פותרים יחד · פונקציות חזקה ושורש וטרנספורמציות · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: פונקציית שורש מוזזת, זוגיות, ערך מוחלט ומספר פתרונות, קיצון של פונקציה מוזזת מגרף, ותחום הגדרה עם שני תנאים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פונקציית שורש מוזזת: תחום, התחלה, חיתוכים

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x) = \sqrt{x + 4} - 2$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את נקודת ההתחלה של הגרף. ג. תארו איך מתקבל הגרף מהגרף של $y = \sqrt{x}$ . ד. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

f(x) = \sqrt{x + 4} - 2

לחצו «להתחיל». התחום הוא הצעד הראשון, ונקודת ההתחלה יוצאת ממנו.

x + 4 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -4

א. תחום ההגדרה.

א. תחום

\begin{aligned}f(-4) &= \sqrt{0} - 2 \\ &= -2\end{aligned}

ב. נקודת ההתחלה $(-4,\,-2)$ : הקצה של התחום.

ב. התחלה

\sqrt{x} \ \to \ \sqrt{x + 4} \ \to \ \sqrt{x + 4} - 2

ג. 4 שמאלה ( $p = -4$ ), ואז 2 למטה ( $k = -2$ ).

ג. תיאור

\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{4} - 2 \\ &= 0\end{aligned}

ד. חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,\,0)$ — הראשית.

ד. ציר y

\begin{aligned}\sqrt{x + 4} &= 2 \ \Rightarrow \ x + 4 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

ד. חיתוך עם ציר ה- $x$ : אותה נקודה $(0,\,0)$ . בדיקה: $0 \geq -4$ ✓

ד. ציר x

הגרף חוצה את שני הצירים באותה נקודה, הראשית. זה קורה כשההזזה השמאלית והתחתונה «מתאזנות»: $\sqrt{4} = 2$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם הגרף של $f$ עובר בנקודה $(5,\,1)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כן. $f(5) = \sqrt{9} - 2 = 1$ . ו- $5$ בתחום. בדיקת נקודה היא תמיד הצבה, לא משוואה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — זוגיות באלגברה ועל הגרף

פעילות אינטראקטיבית

זוגיות של $f(x) = x^4 - 2x^2$

נתונה $f(x) = x^4 - 2x^2$ . א. קבעו אם $f$ זוגית, אי-זוגית או לא זו ולא זו. ב. ידוע ש- $f(2) = 8$ . מצאו את $f(-2)$ בלי לחשב. ג. הנקודה $(1,\,-1)$ נמצאת על הגרף. איזו נקודה נוספת נמצאת עליו בוודאות?

זוגית; $f(-2) = 8$ ; $(-1,\,-1)$

אי-זוגית; $f(-2) = -8$ ; $(-1,\,1)$

זוגית; $f(-2) = -8$ ; $(-1,\,1)$

לא זו ולא זו; אי אפשר לדעת

מה הצעד הראשון בבדיקת זוגיות?

מציבים $-x$ במקום $x$ ומפשטים

להציג את התשובה והפתרון

זו ההגדרה: משווים את $f(-x)$ ל- $f(x)$ .

בודקים אם $f(0) = 0$

להציג את התשובה והפתרון

זה מספר על הראשית, לא על הסימטריה.

\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 2(-x)^2 \\ &= x^4 - 2x^2\end{aligned}

מעריכים זוגיים מוחקים את המינוס

מה קיבלנו?

$f(-x) = f(x)$ : זוגית

להציג את התשובה והפתרון

הביטוי חזר לעצמו בדיוק.

$f(-x) = -f(x)$ : אי-זוגית

להציג את התשובה והפתרון

$-f(x) = -x^4 + 2x^2$ , וזה לא מה שקיבלנו.

f(-x) = f(x) \ \Rightarrow \ \text{זוגית}

א. סימטרית לציר ה- $y$

אז מהו $f(-2)$ ?

$f(-2) = f(2) = 8$

להציג את התשובה והפתרון

זוגית: אותו גובה בשני הצדדים.

$f(-2) = -8$

להציג את התשובה והפתרון

זה היה נכון לפונקציה אי-זוגית.

f(-2) = 8

ב. בלי חישוב

$(1,\,-1)$ על הגרף. איזו נקודה עוד?

$(-1,\,-1)$

להציג את התשובה והפתרון

משנים את הסימן של $x$ בלבד.

$(-1,\,1)$

להציג את התשובה והפתרון

זו סימטריה לראשית, של פונקציה אי-זוגית.

(1,\,-1) \to (-1,\,-1)

ג. קיפול על ציר ה- $y$

להציג את התשובה והפתרון

זוגית; $f(-2) = 8$ ; $(-1,\,-1)$ . בבחינה כותבים את ההצבה $f(-x)$ במלואה ואת המסקנה במילים. הסעיפים ב ו-ג הם אותה תכונה, פעם במספר ופעם בנקודה.

לעשות את הפעילות ב-elev

אם היו משנים את הפונקציה ל- $f(x) = x^4 - 2x$ , מה היה משתנה?

להציג את התשובה והפתרון

$f(-x) = x^4 + 2x$ : לא שווה ל- $f(x)$ ולא ל- $-f(x) = -x^4 + 2x$ . הפונקציה לא זוגית ולא אי-זוגית, ומ- $f(2)$ אי אפשר לדעת כלום על $f(-2)$ . מעריך אי-זוגי אחד מספיק.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרבולה, ערך מוחלט ומספר הפתרונות

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $g(x) = (x - 2)^2 - 9$ . א. מצאו את קודקוד הפרבולה ואת נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ . ב. נתונה $h(x) = |g(x)|$ . מצאו את נקודות הקיצון של $h$ . ג. לאילו ערכי $k$ יש למשוואה $h(x) = k$ בדיוק 3 פתרונות? ולאילו 4?

\begin{aligned}g(x) &= (x - 2)^2 - 9 \\ \quad h(x) &= |g(x)|\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם הפרבולה, אחר כך הקיפול, ובסוף הישר האופקי.

(2,\,-9)

א. הקודקוד: $x^2$ אחרי 2 ימינה ו-9 למטה. מינימום.

א. קודקוד

\begin{aligned}(x - 2)^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x - 2 \\ &= \pm 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= -1\end{aligned}

א. חיתוך עם ציר ה- $x$ : $(-1,\,0)$ ו- $(5,\,0)$ .

א. אפסים

h: \ (2,\,-9) \to (2,\,9)

ב. החלק שמתחת לציר מתקפל: המינימום הופך למקסימום $(2,\,9)$ .

ב. מקסימום

\min: \ (-1,\,0) ,\ (5,\,0)

ב. בנקודות האפס הגרף «נשבר»: שני מינימום בגובה $0$ .

ב. מינימום

k = 9 \ \Rightarrow \ 3 \ \text{פתרונות}

ג. הישר $y = 9$ נוגע בפסגה ובשתי הזרועות.

ג. שלושה

0 < k < 9 \ \Rightarrow \ 4 \ \text{פתרונות}

ג. הישר עובר מתחת לפסגה וחותך את שתי ה-«V».

ג. ארבעה

הגובה שמפריד בין 4 פתרונות ל-2 הוא הערך המוחלט של המינימום: $|-9| = 9$ . זה המספר שכל שאלה כזאת שואלת עליו, גם כשלא מנוסחת כך.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה פתרונות יש ל- $h(x) = 0$ ? ול- $h(x) = -1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$h(x) = 0$ : 2 פתרונות, $x = -1$ ו- $x = 5$ , נקודות האפס. $h(x) = -1$ : 0 פתרונות, ערך מוחלט לעולם אינו שלילי.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — קיצון מהגרף, אחרי שתי טרנספורמציות

הגרף של f

פעילות אינטראקטיבית

$h(x) = f(x - 2)$ ו- $k(x) = -f(x) + 3$

בגרף שלמעלה, לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(-1,\,2)$ ונקודת מינימום $(1,\,-2)$ . א. מצאו את נקודות הקיצון של $h(x) = f(x - 2)$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של $k(x) = -f(x) + 3$ וקבעו את סוגן.

$h$ : מקס' $(1,\,2)$ , מינ' $(3,\,-2)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,1)$ , מקס' $(1,\,5)$

$h$ : מקס' $(-3,\,2)$ , מינ' $(-1,\,-2)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,1)$ , מקס' $(1,\,5)$

$h$ : מקס' $(1,\,2)$ , מינ' $(3,\,-2)$ ; $k$ : מקס' $(-1,\,5)$ , מינ' $(1,\,1)$

$h$ : מקס' $(-1,\,4)$ , מינ' $(1,\,0)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,-1)$ , מקס' $(1,\,-5)$

$f(x - 2)$ : לאן זז הגרף?

2 ימינה

להציג את התשובה והפתרון

מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה: $p = 2$ .

2 שמאלה

להציג את התשובה והפתרון

$x - 2$ הוא $p = 2 > 0$ , ימינה. הכיוון ההפוך מהמצופה.

\begin{aligned}h: \ (-1 + 2,\,2) &= (1,\,2) \\ \quad (1 + 2,\,-2) &= (3,\,-2)\end{aligned}

א. מקסימום $(1,\,2)$ , מינימום $(3,\,-2)$

$-f(x) + 3$ : מה עושים קודם?

קודם השיקוף $-f$ , ואז $+3$

להציג את התשובה והפתרון

סדר החישוב: כפל לפני חיבור.

קודם $+3$ , ואז השיקוף

להציג את התשובה והפתרון

$-f(x) + 3$ אינו $-(f(x) + 3)$ . הסדר משנה את התוצאה.

-f: \ (-1,\,-2) ,\ (1,\,2)

שיקוף בציר ה- $x$ : הסוגים מתהפכים

ועכשיו $+3$ :

$(-1,\,1)$ מינימום, $(1,\,5)$ מקסימום

להציג את התשובה והפתרון

3 למעלה לכל נקודה, הסוג כבר נקבע בשיקוף.

$(-1,\,5)$ מקסימום, $(1,\,1)$ מינימום

להציג את התשובה והפתרון

זה $f(x) + 3$ בלי השיקוף. שכחתם את המינוס.

k: \ (-1,\,1) \ \min ,\quad (1,\,5) \ \max

ב. המינימום הישן הפך למקסימום החדש

להציג את התשובה והפתרון

$h$ : מקס' $(1,\,2)$ , מינ' $(3,\,-2)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,1)$ , מקס' $(1,\,5)$ . שתי טעויות מחכות כאן: כיוון ההזזה האופקית, וסדר הפעולות בשיקוף עם הזזה.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהי נקודת המינימום של $m(x) = f(-x)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$(-1,\,-2)$ . שיקוף בציר ה- $y$ הופך את הסימן של $x$ בלבד ושומר על הסוג: המינימום $(1,\,-2)$ עובר ל- $(-1,\,-2)$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — תחום הגדרה עם שני תנאים

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x) = \dfrac{\sqrt{2x - 6}}{x - 5}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. האם הנקודות שבהן $x = 3$ ו- $x = 5$ נמצאות על הגרף? אם כן, מצאו אותן.

f(x) = \frac{\sqrt{2x - 6}}{x - 5}

לחצו «להתחיל». שני תנאים, ושניהם חייבים להתקיים.

2x - 6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 3

תנאי השורש. השורש במונה, ולכן אפס מותר.

שורש

x - 5 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 5

תנאי המכנה.

מכנה

x \geq 3 \ \text{וגם} \ x \neq 5

א. התחום: החיתוך של שני התנאים.

א. תחום

\begin{aligned}f(3) &= \frac{\sqrt{0}}{-2} \\ &= 0\end{aligned}

ב. $x = 3$ בתחום: הנקודה $(3,\,0)$ , נקודת ההתחלה של הגרף.

ב. x = 3

x = 5 \ \notin \ D

ב. $x = 5$ מחוץ לתחום: המכנה מתאפס, אין נקודה כזאת על הגרף.

ב. x = 5

הנקודה $5$ נמצאת בתוך הקטע $x \geq 3$ , ולכן חייבים להוציא אותה במפורש. תחום שכותב רק $x \geq 3$ הוא תשובה חלקית.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה היה משתנה אם השורש היה במכנה: $f(x) = \dfrac{x - 5}{\sqrt{2x - 6}}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

תנאי השורש הופך לאי-שוויון חזק, $2x - 6 > 0$ , כלומר $x > 3$ . ו- $x = 5$ מותר: $f(5) = 0$ . התחום: $x > 3$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $g(x) = \sqrt{x - 1} - 3$ . מצאו את נקודת ההתחלה של הגרף ואת שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ .

התחלה: $x =$ ____ , $y =$ ____ ; חיתוך עם ציר $x$ : $x =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: התחלה: $x =$ 1 , $y =$ -3 ; חיתוך עם ציר $x$ : $x =$ 10

הפתרון:

x - 1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 1

תחום ההגדרה

\begin{aligned}g(1) &= 0 - 3 \\ &= -3\end{aligned}

נקודת ההתחלה $(1,\,-3)$ : 1 ימינה, 3 למטה

\begin{aligned}\sqrt{x - 1} &= 3 \ \Rightarrow \ x - 1 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ . בדיקה: $\sqrt{9} - 3 = 0$ ✓

הגרף מתחיל מתחת לציר ב- $(1,\,-3)$ , עולה, וחוצה את ציר ה- $x$ ב- $(10,\,0)$ . מי שכתב $x - 1 = 3$ שכח להעלות בחזקת 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x) = x^4 - 5x^2$ , ונתון ש- $f(3) = 36$ . מצאו את $f(-3)$ בעזרת הזוגיות של $f$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 5(-x)^2 \\ &= x^4 - 5x^2 \\ &= f(x)\end{aligned}

כל המעריכים זוגיים: $f$ זוגית

\begin{aligned}f(-3) &= f(3) \\ &= 36\end{aligned}

אותו גובה בשני הצדדים

$f(-3) = 36$ . פונקציה זוגית «לא מבחינה» בין $3$ ל- $-3$ . בדיקה ישירה: $81 - 45 = 36$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $g(x) = x^2 - 1$ ו- $h(x) = |g(x)|$ . השלימו.

ל- $h(x) = k$ יש בדיוק 3 פתרונות כאשר $k =$ ____ ; מספר הפתרונות של $h(x) = 0.5$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ל- $h(x) = k$ יש בדיוק 3 פתרונות כאשר $k =$ 1 ; מספר הפתרונות של $h(x) = 0.5$ : 4

הפתרון:

g: \ \min (0,\,-1)

מינימום הפרבולה

h: \ \max (0,\,1)

הקיפול הופך אותו לפסגה בגובה $|-1| = 1$

\begin{aligned}k &= 1 \ \Rightarrow \ 3 \\ \quad 0 < 0.5 < 1 \ \Rightarrow \ 4\end{aligned}

בגובה הפסגה: 3. מתחתיה: 4

שלושה פתרונות בדיוק בגובה הפסגה, $k = 1$ . כל $k$ בין $0$ ל- $1$ נותן ארבעה: $x^2 - 1 = \pm 0.5$ , שתי משוואות עם שני פתרונות כל אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(2,\,4)$ ונקודת מינימום $(5,\,-1)$ . מצאו את נקודת המקסימום של $h(x) = -f(x - 1) + 2$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 6 , $y =$ 3

הפתרון:

f(x - 1): \ (3,\,4) ,\ (6,\,-1)

1 ימינה

-f(x - 1): \ (3,\,-4) ,\ (6,\,1)

שיקוף בציר ה- $x$ : הסוגים מתהפכים

+2: \ (3,\,-2) \ \min ,\quad (6,\,3) \ \max

2 למעלה

מקסימום $(6,\,3)$ : הוא בא מהמינימום $(5,\,-1)$ של $f$ , שזז ימינה, התהפך, ועלה. הסדר: הזזה אופקית, שיקוף, הזזה אנכית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \dfrac{\sqrt{3x - 12}}{x - 7}$ ?

$x \geq 4$ וגם $x \neq 7$
$x > 4$ וגם $x \neq 7$
$x \geq 4$ וגם $x \neq -7$
$x \geq 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x \geq 4$ וגם $x \neq 7$

הפתרון:

3x - 12 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 4

תנאי השורש: במונה, אפס מותר

x - 7 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 7

תנאי המכנה

x \geq 4 \ \text{וגם} \ x \neq 7

החיתוך

הנכונה: $x \geq 4$ וגם $x \neq 7$ . $7$ נמצא בתוך הקטע ולכן חייבים להוציא אותו. $x > 4$ היה נכון רק אם השורש היה במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — פונקציית שורש מוזזת: תחום, התחלה, חיתוכים

2 — זוגיות באלגברה ועל הגרף

3 — פרבולה, ערך מוחלט ומספר הפתרונות

4 — קיצון מהגרף, אחרי שתי טרנספורמציות

5 — תחום הגדרה עם שני תנאים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev