סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות שבהן הגרף הוא הנתון: לקרוא משוואה מפרבולה מוזזת, לספור פתרונות של ∣g(x)∣=k|g(x)| = k, שורש משוקף, וקיצון אחרי מתיחה.

מול גרף, קודם מסמנים את הנקודה המיוחדת: קודקוד, נקודת התחלה או פסגה של הקיפול. ממנה יוצאים כל המספרים.

תרגילים

תרגיל 1

הגרף של g
(1,4)-3-2-1012345-5-4-3-2-112345xy

הגרף שלמטה הוא פרבולה שקודקודה (1, 4)(1,\,4), והיא מתקבלת מ-y=x2y = x^2 בהזזה ובשיקוף. מהי משוואת gg?

  1. g(x)=−(x+1)2+4g(x) = -(x + 1)^2 + 4
  2. g(x)=(x−1)2+4g(x) = (x - 1)^2 + 4
  3. g(x)=−(x−1)2−4g(x) = -(x - 1)^2 - 4
  4. g(x)=−(x−1)2+4g(x) = -(x - 1)^2 + 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד g(x)=−(x−1)2+4g(x) = -(x - 1)^2 + 4

הפתרון:

(1, 4) ⇒ p=1 k=4\begin{aligned}(1,\,4) \ \Rightarrow \ p &= 1 \\ \ k &= 4\end{aligned}

הקודקוד: 1 ימינה, 4 למעלה

∩ ⇒ a=−1\cap \ \Rightarrow \ a = -1

הזרועות כלפי מטה: שיקוף בציר ה-xx, מינוס לפני הסוגריים

g(0)=−1+4=3\begin{aligned}g(0) &= -1 + 4 \\ &= 3\end{aligned}

בדיקה בנקודה נוספת

הנכונה: −(x−1)2+4-(x - 1)^2 + 4. המינוס לפני הסוגריים הופך את הפרבולה; (x−1)(x - 1) מזיז ימינה; +4+4 מעלה. שלוש קריאות, שלושה מספרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה g(x)=4−x+1g(x) = \sqrt{4 - x} + 1. מצאו את הערך הגדול ביותר בתחום ההגדרה, ואת שיעור ה-yy של נקודת ההתחלה.

x≤x \leq ____ ; y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x≤x \leq 4 ; y=y = 1

הפתרון:

4−x≥0 ⇒ x≤44 - x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

מינוס לפני xx: הגרף פונה שמאלה

g(4)=0+1=1\begin{aligned}g(4) &= \sqrt{0} + 1 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההתחלה (4, 1)(4,\,1)

4−x=−(x−4)\sqrt{4 - x} = \sqrt{-(x - 4)}: שיקוף של x\sqrt{x} בציר ה-yy, ואז 4 ימינה ו-1 למעלה. הגרף מתחיל ב-(4, 1)(4,\,1) ופונה שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

h(x) = |x² − 4|
(-2,0)(2,0)(0,4)-4-3-2-101234-112345678xy

נתונה h(x)=∣x2−4∣h(x) = |x^2 - 4| (הגרף למטה). לאיזה ערך של kk יש למשוואה h(x)=kh(x) = k בדיוק 3 פתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x2−4: min⁡(0, −4)x^2 - 4: \ \min (0,\,-4)

המינימום של הפרבולה

h: max⁡(0, 4)h: \ \max (0,\,4)

אחרי הקיפול: פסגה בגובה 4

k=4k = 4

הישר שנוגע בפסגה חותך 3 פעמים

k=4k = 4: הערך המוחלט של המינימום. מתחתיו 4 פתרונות, מעליו 2, ובדיוק שם 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איך מתקבל הגרף של g(x)=−x−3g(x) = -\sqrt{x - 3} מהגרף של f(x)=xf(x) = \sqrt{x}?

  1. הזזה של 3 שמאלה ושיקוף בציר ה-xx
  2. הזזה של 3 למטה ושיקוף בציר ה-xx
  3. הזזה של 3 ימינה ושיקוף בציר ה-yy
  4. הזזה של 3 ימינה ושיקוף בציר ה-xx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הזזה של 3 ימינה ושיקוף בציר ה-xx

הפתרון:

x−3 ⇒ 3 ימינהx - 3 \ \Rightarrow \ 3 \ \text{ימינה}

בתוך השורש

−f ⇒ שיקוף-f \ \Rightarrow \ \text{שיקוף}

מינוס מחוץ לשורש: בציר ה-xx

(3, 0), (4, −1), (7, −2)(3,\,0) ,\ (4,\,-1) ,\ (7,\,-2)

נקודות על gg: מתחילה ב-(3, 0)(3,\,0) ויורדת

הנכונה: 3 ימינה ושיקוף בציר ה-xx. הגרף מתחיל ב-(3, 0)(3,\,0) ופונה ימינה ולמטה. שיקוף בציר ה-yy היה מכניס את המינוס לתוך השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 3)(1,\,3) ונקודת מינימום (4, −2)(4,\,-2). מצאו את נקודת המינימום של h(x)=2f(x)h(x) = 2f(x).

x=x = ____ , y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x = 4 , y=y = -4

הפתרון:

(4, 2⋅(−2))=(4, −4)(4,\,2 \cdot (-2)) = (4,\,-4)

מתיחה פי 2: ה-yy מוכפל

a=2>0a = 2 > 0

הסוג נשמר

מינימום (4, −4)(4,\,-4), ומקסימום (1, 6)(1,\,6). מתיחה מרחיקה את הגרף מציר ה-xx לשני הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x4−4x2f(x) = x^4 - 4x^2. חשבו את f(−3)f(-3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

(−3)4=81(−3)2=9\begin{aligned}(-3)^4 &= 81 \\ \quad (-3)^2 &= 9\end{aligned}

מעריכים זוגיים

81−36=4581 - 36 = 45

מציבים

4545. ff זוגית, ולכן f(−3)=f(3)f(-3) = f(3): המינוס לא משפיע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפונקציה f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^2 היא זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(−x)=(−x−1)2=(x+1)2≠(x−1)2\begin{aligned}f(-x) &= (-x - 1)^2 \\ &= (x + 1)^2 \neq (x - 1)^2\end{aligned}

מציבים −x-x

f(1)=0f(−1)=4\begin{aligned}f(1) &= 0 \\ \quad f(-1) &= 4\end{aligned}

דוגמה נגדית

לא נכון. הפרבולה סימטרית, אבל סביב הישר x=1x = 1, לא סביב ציר ה-yy. זוגיות דורשת סימטריה לציר ה-yy דווקא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגרף של f
(1,5)(3,1)01234-3-2-11234567xy

בגרף שלמטה, לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 5)(1,\,5) ונקודת מינימום (3, 1)(3,\,1). כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לפונקציה k(x)=f(x)−3k(x) = f(x) - 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

k: max⁡(1, 2), min⁡(3, −2)k: \ \max (1,\,2) ,\ \min (3,\,-2)

3 למטה

f(x)−3=0 ⇔ f(x)=3\begin{aligned}f(x) - 3 &= 0 \ \Leftrightarrow \ f(x) \\ &= 3\end{aligned}

או: כמה פעמים הישר y=3y = 3 חותך את ff

33

משמאל למקסימום, בין הקיצונים, ומימין למינימום

3 נקודות. הישר y=3y = 3 עובר בין המינימום 11 למקסימום 55, ולכן חותך את הגרף שלוש פעמים. אם היה עובר מעל 55 או מתחת ל-11: פעם אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה g(x)=(x+3)2−1g(x) = (x + 3)^2 - 1 ו-h(x)=∣g(x)∣h(x) = |g(x)|. מצאו את נקודת המקסימום של hh.

x=x = ____ , y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x = -3 , y=y = 1

הפתרון:

g: min⁡(−3, −1)g: \ \min (-3,\,-1)

הקודקוד: 3 שמאלה, 1 למטה

h: (−3, ∣−1∣)=(−3, 1)h: \ (-3,\,|-1|) = (-3,\,1)

הקיפול הופך אותו למקסימום

מקסימום (−3, 1)(-3,\,1). נקודות האפס (−4, 0)(-4,\,0) ו-(−2, 0)(-2,\,0) הן שני המינימום של hh.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה פתרונות יש למשוואה ∣x3∣=5|x^3| = 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x3=5 או x3=−5\begin{aligned}x^3 &= 5 \ \text{או} \ x^3 \\ &= -5\end{aligned}

שתי משוואות

x=53 x=−53\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{5} \ \\ \quad x &= -\sqrt[3]{5}\end{aligned}

לכל אחת פתרון יחיד: מעריך אי-זוגי

2 פתרונות. ∣x3∣|x^3| היא x3x^3 שהחצי השמאלי שלה התקפל למעלה: גרף בצורת UU רחב, וכל ישר y=k>0y = k > 0 חותך אותו פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת