תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: מספרים, גאומטריה, גרפים וכלכלה, בתחום פתוח ובתחום סגור. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 1414. מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 49

הפתרון:

P(x)=x(14−x)0<x<14\begin{aligned}P(x) &= x(14 - x) \\ \quad 0 < x < 14\end{aligned}
P′(x)=14−2x=0 ⇒ x=7\begin{aligned}P'(x) &= 14 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

מקסימום

P(7)=49P(7) = 49

המכפלה

התשובה היא המכפלה 4949, לא x=7x = 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCD
היקף המלבן ABCD הוא 32 ס״מ. AB = x.

היקף המלבן ABCDABCD הוא 3232 ס״מ, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

S(x)=x(16−x)0<x<16\begin{aligned}S(x) &= x(16 - x) \\ \quad 0 < x < 16\end{aligned}

חצי היקף 1616

S′(x)=16−2x=0 ⇒ x=8\begin{aligned}S'(x) &= 16 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

מקסימום

S(8)=64S(8) = 64

ריבוע 8×88 \times 8

חצי ההיקף הוא 1616, לא 3232.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בפתרון של בעיית קיצון כתבתם את הגודל המבוקש כפונקציה של xx. מה השלב הבא?

  1. סימון המשתנה
  2. תחום ההגדרה של הבעיה
  3. בדיקת סוג הקיצון
  4. גזירה והשוואה לאפס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב תחום ההגדרה של הבעיה

הפתרון:

1→2→3→4→51 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5

סימון, הבעה, תחום, גזירה, סוג ותשובה

הנכונה: תחום ההגדרה של הבעיה. התחום בא לפני הגזירה, כי הוא מחליט אילו פתרונות של f′(x)=0f'(x) = 0 נשארים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים, ולרשותנו 120120 מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1800

הפתרון:

S(x)=x(120−2x)0<x<60\begin{aligned}S(x) &= x(120 - 2x) \\ \quad 0 < x < 60\end{aligned}

BC=120−2xBC = 120 - 2x

S′(x)=120−4x=0 ⇒ x=30\begin{aligned}S'(x) &= 120 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 30\end{aligned}

מקסימום

S(30)=30⋅60=1800\begin{aligned}S(30) &= 30 \cdot 60 \\ &= 1800\end{aligned}

השטח

שתי צלעות ניצבות לקיר ואחת מקבילה לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לטיול מאורגן לגליל יש 8080 מקומות באוטובוס, במחיר 100100 שקלים למקום, וכולם נמכרים. כל העלאה של 1010 שקלים במחיר מורידה 44 משתתפים. מהי ההכנסה הגדולה ביותר, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9000

הפתרון:

R(x)=(100+10x)(80−4x)0≤x≤20\begin{aligned}R(x) &= (100 + 10x)(80 - 4x) \\ \quad 0 \le x \le 20\end{aligned}

xx מספר ההעלאות

R′(x)=10(80−4x)−4(100+10x)=400−80x\begin{aligned}R'(x) &= 10(80 - 4x) - 4(100 + 10x) \\ &= 400 - 80x\end{aligned}

כלל המכפלה

R′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום

R(5)=150⋅60=9000\begin{aligned}R(5) &= 150 \cdot 60 \\ &= 9000\end{aligned}

מחיר 150150, 6060 משתתפים

אוטובוס מלא נותן רק 80008000. ההכנסה הגדולה ביותר מתקבלת עם 2020 מקומות ריקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מלבן מתחת לגרף y = 48 − x²

הקודקודים PP ו-QQ של מלבן נמצאים על הגרף y=48−x2y = 48 - x^2, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 256

הפתרון:

S(x)=2x(48−x2)=96x−2x30<x<48\begin{aligned}S(x) &= 2x(48 - x^2) \\ &= 96x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{48}\end{aligned}

רוחב 2x2x

S′(x)=96−6x2=0 ⇒ x=4\begin{aligned}S'(x) &= 96 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

S(4)=8⋅32=256\begin{aligned}S(4) &= 8 \cdot 32 \\ &= 256\end{aligned}

השטח

הרוחב 2x2x. מי שכותב x(48−x2)x(48 - x^2) מקבל 128128.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו הערך הקטן ביותר של הביטוי x−6xx - 6\sqrt{x}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -9

הפתרון:

f′(x)=1−3xx>0\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{3}{\sqrt{x}} \\ \quad x > 0\end{aligned}

נגזרת של שורש

f′(x)=0 ⇒ x=3 ⇒ x=9\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

f(9)=9−18=−9\begin{aligned}f(9) &= 9 - 18 \\ &= -9\end{aligned}

הערך

הערך הקטן ביותר −9-9 ומתקבל ב-x=9x = 9. אל תבלבלו בין השניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

גיליון 21 על 16, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx021016

מגיליון קרטון שממדיו 2121 ס״מ על 1616 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ״ק)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 450

הפתרון:

V(x)=x(21−2x)(16−2x)=4x3−74x2+336x0<x<8\begin{aligned}V(x) &= x(21 - 2x)(16 - 2x) \\ &= 4x^3 - 74x^2 + 336x \\ \quad 0 < x < 8\end{aligned}

התחום לפי הצלע הקצרה

V′(x)=12x2−148x+336=4(3x−28)(x−3)\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 148x + 336 \\ &= 4(3x - 28)(x - 3)\end{aligned}

גזירה ופירוק

x=3(x=283∉(0,8))x = 3 \quad \left(x = \tfrac{28}{3} \notin (0, 8)\right)

מקסימום

V(3)=3⋅15⋅10=450\begin{aligned}V(3) &= 3 \cdot 15 \cdot 10 \\ &= 450\end{aligned}

הנפח

התחום פוסל את 283\frac{28}{3}: שם 16−2x<016 - 2x < 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המרחק מ-A(2.5, 0) לנקודה P על y = √x
AP0123456-0.500.511.522.5xy
P היא נקודה כללית על הגרף.

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה A(2.5, 0)A(2.5,\,0) לבין הגרף y=xy = \sqrt{x}, כמו בשרטוט? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

d(x)=(x−2.5)2+x=x2−4x+6.25\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 2.5)^2 + x} \\ &= \sqrt{x^2 - 4x + 6.25}\end{aligned}

נוסחת המרחק

d′(x)=2x−42x2−4x+6.25d'(x) = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x + 6.25}}

נגזרת של שורש

d′(x)=0 ⇒ x=2\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

d(2)=4−8+6.25=2.25=1.5\begin{aligned}d(2) &= \sqrt{4 - 8 + 6.25} \\ &= \sqrt{2.25} \\ &= 1.5\end{aligned}

המרחק

הנקודה הקרובה ביותר (2, 2)(2,\,\sqrt{2}). המרחק מ-AA לראשית הוא 2.52.5, יותר מ-1.51.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חנות מוכרת 100100 יחידות בשבוע, במחיר 4545 שקלים ליחידה. כל יחידה עולה לה 2020 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 יחידות. אסור להוריד את המחיר ביותר מ-55 שקלים. מהו הרווח השבועי הגדול ביותר, בשקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3000

הפתרון:

P(x)=(25−x)(100+10x)0≤x≤5\begin{aligned}P(x) &= (25 - x)(100 + 10x) \\ \quad 0 \le x \le 5\end{aligned}

תחום סגור

P′(x)=150−20x=0 ⇒ x=7.5∉[0,5]\begin{aligned}P'(x) &= 150 - 20x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7.5 \notin [0, 5]\end{aligned}

מחוץ לתחום

P′(x)>0 בכל התחוםP'(x) > 0 \ \text{בכל התחום}

הרווח עולה

P(5)=20⋅150=3000\begin{aligned}P(5) &= 20 \cdot 150 \\ &= 3000\end{aligned}

בקצה

ב-x=7.5x = 7.5 הרווח היה גדול יותר, אבל ההורדה הזאת אסורה. בתחום סגור התשובה יכולה להיות בקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת