סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: פונקציית שורש מוזזת, ערך מוחלט של פרבולה ומספר פתרונות לפי הגרף, קיצון של פונקציה אחרי שלוש טרנספורמציות, וזוגיות שפותרת משוואה.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: תחום קודם, הצבה מלאה ב-f(−x)f(-x), ובכל משוואה עם שורש — בדיקה. סעיף ב משתמש בתשובת סעיף א.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x+5−3f(x) = \sqrt{x + 5} - 3. א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת ההתחלה של הגרף.

תחום: x≥x \geq ____ ; התחלה: y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום: x≥x \geq -5 ; התחלה: y=y = -3

הפתרון:

x+5≥0 ⇒ x≥−5x + 5 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -5

תחום ההגדרה

f(−5)=0−3=−3\begin{aligned}f(-5) &= 0 - 3 \\ &= -3\end{aligned}

נקודת ההתחלה (−5, −3)(-5,\,-3)

הגרף מתחיל ב-(−5, −3)(-5,\,-3), מתחת לציר ה-xx, ועולה ימינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x+5−3f(x) = \sqrt{x + 5} - 3. ב. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x+5=3 ⇒ x+5=9 ⇒ x=4\begin{aligned}\sqrt{x + 5} &= 3 \ \Rightarrow \ x + 5 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מבודדים, מעלים בחזקת 2

9−3=0 ✓\sqrt{9} - 3 = 0 \ \checkmark

בדיקה, ו-4≥−54 \geq -5

(4, 0)(4,\,0). הגרף מתחיל בגובה −3-3 ועולה, ולכן חייב לחצות את הציר פעם אחת בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x+5−3f(x) = \sqrt{x + 5} - 3. ג. איך מתקבל הגרף של ff מהגרף של y=xy = \sqrt{x}?

  1. הזזה של 5 ימינה ו-3 למטה
  2. הזזה של 3 שמאלה ו-5 למטה
  3. הזזה של 5 שמאלה ו-3 למטה
  4. הזזה של 5 שמאלה ו-3 למעלה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הזזה של 5 שמאלה ו-3 למטה

הפתרון:

x+5=x−(−5) ⇒ p=−5\begin{aligned}x + 5 &= x - (-5) \ \Rightarrow \ p \\ &= -5\end{aligned}

בתוך השורש: שמאלה

−3 ⇒ k=−3-3 \ \Rightarrow \ k = -3

מחוץ: למטה

(0, 0)→(−5, −3)(0,\,0) \to (-5,\,-3)

בדיקה: נקודת ההתחלה מסעיף א

הנכונה: 5 שמאלה ו-3 למטה. נקודת ההתחלה שמצאתם בסעיף א, (−5, −3)(-5,\,-3), היא בדיוק (0, 0)(0,\,0) אחרי ההזזה הזאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

h(x) = |(x + 1)² − 4|
(-3,0)(1,0)(-1,4)-5-4-3-2-10123-112345678xy

נתונה g(x)=(x+1)2−4g(x) = (x + 1)^2 - 4 ו-h(x)=∣g(x)∣h(x) = |g(x)| (הגרף של hh למטה). א. מצאו את נקודות החיתוך של gg עם ציר ה-xx.

x1=x_1 = ____ , x2=x_2 = ____ (מהקטן לגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x1=x_1 = -3 , x2=x_2 = 1 (מהקטן לגדול)

הפתרון:

(x+1)2=4 ⇒ x+1=±2\begin{aligned}(x + 1)^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x + 1 \\ &= \pm 2\end{aligned}

שורש לשני האגפים, שני סימנים

x=−3 x=1\begin{aligned}x &= -3 \ \\ \quad x &= 1\end{aligned}

(−3, 0)(-3,\,0) ו-(1, 0)(1,\,0)

x=−3x = -3 ו-x=1x = 1, סימטריים סביב x=−1x = -1, ציר הסימטריה של הפרבולה. אלה גם נקודות האפס של hh: הקיפול לא מזיז אותן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

h(x) = |(x + 1)² − 4|
(-3,0)(1,0)(-1,4)-5-4-3-2-10123-112345678xy

נתונה g(x)=(x+1)2−4g(x) = (x + 1)^2 - 4 ו-h(x)=∣g(x)∣h(x) = |g(x)| (הגרף למטה). ב. מצאו את נקודת המקסימום של hh.

x=x = ____ , y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x = -1 , y=y = 4

הפתרון:

g: min⁡(−1, −4)g: \ \min (-1,\,-4)

הקודקוד של gg

h: (−1, ∣−4∣)=(−1, 4)h: \ (-1,\,|-4|) = (-1,\,4)

החלק שמתחת לציר מתקפל: מקסימום

מקסימום (−1, 4)(-1,\,4). הפסגה של hh נמצאת בדיוק מעל הבור של gg.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

h(x) = |(x + 1)² − 4|
(-3,0)(1,0)(-1,4)-5-4-3-2-10123-112345678xy

נתונה g(x)=(x+1)2−4g(x) = (x + 1)^2 - 4 ו-h(x)=∣g(x)∣h(x) = |g(x)| (הגרף למטה). ג. לאילו ערכי kk יש למשוואה h(x)=kh(x) = k בדיוק 2 פתרונות?

  1. 0<k<40 < k < 4
  2. k=4k = 4
  3. k=0k = 0 או k>4k > 4
  4. k>0k > 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג k=0k = 0 או k>4k > 4

הפתרון:

k=0: x=−3 x=1\begin{aligned}k &= 0: \ x \\ &= -3 \\ \ x &= 1\end{aligned}

נקודות האפס

k>4k > 4

ישר מעל הפסגה: רק הזרועות החיצוניות

0<k<4 ⇒ 4k=4 ⇒ 3\begin{aligned}0 < k < 4 \ \Rightarrow \ 4 \\ \quad k &= 4 \ \Rightarrow \ 3\end{aligned}

המקרים האחרים

הנכונה: k=0k = 0 או k>4k > 4. שני מקרים שונים נותנים שני פתרונות: הישר על הציר עצמו, והישר מעל הפסגה. בבחינה כותבים את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף של f
(1,5)(3,1)01234-3-2-11234567xy

בגרף שלמטה, לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 5)(1,\,5) ונקודת מינימום (3, 1)(3,\,1). א. מצאו את נקודת המקסימום של k(x)=−f(x−1)+2k(x) = -f(x - 1) + 2.

x=x = ____ , y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x = 4 , y=y = 1

הפתרון:

f(x−1): (2, 5), (4, 1)f(x - 1): \ (2,\,5) ,\ (4,\,1)

1 ימינה

−f(x−1): (2, −5), (4, −1)-f(x - 1): \ (2,\,-5) ,\ (4,\,-1)

שיקוף: הסוגים מתהפכים

+2: (2, −3) min⁡,(4, 1) max⁡+2: \ (2,\,-3) \ \min ,\quad (4,\,1) \ \max

2 למעלה

מקסימום (4, 1)(4,\,1). שלוש פעולות בסדר קבוע: הזזה אופקית, שיקוף, הזזה אנכית. הסוג נקבע בשיקוף בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגרף של f
(1,5)(3,1)01234-3-2-11234567xy

בגרף שלמטה, לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 5)(1,\,5) ונקודת מינימום (3, 1)(3,\,1). ב. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=3f(x) = 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

1<3<51 < 3 < 5

הישר y=3y = 3 עובר בין המינימום למקסימום

33

חיתוך משמאל ל-x=1x = 1, בין 11 ל-33, ומימין ל-33

3 פתרונות. קוראים מהגרף, לא מחשבים: ישר אופקי בין שני הקיצונים חותך גרף כזה שלוש פעמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה p(x)=x4−4x2+3p(x) = x^4 - 4x^2 + 3. א. קבעו אם pp זוגית, אי-זוגית או לא זו ולא זו.

  1. לא זו ולא זו: יש מספר חופשי
  2. לא זו ולא זו: p(0)≠0p(0) \neq 0
  3. זוגית: p(−x)=x4−4x2+3=p(x)p(-x) = x^4 - 4x^2 + 3 = p(x)
  4. אי-זוגית: p(−x)=−p(x)p(-x) = -p(x)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג זוגית: p(−x)=x4−4x2+3=p(x)p(-x) = x^4 - 4x^2 + 3 = p(x)

הפתרון:

p(−x)=(−x)4−4(−x)2+3=x4−4x2+3\begin{aligned}p(-x) &= (-x)^4 - 4(-x)^2 + 3 \\ &= x^4 - 4x^2 + 3\end{aligned}

מציבים −x-x

p(−x)=p(x)p(-x) = p(x)

זוגית

הנכונה: זוגית. המספר החופשי 33 הוא 3x03x^0, מעריך זוגי, ולא מפריע. p(0)=3≠0p(0) = 3 \neq 0 רק אומר שהגרף לא עובר בראשית, וזה מותר לפונקציה זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה p(x)=x4−4x2+3p(x) = x^4 - 4x^2 + 3. ב. כמה פתרונות יש למשוואה p(x)=0p(x) = 0, ומהו סכומם?

מספר הפתרונות: ____ ; הסכום: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר הפתרונות: 4 ; הסכום: 0

הפתרון:

(x2−1)(x2−3)=0(x^2 - 1)(x^2 - 3) = 0

פירוק: t2−4t+3t^2 - 4t + 3 עם t=x2t = x^2

x=±1 x=±3\begin{aligned}x &= \pm 1 \ \\ \quad x &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}

ארבעה פתרונות

1+(−1)+3+(−3)=01 + (-1) + \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0

הסכום

4 פתרונות וסכום 00. הסכום נובע מסעיף א: pp זוגית, ולכן כל פתרון xx מביא איתו את −x-x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת