqrt{27 - x}

S′(x)=27−x−x227−x=54−3x227−x\begin{aligned}S'(x) &= \sqrt{27 - x} - \frac{x}{2\sqrt{27 - x}} \\ &= \frac{54 - 3x}{2\sqrt{27 - x}}\end{aligned}

כלל המכפלה

S′(x)=0 ⇒ x=18\begin{aligned}S'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 18\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(18)=18⋅3=54\begin{aligned}S(18) &= 18 \cdot 3 \\ &= 54\end{aligned}

השטח

מכנה משותף הופך את הנגזרת לשבר אחד, והסימן נקבע לפי המונה 54−3x54 - 3x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במלון באילת 6060 חדרים. במחיר 400400 שקלים ללילה כל החדרים מלאים, וכל העלאה של 2020 שקלים משאירה חדר אחד ריק. ההנהלה מחליטה לא להעלות את המחיר יותר מ-1515 פעמים. מהי ההכנסה הגדולה ביותר ללילה, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31500

הפתרון:

R(x)=(400+20x)(60−x)0≤x≤15\begin{aligned}R(x) &= (400 + 20x)(60 - x) \\ \quad 0 \le x \le 15\end{aligned}

התחום סגור

R′(x)=800−40x=0 ⇒ x=20∉[0,15]\begin{aligned}R'(x) &= 800 - 40x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20 \notin [0, 15]\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

R′(x)>0 בכל 0≤x≤15R'(x) > 0 \ \text{בכל} \ 0 \le x \le 15

ההכנסה עולה

R(15)=700⋅45=31500\begin{aligned}R(15) &= 700 \cdot 45 \\ &= 31500\end{aligned}

בקצה

מי שעונה 3200032000 השתמש ב-2020 העלאות, שאסורות כאן. ההכנסה עולה בכל התחום, ולכן היא הגדולה ביותר בקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

xx ו-yy מספרים חיוביים, ו-x+y=18x + y = 18. מהו הערך הגדול ביותר של x⋅y2x \cdot y^2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 864

הפתרון:

P(x)=x(18−x)20<x<18\begin{aligned}P(x) &= x(18 - x)^2 \\ \quad 0 < x < 18\end{aligned}

מסלקים את yy

P′(x)=(18−x)2−2x(18−x)=(18−x)(18−3x)\begin{aligned}P'(x) &= (18 - x)^2 - 2x(18 - x) \\ &= (18 - x)(18 - 3x)\end{aligned}

כלל המכפלה

x=6(x=18∉(0,18))x = 6 \quad (x = 18 \notin (0, 18))

מ-++ ל-−-: מקסימום

P(6)=6⋅122=864\begin{aligned}P(6) &= 6 \cdot 12^2 \\ &= 864\end{aligned}

המספרים 66 ו-1212

המספרים במקסימום אינם שווים: y=2xy = 2x. ו-x=18x = 18 נותן y=0y = 0 ומכפלה 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

גיליון 30 על 14, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx030014

מגיליון קרטון שממדיו 3030 ס״מ על 1414 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו תחום ההגדרה של הבעיה?

  1. 0<x<140 < x < 14
  2. 0<x<300 < x < 30
  3. 0<x<150 < x < 15
  4. 0<x<70 < x < 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 0<x<70 < x < 7

הפתרון:

30−2x>0 ⇒ x<1530 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 15

הצלע הארוכה

14−2x>0 ⇒ x<714 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 7

הצלע הקצרה

0<x<70 < x < 7

שני התנאים יחד

הנכונה: 0<x<70 < x < 7. שתי צלעות הבסיס חייבות להיות חיוביות, ולכן הצלע הקצרה קובעת. 0<x<150 < x < 15 בודק רק את הארוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גיליון 30 על 14, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx030014

מגיליון קרטון שממדיו 3030 ס״מ על 1414 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ״ק)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 576

הפתרון:

V(x)=x(30−2x)(14−2x)=4x3−88x2+420x0<x<7\begin{aligned}V(x) &= x(30 - 2x)(14 - 2x) \\ &= 4x^3 - 88x^2 + 420x \\ \quad 0 < x < 7\end{aligned}

הנפח והתחום

V′(x)=12x2−176x+420=4(3x−35)(x−3)\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 176x + 420 \\ &= 4(3x - 35)(x - 3)\end{aligned}

גזירה ופירוק

x=3(x=353∉(0,7))x = 3 \quad \left(x = \tfrac{35}{3} \notin (0, 7)\right)

מ-++ ל-−-: מקסימום

V(3)=3⋅24⋅8=576\begin{aligned}V(3) &= 3 \cdot 24 \cdot 8 \\ &= 576\end{aligned}

הנפח

המשוואה נותנת שני פתרונות, והתחום פוסל את 353\frac{35}{3}. הבסיס הוא 24×824 \times 8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

f(x) = 6√x ו-g(x) = x
ABfg0481216202428323604812162024283236xy
A על f ו-B על g, באותו x. הגרפים נחתכים ב-x = 0 וב-x = 36.

נתונות f(x)=6xf(x) = 6\sqrt{x} ו-g(x)=xg(x) = x. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, בתחום 0≤x≤360 \le x \le 36, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של ABAB?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

L(x)=6x−x0≤x≤36\begin{aligned}L(x) &= 6\sqrt{x} - x \\ \quad 0 \le x \le 36\end{aligned}

f(9)=18>g(9)=9f(9) = 18 > g(9) = 9: ff העליון

L′(x)=3x−1L'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - 1

נגזרת של שורש

L′(x)=0 ⇒ x=3 ⇒ x=9\begin{aligned}L'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

בתוך התחום

L(9)=18−9=9L(0)=L(36)=0\begin{aligned}L(9) &= 18 - 9 \\ &= 9 \\ \quad L(0) &= L(36) \\ &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

הנגזרת של 6x6\sqrt{x} היא 62x=3x\frac{6}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}. מי שכותב 6x\frac{6}{\sqrt{x}} מקבל x=36x = 36, ושם האורך 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ואורכו 20 מ׳. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט, עם 6060 מ׳ גדר. אורך הקיר ADAD הוא 2020 מ׳ בלבד, ולכן BC≤20BC \le 20. הוכיחו או הפריכו: השטח הגדול ביותר מתקבל כש-AB=15AB = 15 מ׳.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

BC=60−2x≤20 ⇒ x≥20BC = 60 - 2x \le 20 \ \Rightarrow \ x \ge 20

הקיר מגביל

S′(x)=60−4x=0 ⇒ x=15∉[20,30)\begin{aligned}S'(x) &= 60 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 15 \notin [20, 30)\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

S′(x)=60−4x<0 ל-x≥20S'(x) = 60 - 4x < 0 \ \text{ל-} x \ge 20

השטח יורד בכל התחום

S(20)=20⋅20=400\begin{aligned}S(20) &= 20 \cdot 20 \\ &= 400\end{aligned}

המקסימום בקצה x=20x = 20

הטענה לא נכונה. ב-AB=15AB = 15 הצלע BC=30BC = 30, ארוכה מהקיר. השטח הגדול ביותר מתקבל ב-AB=20AB = 20, והוא 400400 מ״ר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חברה משקיעה בפרסום xx אלפי שקלים, והפרסום מביא הכנסה נוספת של 20x20\sqrt{x} אלפי שקלים. לכל אלף שקלים של השקעה יש עוד הוצאה של אלף שקלים על עיצוב, ולכן ההוצאה הכוללת היא 2x2x אלפי שקלים. מהו הרווח הנקי הגדול ביותר, באלפי שקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

R(x)=20x−2xx≥0\begin{aligned}R(x) &= 20\sqrt{x} - 2x \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

ההכנסה פחות ההוצאה

R′(x)=10x−2R'(x) = \frac{10}{\sqrt{x}} - 2

נגזרת של שורש

R′(x)=0 ⇒ x=5 ⇒ x=25\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 25\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

R(25)=100−50=50\begin{aligned}R(25) &= 100 - 50 \\ &= 50\end{aligned}

הרווח

ההשקעה היא 2525 אלף, והרווח 5050 אלף. מציבים ב-RR, לא ב-20x20\sqrt{x} לבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת