פונקציות חזקה ושורש — זוגי ואי-זוגי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

לפני כל כלל, הסתכלו על שני גרפים. y=x2y = x^2 ו-y=x3y = x^3 נראים דומים בצד הימני, ושונים לגמרי בצד השמאלי. ההבדל הזה, בין מעריך זוגי למעריך אי-זוגי, הוא כל הפרק.

y = x² ו-y = x³ על אותם צירים
(0,0)(1,1)(-1,1)(-1,-1)-2-1012-8-6-4-22468xy
  • x²
  • x³
הקו המלא הוא y=x2y = x^2, המקווקו הוא y=x3y = x^3. שניהם עוברים ב-(0,0)(0,0) וב-(1,1)(1,1). אבל ב-x=−1x = -1 הם נפרדים: (−1)2=1(-1)^2 = 1 ו-(−1)3=−1(-1)^3 = -1. הזוגי נשאר למעלה, האי-זוגי יורד למטה.

לפי הגרף: באילו נקודות נפגשים הגרפים של y=x2y = x^2 ושל y=x3y = x^3?

להציג את התשובה והפתרון

ב-(0,0)(0,0) וב-(1,1)(1,1). באלגברה: x2=x3x^2 = x^3 נותן x2(1−x)=0x^2(1 - x) = 0, כלומר x=0x = 0 או x=1x = 1. ב-x=−1x = -1 הם לא נפגשים: 1≠−11 \neq -1.

y = xⁿ כש-n זוגי

x2x^2, x4x^4, x6x^6 — כולם מתנהגים כמו פרבולה, רק «צרים» יותר ככל שהמעריך גדל. חמש תכונות, וכולן נקראות מהגרף:

(0, 0)(0,\,0)

חיתוך עם הצירים: נקודה אחת בלבד, הראשית

min⁡=(0, 0)\min = (0,\,0)

נקודת מינימום ב-(0,0)(0,0); אין מקסימום

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

סימטריה לציר ה-yy: הפונקציה זוגית

x<0↘x>0↗x < 0 \searrow \quad x > 0 \nearrow

יורדת משמאל ל-00, עולה מימין ל-00

xn≥0x^n \geq 0

חיובית לכל x≠0x \neq 0, ומתאפסת רק ב-00

y = xⁿ כש-n אי-זוגי

x3x^3, x5x^5, x7x^7 — צורת «כיסא»: עולים מהפינה השמאלית התחתונה לפינה הימנית העליונה, ומשתטחים לרגע ב-(0,0)(0,0).

(0, 0)(0,\,0)

חיתוך עם הצירים: הראשית בלבד

אין\text{אין}

אין נקודת מינימום ואין מקסימום

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

סימטריה לראשית: הפונקציה אי-זוגית

↗\nearrow

עולה לכל xx

x<0⇒xn<0x>0⇒xn>0x < 0 \Rightarrow x^n < 0 \quad x > 0 \Rightarrow x^n > 0

הסימן של xnx^n הוא הסימן של xx

y = x² ו-y = x⁴
(1,1)(-1,1)-1.5-1-0.500.511.5-11234567xy
  • x²
  • x⁴
הקו המלא y=x2y = x^2, המקווקו y=x4y = x^4. בין −1-1 ל-11 הגרף של x4x^4 נמוך יותר (0.54=0.06250.5^4 = 0.0625), ומחוץ לקטע הזה הוא גבוה יותר (1.54=5.061.5^4 = 5.06). שניהם: מינימום ב-(0,0)(0,0), סימטריים לציר ה-yy.

חשבו: f(−2)f(-2) עבור f(x)=x4f(x) = x^4, ו-g(−2)g(-2) עבור g(x)=x5g(x) = x^5.

להציג את התשובה והפתרון

f(−2)=(−2)4=16f(-2) = (-2)^4 = 16 — מעריך זוגי מוחק את המינוס. g(−2)=(−2)5=−32g(-2) = (-2)^5 = -32 — מעריך אי-זוגי שומר עליו.

פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית — הבדיקה באלגברה

הזוגיות אינה רק תכונה של xnx^n. לכל פונקציה שואלים: מה קורה כשמציבים −x-x במקום xx? מציבים, מפשטים, ומשווים לפונקציה המקורית.

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

פונקציה זוגית — הגרף סימטרי לציר ה-yy

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

פונקציה אי-זוגית — הגרף סימטרי לראשית

שלוש בדיקות זוגיות

קבעו אם כל פונקציה זוגית, אי-זוגית או לא זו ולא זו: f(x)=x4−3x2f(x) = x^4 - 3x^2, g(x)=x3−3xg(x) = x^3 - 3x, h(x)=x2+xh(x) = x^2 + x.

f(−x)=(−x)4−3(−x)2=x4−3x2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 3(-x)^2 \\ &= x^4 - 3x^2 \\ &= f(x)\end{aligned}

ff זוגית: כל המעריכים זוגיים

g(−x)=(−x)3−3(−x)=−x3+3x=−(x3−3x)=−g(x)\begin{aligned}g(-x) &= (-x)^3 - 3(-x) \\ &= -x^3 + 3x \\ &= -(x^3 - 3x) \\ &= -g(x)\end{aligned}

gg אי-זוגית: כל המעריכים אי-זוגיים

h(−x)=(−x)2+(−x)=x2−x\begin{aligned}h(-x) &= (-x)^2 + (-x) \\ &= x^2 - x\end{aligned}

לא שווה ל-h(x)h(x) ולא ל-−h(x)=−x2−x-h(x) = -x^2 - x

h(−x)≠h(x),h(−x)≠−h(x)h(-x) \neq h(x) ,\quad h(-x) \neq -h(x)

hh לא זוגית ולא אי-זוגית: מעריך זוגי ומעריך אי-זוגי באותה פונקציה

קיצור דרך לפולינום: כל המעריכים זוגיים — זוגית (המספר החופשי הוא x0x^0, מעריך זוגי). כל המעריכים אי-זוגיים — אי-זוגית. מעורב — לא זו ולא זו. אבל בבחינה כותבים את ההצבה f(−x)f(-x) במלואה, לא רק את הקיצור.

הזוגיות על הגרף

על גרף בודקים בעזרת נקודה אחת. אם (a, b)(a,\,b) על הגרף של פונקציה זוגית, אז גם (−a, b)(-a,\,b) על הגרף: אותו גובה, בצד השני של ציר ה-yy. אם הפונקציה אי-זוגית, אז (−a, −b)(-a,\,-b) על הגרף: הצד השני, וגם הפוך למטה.

ff זוגית ו-f(3)=7f(3) = 7. מהו f(−3)f(-3)? ואם ff הייתה אי-זוגית?

להציג את התשובה והפתרון

זוגית: f(−3)=f(3)=7f(-3) = f(3) = 7. אי-זוגית: f(−3)=−f(3)=−7f(-3) = -f(3) = -7. בלי מידע על הזוגיות אי אפשר לדעת כלום על f(−3)f(-3).

פונקציית השורש

הגרף של y = √x
(0,0)(1,1)(4,2)(9,3)-2-10123456789-11234xy

y=xy = \sqrt{x} מוגדרת רק ל-x≥0x \geq 0, מתחילה ב-(0, 0)(0,\,0), עולה בכל תחום הגדרתה, ומשתטחת: מ-x=4x = 4 ל-x=9x = 9 היא עולה רק מ-22 ל-33. ערכיה תמיד y≥0y \geq 0.

והיא לא זוגית ולא אי-זוגית — ולא בגלל חישוב. כדי להשוות את f(−x)f(-x) ל-f(x)f(x) צריך ששניהם יהיו מוגדרים, אבל −x\sqrt{-x} לא קיים כש-x>0x > 0. הבדיקה נעצרת עוד לפני ההצבה: תחום הגדרה שאינו סימטרי פוסל זוגיות מכל סוג.

שלוש טעויות בזוגיות.

(−x)3=x3(-x)^3 = x^3
(−x)3=−x3(-x)^3 = -x^3

מעריך אי-זוגי שומר על המינוס. רק מעריך זוגי מוחק אותו.

x3+1 אי-זוגיתx^3 + 1 \ \text{אי-זוגית}
(−x)3+1=−x3+1≠−(x3+1)(-x)^3 + 1 = -x^3 + 1 \neq -(x^3 + 1)

המספר החופשי 11 הוא x0x^0, מעריך זוגי. פולינום עם מעריכים מעורבים הוא לא זוגי ולא אי-זוגי.

x זוגית\sqrt{x} \ \text{זוגית}
x: x≥0 בלבד\sqrt{x}: \ x \geq 0 \ \text{בלבד}

לפני ההצבה בודקים אם −x-x בכלל בתחום. x\sqrt{x} חיה רק בצד הימני, ולכן אין לה בן זוג משמאל.

תרגילים

תרגיל 1

איזו מהפונקציות היא אי-זוגית?

  1. f(x)=x3−5xf(x) = x^3 - 5x
  2. f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x
  3. f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
  4. f(x)=x4+1f(x) = x^4 + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א f(x)=x3−5xf(x) = x^3 - 5x

הפתרון:

(−x)3−5(−x)=−x3+5x=−(x3−5x)\begin{aligned}(-x)^3 - 5(-x) &= -x^3 + 5x \\ &= -(x^3 - 5x)\end{aligned}

כל המעריכים אי-זוגיים

(−x)2−5(−x)=x2+5x(-x)^2 - 5(-x) = x^2 + 5x

מעורב: לא זו ולא זו

(−x)4+1=x4+1(-x)^4 + 1 = x^4 + 1

זוגית

הנכונה: x3−5xx^3 - 5x. x4+1x^4 + 1 זוגית, x2−5xx^2 - 5x מעורבת, ו-x\sqrt{x} אינה מוגדרת בשליליים, ולכן היא לא זוגית ולא אי-זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x4−3x2f(x) = x^4 - 3x^2. חשבו את f(−2)f(-2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

(−2)4=16(−2)2=4\begin{aligned}(-2)^4 &= 16 \\ \quad (-2)^2 &= 4\end{aligned}

מעריך זוגי מוחק את המינוס

16−3⋅4=416 - 3 \cdot 4 = 4

מציבים

ff זוגית, ולכן f(−2)=f(2)=16−12=4f(-2) = f(2) = 16 - 12 = 4. מי שקיבל −4-4 או −28-28 שכח שמעריך זוגי מוחק את המינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הפונקציה f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x היא זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(−x)=(−x)2+(−x)=x2−x\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^2 + (-x) \\ &= x^2 - x\end{aligned}

מציבים −x-x

x2−x≠x2+xx^2 - x \neq x^2 + x

לא שווה ל-f(x)f(x)

f(1)=2f(−1)=0\begin{aligned}f(1) &= 2 \\ \quad f(-1) &= 0\end{aligned}

דוגמה נגדית: לא אותו גובה

לא נכון. מספיק מעריך אי-זוגי אחד (x=x1x = x^1) כדי לשבור את הסימטריה. הדוגמה הנגדית f(1)≠f(−1)f(1) \neq f(-1) סוגרת את העניין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנקודה (−2, 5)(-2,\,5) נמצאת על הגרף של פונקציה זוגית. איזו נקודה נמצאת בוודאות גם היא על הגרף?

  1. (2, −5)(2,\,-5)
  2. (−2, −5)(-2,\,-5)
  3. (5, −2)(5,\,-2)
  4. (2, 5)(2,\,5)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (2, 5)(2,\,5)

הפתרון:

f(−x)=f(x) ⇒ f(2)=f(−2)=5\begin{aligned}f(-x) &= f(x) \ \Rightarrow \ f(2) \\ &= f(-2) \\ &= 5\end{aligned}

אותו גובה בשני הצדדים

הנכונה: (2, 5)(2,\,5). סימטריה לציר ה-yy משנה את הסימן של xx בלבד. (2, −5)(2,\,-5) הייתה התשובה לפונקציה אי-זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

gg פונקציה אי-זוגית, ו-g(4)=−6g(4) = -6. השלימו.

g(−4)=g(-4) = ____ ; g(0)=g(0) = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: g(−4)=g(-4) = 6 ; g(0)=g(0) = 0

הפתרון:

g(−4)=−g(4)=−(−6)=6\begin{aligned}g(-4) &= -g(4) \\ &= -(-6) \\ &= 6\end{aligned}

אי-זוגית: הופכים סימן

g(−0)=−g(0) ⇒ g(0)=−g(0)\begin{aligned}g(-0) &= -g(0) \ \Rightarrow \ g(0) \\ &= -g(0)\end{aligned}

מציבים x=0x = 0 בהגדרה

2g(0)=0 ⇒ g(0)=0\begin{aligned}2g(0) &= 0 \ \Rightarrow \ g(0) \\ &= 0\end{aligned}

המספר היחיד ששווה למינוס עצמו

כל פונקציה אי-זוגית שמוגדרת ב-00 עוברת בראשית: g(0)=0g(0) = 0. זה נובע מההגדרה, לא מהגרף המסוים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מיינו את הפונקציות לזוגיות ולאי-זוגיות.

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • x2x^2
  • x3−xx^3 - x
  • x3x^3
  • x4−x2x^4 - x^2
  • x5+xx^5 + x
  • x6+2x^6 + 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2x^2 — זוגית · x4−x2x^4 - x^2 — זוגית · x6+2x^6 + 2 — זוגית · x3x^3 — אי-זוגית · x5+xx^5 + x — אי-זוגית · x3−xx^3 - x — אי-זוגית

הפתרון:

(−x)4−(−x)2=x4−x2(-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2

כל המעריכים זוגיים

(−x)6+2=x6+2(-x)^6 + 2 = x^6 + 2

2=2x02 = 2x^0, גם הוא מעריך זוגי

(−x)5+(−x)=−x5−x=−(x5+x)\begin{aligned}(-x)^5 + (-x) &= -x^5 - x \\ &= -(x^5 + x)\end{aligned}

כל המעריכים אי-זוגיים

זוגיות: x2x^2, x4−x2x^4 - x^2, x6+2x^6 + 2. אי-זוגיות: x3x^3, x5+xx^5 + x, x3−xx^3 - x. המספר החופשי +2+2 לא מפריע לזוגיות: x0x^0 הוא מעריך זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף של y = x³
(0,0)-2-1012-8-6-4-22468xy

לפי הגרף: באיזה תחום הפונקציה y=x3y = x^3 עולה?

  1. רק עבור x<0x < 0
  2. רק עבור x>0x > 0
  3. לכל xx
  4. היא לא עולה באף תחום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לכל xx

הפתרון:

x3↗x^3 \nearrow

משמאל למטה לימין למעלה, ללא ירידה

הנכונה: לכל xx. ב-(0,0)(0,0) הגרף משתטח לרגע, אבל לא יורד: אין שם לא מינימום ולא מקסימום. עלייה בכל התחום היא תכונה של כל xnx^n עם nn אי-זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המשוואה x4=81x^4 = 81. השלימו.

הפתרון החיובי: x=x = ____ ; הפתרון השלילי: x=x = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפתרון החיובי: x=x = 3 ; הפתרון השלילי: x=x = -3

הפתרון:

34=813^4 = 81

הפתרון החיובי

(−3)4=81(-3)^4 = 81

מעריך זוגי: גם השלילי מתאים

x=3 או x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

שני פתרונות

למשוואה xn=cx^n = c עם nn זוגי ו-c>0c > 0 יש שני פתרונות, כמו x2=9x^2 = 9. עם nn אי-זוגי יש פתרון אחד בלבד: x3=27x^3 = 27 נותן רק 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגרף של y = √x
(0,0)(1,1)(4,2)(9,3)-2-10123456789-11234xy

לפי הגרף של f(x)=xf(x) = \sqrt{x}: מה נכון?

  1. ff אי-זוגית
  2. ff עולה בכל תחום הגדרתה
  3. ff יורדת עבור x>1x > 1
  4. ff זוגית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ff עולה בכל תחום הגדרתה

הפתרון:

0=0 1=1 4=2 9=3\begin{aligned}\sqrt{0} &= 0 \\ \ \sqrt{1} &= 1 \\ \ \sqrt{4} &= 2 \\ \ \sqrt{9} &= 3\end{aligned}

הערכים רק גדלים

x≥0x \geq 0

התחום אינו סימטרי: לא זוגית ולא אי-זוגית

הנכונה: עולה בכל תחום הגדרתה. היא עולה לאט יותר ויותר, אבל לא יורדת. וזוגיות מכל סוג נפסלת מיד: אין גרף משמאל לציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הגרף של כל פונקציה זוגית עובר בראשית הצירים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1

זוגית: (−x)2+1=x2+1(-x)^2 + 1 = x^2 + 1

f(0)=1≠0f(0) = 1 \neq 0

ולא עוברת בראשית

לא נכון. זוגית פירושו סימטריה לציר ה-yy, ולא יותר: x2+1x^2 + 1 סימטרית וחותכת את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\,1). לעומת זאת פונקציה אי-זוגית שמוגדרת ב-00 חייבת לעבור בראשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת