סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות מתקדמות: מרחק שבו יש שלוש נקודות חשודות, משולש מתחת לפרבולה, מחיר שהביקוש תלוי בו, משולש שווה שוקיים עם שורש, ותחום סגור.

כשיש כמה נקודות חשודות, חשבו את הערך בכל אחת, ובתחום סגור גם בקצוות. התשובה היא הגדול או הקטן מביניהם.

תרגילים

תרגיל 1

המרחק מ-A(0, 4.25) לנקודה P על y = x²

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה A(0, 4.25)A(0,\,4.25) לבין הגרף y=x2y = x^2, כמו בשרטוט?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

d(x)=x2+(x2−4.25)2=x4−7.5x2+18.0625\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{x^2 + (x^2 - 4.25)^2} \\ &= \sqrt{x^4 - 7.5x^2 + 18.0625}\end{aligned}

נקודה על הגרף: (x, x2)(x,\,x^2)

d′(x)=4x3−15x2x4−7.5x2+18.0625d'(x) = \frac{4x^3 - 15x}{2\sqrt{x^4 - 7.5x^2 + 18.0625}}

נגזרת של שורש

x(4x2−15)=0 ⇒ x=0 x2=3.75\begin{aligned}x(4x^2 - 15) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x^2 &= 3.75\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות

d(0)=4.25d=3.75+0.25=2 ב-x2=3.75\begin{aligned}d(0) &= 4.25 \\ \quad d &= \sqrt{3.75 + 0.25} \\ &= 2 \ \text{ב-} x^2 \\ &= 3.75\end{aligned}

משווים

ב-x=0x = 0 המרחק 4.254.25: שם יש מקסימום מקומי, לא מינימום. המרחק הקטן ביותר 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCDEFGH
AD הוא הקיר. AB = EF = GH = CD = x, ושתי הגדרות EF ו-GH מחלקות את החלקה לשלוש חלקות.

גודרים חלקה צמודה לקיר, ומחלקים אותה בשתי גדרות לשלוש חלקות, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים. לרשותנו 160160 מ׳ גדר. מהו השטח הכולל הגדול ביותר (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1600

הפתרון:

4x+BC=160 ⇒ BC=160−4x\begin{aligned}4x + BC &= 160 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 160 - 4x\end{aligned}

ארבע גדרות ניצבות לקיר

S(x)=x(160−4x)0<x<40\begin{aligned}S(x) &= x(160 - 4x) \\ \quad 0 < x < 40\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=160−8x=0 ⇒ x=20\begin{aligned}S'(x) &= 160 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

מקסימום

S(20)=20⋅80=1600\begin{aligned}S(20) &= 20 \cdot 80 \\ &= 1600\end{aligned}

השטח

שתי צלעות קצה ועוד שתי גדרות מחלקות: ארבע פעמים xx. מי שסופר שלוש מקבל BC=160−3xBC = 160 - 3x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המשולש OAP, והנקודה P על y = 9 − x²

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=9−x2y = 9 - x^2 ברביע הראשון. AA היא ההיטל של PP על ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש OAPOAP? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.2

הפתרון:

S(x)=12x(9−x2)=4.5x−0.5x30<x<3\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2} x(9 - x^2) \\ &= 4.5x - 0.5x^3 \\ \quad 0 < x < 3\end{aligned}

משולש ישר זווית: ניצבים xx ו-9−x29 - x^2

S′(x)=4.5−1.5x2=0 ⇒ x=3\begin{aligned}S'(x) &= 4.5 - 1.5x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(3)=123⋅6=33≈5.20\begin{aligned}S(\sqrt{3}) &= \tfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot 6 \\ &= 3\sqrt{3} \approx 5.20\end{aligned}

השטח

במשולש ישר זווית השטח הוא חצי מכפלת הניצבים. מי ששוכח את החצי מקבל 10.3910.39.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חנות מוכרת מוצר במחיר pp שקלים, וכמות המכירות היא 300−5p300 - 5p יחידות בשבוע. כל יחידה עולה לחנות 2020 שקלים. א. באיזה מחיר הרווח השבועי הגדול ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

P(p)=(p−20)(300−5p)20≤p≤60\begin{aligned}P(p) &= (p - 20)(300 - 5p) \\ \quad 20 \le p \le 60\end{aligned}

רווח ליחידה כפול כמות. הכמות אי-שלילית

P′(p)=(300−5p)−5(p−20)=400−10p\begin{aligned}P'(p) &= (300 - 5p) - 5(p - 20) \\ &= 400 - 10p\end{aligned}

כלל המכפלה

P′(p)=0 ⇒ p=40\begin{aligned}P'(p) &= 0 \ \Rightarrow \ p \\ &= 40\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

כאן המשתנה הוא המחיר עצמו, לא ההורדה. התחום: לא מוכרים מתחת לעלות, והכמות לא שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חנות מוכרת מוצר במחיר pp שקלים, וכמות המכירות היא 300−5p300 - 5p יחידות בשבוע. כל יחידה עולה לחנות 2020 שקלים. ב. מהו הרווח השבועי הגדול ביותר, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2000

הפתרון:

p=40p = 40

מסעיף א

P(40)=20⋅100=2000\begin{aligned}P(40) &= 20 \cdot 100 \\ &= 2000\end{aligned}

רווח ליחידה 2020, ו-100100 יחידות

ההכנסה היא 40⋅100=400040 \cdot 100 = 4000. הרווח קטן ממנה, כי מחסרים את העלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

BCAD
AB = AC = 10, BD = DC = x, ו-AD הגובה לבסיס.

במשולש שווה שוקיים ABCABC השוקיים AB=AC=10AB = AC = 10, והבסיס BC=2xBC = 2x, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

AD=100−x2AD = \sqrt{100 - x^2}

הגובה לבסיס חוצה אותו; משפט פיתגורס במשולש ADCADC

S(x)=12⋅2x⋅100−x2=x100−x20<x<10\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot \sqrt{100 - x^2} \\ &= x\sqrt{100 - x^2} \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=100−2x2100−x2=0 ⇒ x=52\begin{aligned}S'(x) &= \frac{100 - 2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S=52⋅50=50\begin{aligned}S &= 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{50} \\ &= 50\end{aligned}

השטח

במקסימום הזווית AA ישרה: BC=102BC = 10\sqrt{2}, בדיוק לפי משפט פיתגורס. הבסיס הוא 2x2x, לא xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ידוע ש-x+y=6x + y = 6 ו-1≤x≤51 \le x \le 5. מהו הערך הגדול ביותר של x3+y3x^3 + y^3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 126

הפתרון:

f(x)=x3+(6−x)3=18x2−108x+216\begin{aligned}f(x) &= x^3 + (6 - x)^3 \\ &= 18x^2 - 108x + 216\end{aligned}

מסלקים את yy ופותחים

f′(x)=36x−108=0 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= 36x - 108 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתוך התחום

f(3)=54f(1)=1+125=126f(5)=125+1=126\begin{aligned}f(3) &= 54 \\ \quad f(1) &= 1 + 125 \\ &= 126 \\ \quad f(5) &= 125 + 1 \\ &= 126\end{aligned}

הנקודה החשודה והקצוות

max⁡=126\max = 126

בשני הקצוות

הנקודה החשודה x=3x = 3 היא מינימום. הערך הגדול ביותר בקצוות. מי שעונה 5454 לא השווה לקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=xy = \sqrt{x}. מהו המרחק d(x)d(x) בין PP לבין הנקודה A(3, 0)A(3,\,0)?

  1. x2−6x+9\sqrt{x^2 - 6x + 9}
  2. x2−5x+9\sqrt{x^2 - 5x + 9}
  3. x−3+xx - 3 + \sqrt{x}
  4. x2+x+9\sqrt{x^2 + x + 9}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x2−5x+9\sqrt{x^2 - 5x + 9}

הפתרון:

P=(x, x)P = \left(x,\,\sqrt{x}\right)

נקודה על הגרף

d2=(x−3)2+(x)2=x2−6x+9+x\begin{aligned}d^2 &= (x - 3)^2 + \left(\sqrt{x}\right)^2 \\ &= x^2 - 6x + 9 + x\end{aligned}

נוסחת המרחק

d(x)=x2−5x+9d(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 9}

מכנסים

הנכונה: x2−5x+9\sqrt{x^2 - 5x + 9}. x2−6x+9\sqrt{x^2 - 6x + 9} שוכח את (x)2=x(\sqrt{x})^2 = x. ו-x−3+xx - 3 + \sqrt{x} מחבר הפרשים במקום נוסחת המרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: אם d(x)=g(x)d(x) = \sqrt{g(x)} ו-g(x)>0g(x) > 0, אז dd ו-gg מקבלות מינימום באותו xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

d′(x)=g′(x)2g(x)d'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}

נגזרת של שורש

2g(x)>02\sqrt{g(x)} > 0

המכנה חיובי

סימן(d′)=סימן(g′)\text{סימן}(d') = \text{סימן}(g')

לנגזרות אותו סימן בכל xx

הטענה נכונה. הנגזרות מתאפסות באותן נקודות ומחליפות סימן באותו אופן. אבל הערך שונה: dmin=gmind_{min} = \sqrt{g_{min}}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גיליון 36 על 36, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx036036

מגיליון 36×3636 \times 36 בונים תיבה פתוחה, כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

V(x)=x(36−2x)2V(x) = x(36 - 2x)^2
0<x<360 < x < 36
V′(x)=(36−2x)(36−6x)V'(x) = (36 - 2x)(36 - 6x)
x=6V(6)=6⋅242=3456\begin{aligned}x &= 6 \\ \quad V(6) &= 6 \cdot 24^2 \\ &= 3456\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0<x<360 < x < 36 → 0<x<180 < x < 18

הפתרון:

36−2x>0 ⇒ x<1836 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 18

צלע הבסיס חיובית

x=18∉(0,18)x = 18 \notin (0, 18)

ולכן נשאר רק x=6x = 6

התחום נקבע לפי צלע הבסיס 36−2x36 - 2x, לא לפי אורך הגיליון. עם 0<x<360 < x < 36 גם x=18x = 18 נראה «חוקי».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת