סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות עם פרמטרים ועם שני שלבים מוסתרים: למצוא aa ו-bb מהתחום ומנקודה, מקדם של פרבולה, השלמה לריבוע לפני ערך מוחלט, וזוגיות ככלי לפתרון משוואה.

פרמטר נמצא ממשוואה: כל נתון (תחום, נקודה, קודקוד) הוא משוואה אחת. ספרו נתונים, ספרו נעלמים.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=ax+bf(x) = \sqrt{ax + b}. תחום ההגדרה של ff הוא x≥2x \geq 2, והגרף עובר בנקודה (6, 2)(6,\,2). מצאו את aa ואת bb.

a=a = ____ , b=b = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a = 1 , b=b = -2

הפתרון:

2a+b=02a + b = 0

הגרף מתחיל ב-x=2x = 2: שם מה שמתחת לשורש מתאפס

6a+b=2 ⇒ 6a+b=4\begin{aligned}\sqrt{6a + b} &= 2 \ \Rightarrow \ 6a + b \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה (6, 2)(6,\,2)

4a=4 ⇒ a=1 b=−2\begin{aligned}4a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1 \\ \ b &= -2\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

x−2: x≥2 ✓\sqrt{x - 2}: \ x \geq 2 \ \checkmark

בדיקה: וגם a>0a > 0 מתאים לגרף שפונה ימינה

f(x)=x−2f(x) = \sqrt{x - 2}. התחום נותן משוואה אחת, הנקודה נותנת את השנייה. a>0a > 0 חייב לצאת, כי התחום הוא x≥2x \geq 2 ולא x≤2x \leq 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פרבולה y=a(x−p)2+ky = a(x - p)^2 + k שקודקודה (2, −3)(2,\,-3) עוברת בנקודה (0, 5)(0,\,5). מהו aa?

  1. a=12a = \frac{1}{2}
  2. a=2a = 2
  3. a=4a = 4
  4. a=−2a = -2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב a=2a = 2

הפתרון:

y=a(x−2)2−3y = a(x - 2)^2 - 3

הקודקוד נותן p=2p = 2, k=−3k = -3

5=a(0−2)2−3 ⇒ 4a=8 ⇒ a=2\begin{aligned}5 &= a(0 - 2)^2 - 3 \ \Rightarrow \ 4a \\ &= 8 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

מציבים את הנקודה

הנכונה: a=2a = 2. a>0a > 0 הגיוני: הנקודה (0, 5)(0,\,5) מעל הקודקוד, ולכן הפרבולה פונה למעלה, ומתוחה פי 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה g(x)=x2−6x+5g(x) = x^2 - 6x + 5 ו-h(x)=∣g(x)∣h(x) = |g(x)|. לאיזה ערך של kk יש למשוואה h(x)=kh(x) = k בדיוק 3 פתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x2−6x+5=(x−3)2−4x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4

משלימים לריבוע: קודקוד (3, −4)(3,\,-4)

h: max⁡(3, 4)h: \ \max (3,\,4)

הקיפול

k=4k = 4

בגובה הפסגה

k=4k = 4. כאן צריך קודם למצוא את המינימום: g(3)=9−18+5=−4g(3) = 9 - 18 + 5 = -4. הערך המוחלט שלו הוא הגובה המבוקש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ff פונקציה זוגית, f(−1)=3f(-1) = 3 ו-f(2)=−1f(2) = -1. נתונה g(x)=f(x)+2g(x) = f(x) + 2. השלימו.

g(1)=g(1) = ____ ; g(−2)=g(-2) = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: g(1)=g(1) = 5 ; g(−2)=g(-2) = 1

הפתרון:

f(1)=f(−1)=3 ⇒ g(1)=5\begin{aligned}f(1) &= f(-1) \\ &= 3 \ \Rightarrow \ g(1) \\ &= 5\end{aligned}

זוגיות, ואז 2 למעלה

f(−2)=f(2)=−1 ⇒ g(−2)=1\begin{aligned}f(-2) &= f(2) \\ &= -1 \ \Rightarrow \ g(-2) \\ &= 1\end{aligned}

אותו דבר בצד השני

g(1)=5g(1) = 5, g(−2)=1g(-2) = 1. שני שלבים: הזוגיות מעבירה את הערך לצד השני, וההזזה מוסיפה 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

איזו מהפונקציות היא אי-זוגית?

  1. x3+x2x^3 + x^2
  2. x4x^4
  3. x3+1x^3 + 1
  4. x5−x3x^5 - x^3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x5−x3x^5 - x^3

הפתרון:

(−x)5−(−x)3=−x5+x3=−(x5−x3)\begin{aligned}(-x)^5 - (-x)^3 &= -x^5 + x^3 \\ &= -(x^5 - x^3)\end{aligned}

כל המעריכים אי-זוגיים

(−x)3+1=−x3+1(-x)^3 + 1 = -x^3 + 1

לא −(x3+1)-(x^3 + 1): המספר החופשי מקלקל

הנכונה: x5−x3x^5 - x^3. x4x^4 זוגית; x3+x2x^3 + x^2 ו-x3+1x^3 + 1 מעורבות, לא זו ולא זו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לפונקציה ff נקודת מקסימום (2, 4)(2,\,4) ונקודת מינימום (5, −1)(5,\,-1). מצאו את נקודת המקסימום של h(x)=−2f(x)+1h(x) = -2f(x) + 1.

x=x = ____ , y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x = 5 , y=y = 3

הפתרון:

−2f: (2, −8), (5, 2)-2f: \ (2,\,-8) ,\ (5,\,2)

כפל ב-−2-2: מתיחה ושיקוף, הסוגים מתהפכים

+1: (2, −7) min⁡,(5, 3) max⁡+1: \ (2,\,-7) \ \min ,\quad (5,\,3) \ \max

1 למעלה

מקסימום (5, 3)(5,\,3): המינימום הישן, אחרי כפל ב-−2-2 ותוספת 1. קודם הכפל, אחר כך החיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

אם ff פונקציה זוגית, אז הגרפים של y=f(x)y = f(x) ושל y=f(−x)y = f(-x) מתלכדים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

ההגדרה של זוגיות

y=x2: (−x)2=x2\begin{aligned}y &= x^2: \ (-x)^2 \\ &= x^2\end{aligned}

דוגמה: שיקוף הפרבולה בציר ה-yy לא משנה כלום

נכון. שיקוף בציר ה-yy של גרף שכבר סימטרי לציר ה-yy מחזיר את אותו גרף. זו בדיוק המשמעות הגרפית של f(−x)=f(x)f(-x) = f(x).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

h(x) = |(x − 1)² − 4|
(-1,0)(3,0)(1,4)-3-2-1012345-112345678xy

נתונה h(x)=∣(x−1)2−4∣h(x) = |(x - 1)^2 - 4| (הגרף למטה). לאילו ערכי kk יש למשוואה h(x)=kh(x) = k בדיוק 4 פתרונות?

  1. 0<k<40 < k < 4
  2. k>4k > 4
  3. k<0k < 0
  4. k=4k = 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0<k<40 < k < 4

הפתרון:

(x−1)2−4: min⁡(1, −4)(x - 1)^2 - 4: \ \min (1,\,-4)

המינימום של הפרבולה

h: max⁡(1, 4)h: \ \max (1,\,4)

הפסגה אחרי הקיפול

0<k<40 < k < 4

ישר מתחת לפסגה ומעל הציר: 4 חיתוכים

הנכונה: 0<k<40 < k < 4. מעל 4: שניים. בדיוק 4: שלושה. k=0k = 0: שניים, נקודות האפס. שלילי: אף אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה g(x)=x−1−2g(x) = \sqrt{x - 1} - 2, ו-h(x)=g(−x)h(x) = g(-x). מצאו את הערך הגדול ביותר בתחום ההגדרה של hh, ואת שיעור ה-yy של נקודת ההתחלה של הגרף שלה.

x≤x \leq ____ ; y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x≤x \leq -1 ; y=y = -2

הפתרון:

h(x)=−x−1−2h(x) = \sqrt{-x - 1} - 2

מציבים −x-x

−x−1≥0 ⇒ x≤−1-x - 1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq -1

תחום ההגדרה: הצד השמאלי

h(−1)=0−2=−2\begin{aligned}h(-1) &= 0 - 2 \\ &= -2\end{aligned}

נקודת ההתחלה (−1, −2)(-1,\,-2)

שיקוף בציר ה-yy: נקודת ההתחלה (1, −2)(1,\,-2) של gg עברה ל-(−1, −2)(-1,\,-2), והגרף פונה שמאלה. הגובה −2-2 לא השתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x4−2x2f(x) = x^4 - 2x^2. מצאו את סכום כל הפתרונות של המשוואה f(x)=8f(x) = 8.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

x4−2x2−8=0 ⇒ (x2−4)(x2+2)=0\begin{aligned}x^4 - 2x^2 - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x^2 - 4)(x^2 + 2) \\ &= 0\end{aligned}

פירוק

x2=4 ⇒ x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

x2=−2x^2 = -2 אין פתרון

2+(−2)=02 + (-2) = 0

הסכום

00. אפשר גם בלי לפתור: ff זוגית, ולכן הפתרונות באים בזוגות xx ו-−x-x, וסכומם תמיד 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת