סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלות בנוסח הבגרות. כל שאלה מחולקת לסעיפים א, ב, ג, וכל סעיף הוא תרגיל. הסעיפים של אותה שאלה מתחילים באותו נתון.

כתבו כמו בבחינה: סימון המשתנה במילים, הפונקציה, התחום, הנגזרת, טבלת סימנים, ותשובה עם יחידות.

תרגילים

תרגיל 1

חנות בגדים בבאר שבע מוכרת 150150 חולצות בחודש, במחיר 8080 שקלים לחולצה. כל חולצה עולה לחנות 4040 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 55 חולצות למכירות. xx היא ההורדה בשקלים. א. מהי הפונקציה של הרווח החודשי?

  1. P(x)=(40−5x)(150+x)P(x) = (40 - 5x)(150 + x)
  2. P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x)
  3. P(x)=(40−x)(150+x)P(x) = (40 - x)(150 + x)
  4. P(x)=(80−x)(150+5x)P(x) = (80 - x)(150 + 5x)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x)

הפתרון:

80−x−40=40−x80 - x - 40 = 40 - x

הרווח לחולצה

150+5x150 + 5x

מספר החולצות

P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x)

הרווח

הנכונה: P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x). (80−x)(150+5x)(80 - x)(150 + 5x) היא ההכנסה. ב-(40−5x)(150+x)(40 - 5x)(150 + x) החליפו בין ההורדה לתוספת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חנות בגדים מוכרת 150150 חולצות בחודש, במחיר 8080 שקלים לחולצה. כל חולצה עולה לחנות 4040 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 55 חולצות. ב. באיזה מחיר לחולצה הרווח החודשי הגדול ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

P(x)=(40−x)(150+5x)0≤x≤40\begin{aligned}P(x) &= (40 - x)(150 + 5x) \\ \quad 0 \le x \le 40\end{aligned}

מסעיף א, עם התחום

P′(x)=−(150+5x)+5(40−x)=50−10x\begin{aligned}P'(x) &= -(150 + 5x) + 5(40 - x) \\ &= 50 - 10x\end{aligned}

כלל המכפלה

P′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

80−5=7580 - 5 = 75

המחיר

התשובה היא המחיר 7575, לא ההורדה 55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חנות בגדים מוכרת 150150 חולצות בחודש, במחיר 8080 שקלים לחולצה. כל חולצה עולה לחנות 4040 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 55 חולצות. ג. מהו הרווח החודשי הגדול ביותר, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6125

הפתרון:

x=5x = 5

מסעיף ב

P(5)=35⋅175=6125\begin{aligned}P(5) &= 35 \cdot 175 \\ &= 6125\end{aligned}

רווח לחולצה 3535, ו-175175 חולצות

P(0)=6000P(40)=0\begin{aligned}P(0) &= 6000 \\ \quad P(40) &= 0\end{aligned}

בקצוות: פחות

ההורדה מוסיפה 125125 שקלים לחודש לעומת P(0)=6000P(0) = 6000. 75⋅175=1312575 \cdot 175 = 13125 היא ההכנסה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDPETQ
AB = 14, BC = 10. AP = CT = x, AQ = CE = x.

במלבן ABCDABCD, AB=14AB = 14 ו-BC=10BC = 10. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AP=AQ=CT=CE=xAP = AQ = CT = CE = x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. א. מצאו את xx שעבורו שטח המקבילית הגדול ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

S(x)=140−x2−(14−x)(10−x)=24x−2x2\begin{aligned}S(x) &= 140 - x^2 - (14 - x)(10 - x) \\ &= 24x - 2x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x≤100 < x \le 10

תחום: QQ על ADAD, ולכן x≤10x \le 10

S′(x)=24−4x=0 ⇒ x=6\begin{aligned}S'(x) &= 24 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

בפינות AA ו-CC המשולשים שווי שוקיים, ושטח כל אחד x22\frac{x^2}{2}. יחד: x2x^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDPETQ
AB = 14, BC = 10. AP = CT = x, AQ = CE = x.

במלבן ABCDABCD, AB=14AB = 14 ו-BC=10BC = 10. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AP=AQ=CT=CE=xAP = AQ = CT = CE = x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. ב. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

x=6x = 6

מסעיף א

S(6)=144−72=72\begin{aligned}S(6) &= 144 - 72 \\ &= 72\end{aligned}

מציבים

S(10)=240−200=40<72\begin{aligned}S(10) &= 240 - 200 \\ &= 40 < 72\end{aligned}

הקצה

מציבים ב-SS. בדיקה: המשולשים בפינות A,CA, C שטחם 1818 כל אחד, ובפינות B,DB, D שטחם 1616. 140−36−32=72140 - 36 - 32 = 72 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDPETQ
AB = 14, BC = 10. AP = CT = x, AQ = CE = x.

במלבן ABCDABCD, AB=14AB = 14 ו-BC=10BC = 10. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AP=AQ=CT=CE=xAP = AQ = CT = CE = x, כמו בשרטוט. ג. הוכיחו או הפריכו: השטח הגדול ביותר של המקבילית PETQPETQ גדול מחצי משטח המלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

Smax=72S_{max} = 72

מסעיף ב

12⋅140=70\tfrac{1}{2} \cdot 140 = 70

חצי משטח המלבן

72>7072 > 70

השוואה

הטענה נכונה, אבל בקושי: 7272 לעומת 7070. מי שמשווה לכל המלבן (140140) או שוכח את החצי, עונה על שאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=2x+5y = \sqrt{2x + 5}, ו-AA היא הנקודה (6, 0)(6,\,0). d(x)d(x) הוא המרחק APAP. א. מהי הנגזרת d′(x)d'(x)?

  1. x−6x2−12x+36\frac{x - 6}{\sqrt{x^2 - 12x + 36}}
  2. 2x−10x2−10x+41\frac{2x - 10}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}
  3. x−5x2−10x+41\frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}
  4. 12x2−10x+41\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 10x + 41}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x−5x2−10x+41\frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}

הפתרון:

d(x)=(x−6)2+2x+5=x2−10x+41\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 6)^2 + 2x + 5} \\ &= \sqrt{x^2 - 10x + 41}\end{aligned}

נוסחת המרחק

d′(x)=2x−102x2−10x+41=x−5x2−10x+41\begin{aligned}d'(x) &= \frac{2x - 10}{2\sqrt{x^2 - 10x + 41}} \\ &= \frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}\end{aligned}

נגזרת של שורש, ומצמצמים ב-22

הנכונה: x−5x2−10x+41\frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}. 2x−10…\frac{2x - 10}{\sqrt{\ldots}} שוכח את ה-22 במכנה. 12…\frac{1}{2\sqrt{\ldots}} שוכח את הנגזרת הפנימית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המרחק מ-A(6, 0) לנקודה P על y = √(2x + 5)
AP-3-2-1012345678910-112345xy
P היא נקודה כללית על הגרף. הגרף מתחיל ב-x = −2.5.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=2x+5y = \sqrt{2x + 5}, ו-AA היא הנקודה (6, 0)(6,\,0), כמו בשרטוט. ב. מצאו את שיעור ה-xx של הנקודה PP הקרובה ביותר ל-AA.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x≥−2.5x \ge -2.5

תחום: 2x+5≥02x + 5 \ge 0

d′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

בתוך התחום

d′(4)<0,d′(6)>0d'(4) < 0 ,\quad d'(6) > 0

מ-−- ל-++: מינימום

המכנה x2−10x+41\sqrt{x^2 - 10x + 41} חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע לפי x−5x - 5 בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המרחק מ-A(6, 0) לנקודה P על y = √(2x + 5)
AP-3-2-1012345678910-112345xy
P היא נקודה כללית על הגרף. הגרף מתחיל ב-x = −2.5.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=2x+5y = \sqrt{2x + 5}, ו-AA היא הנקודה (6, 0)(6,\,0), כמו בשרטוט. ג. מהו המרחק הקטן ביותר בין AA לבין הגרף?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x=5x = 5

מסעיף ב

d(5)=25−50+41=16=4\begin{aligned}d(5) &= \sqrt{25 - 50 + 41} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים ב-dd

P=(5, 15)P = \left(5,\,\sqrt{15}\right)

הנקודה הקרובה ביותר

בדיקה: (5−6)2+(15)2=1+15=16(5 - 6)^2 + (\sqrt{15})^2 = 1 + 15 = 16 ✓. הנקודה (6, 17)(6,\,\sqrt{17}) שמעל AA רחוקה יותר: 17>4\sqrt{17} > 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הקטע AB על הישר x = k, כש-1 ≤ k ≤ 3
ABfg012340246810121416xy
A על f ו-B על g, באותו x. הקווים המקווקווים הם x = 1 ו-x = 3.

נתונות f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x ו-g(x)=x2g(x) = x^2. הישר x=kx = k חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, כאשר 1≤k≤31 \le k \le 3, כמו בשרטוט. מהו האורך הקטן ביותר של הקטע ABAB?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

L(k)=f(k)−g(k)=−2k2+8k1≤k≤3\begin{aligned}L(k) &= f(k) - g(k) \\ &= -2k^2 + 8k \\ \quad 1 \le k \le 3\end{aligned}

תחום סגור

L′(k)=−4k+8=0 ⇒ k=2\begin{aligned}L'(k) &= -4k + 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 2\end{aligned}

שם מקסימום: L(2)=8L(2) = 8

L(1)=6L(3)=−18+24=6\begin{aligned}L(1) &= 6 \\ \quad L(3) &= -18 + 24 \\ &= 6\end{aligned}

הקצוות

min⁡=6\min = 6

בשני הקצוות

הנקודה החשודה נותנת את האורך הגדול ביותר. את הקטן ביותר מוצאים רק בקצוות, ולכן בתחום סגור בודקים אותם תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת