הסתברות מותנית וטבלה דו-ממדית · הסתברות · כיתה י׳

בשכבה י׳ יש 200 תלמידים. שאלו כל אחד מהם אם הוא משחק בקבוצת ספורט. התשובות מסודרות בטבלה דו-ממדית: כל תלמיד נמצא במשבצת אחת בלבד. הסתכלו על הטבלה לפני הנוסחה.

200 תלמידי שכבה י׳

	בקבוצת ספורט	לא בקבוצה	סה״כ
בנים	60	40	100
בנות	30	70	100
סה״כ	90	110	200

השורה של הבנים לבדה היא «עולם» של 100 תלמידים. המשבצת המסומנת: בנים שמשחקים בקבוצת ספורט.

בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהוא משחק בקבוצת ספורט? ומה ההסתברות הזאת אם ידוע שנבחר בן?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{90}{200}=0.45$ . כשידוע שנבחר בן, מסתכלים רק על השורה של הבנים: $\frac{60}{100}=0.6$ . המידע שינה את ההסתברות.

ההגדרה

\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ \quad P(B)>0\end{aligned}

ההסתברות של $A$ בתנאי $B$

קוראים: «ההסתברות של $A$ בהינתן $B$ ». המאורע $B$ הוא מרחב המדגם החדש: מחלקים ב- $P(B)$ ולא ב-1. בטבלה של מספרים זה פשוט: $P(A \mid B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ — המשבצת חלקי הסכום של השורה או העמודה של התנאי.

$P(A \mid B)$ אינה $P(B \mid A)$

פעילות אינטראקטיבית

אותה משבצת, שני מכנים

$A$ — משחק בקבוצת ספורט, $B$ — בן. במשבצת המשותפת 60 תלמידים.

n(A \cap B)=60

$P(A \mid B)$ : ידוע שנבחר בן. מחלקים בשורה של הבנים.

\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{60}{100} \\ &= 0.6\end{aligned}

$P(B \mid A)$ : ידוע שהתלמיד משחק בקבוצה. מחלקים בעמודה של הספורט.

\begin{aligned}P(B \mid A) &= \frac{60}{90} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

אותו מונה, מכנה אחר. מה שאחרי הקו הוא מה שידוע, והוא קובע במה מחלקים.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמעט כל שחקני הכדורסל בבית הספר גבוהים מ-1.80 מ׳. האם מכאן שכמעט כל מי שגבוה מ-1.80 מ׳ משחק כדורסל?

להציג את התשובה והפתרון

לא. נסמן $K$ — משחק כדורסל, $G$ — גבוה מ-1.80 מ׳. הנתון הוא ש- $P(G \mid K)$ קרובה ל-1. השאלה היא על $P(K \mid G)$ : מבין כל הגבוהים, כמה משחקים. יש הרבה גבוהים שאינם משחקים, ולכן היא יכולה להיות קטנה.

טבלה של הסתברויות

לפעמים הטבלה נותנת הסתברויות ולא מספרים של אנשים. הכללים זהים: סכום כל המשבצות הפנימיות הוא 1, והשוליים הם סכומי השורות והעמודות. זו יכולה להיות טבלה של 2 על 2 או של 2 על 3.

סקר תחבורה: הסתברויות

	אוטובוס	רכבת	רכב	סה״כ
צעירים	0.16	0.12	0.12	0.4
מבוגרים	0.14	0.08	0.38	0.6
סה״כ	0.3	0.2	0.5	1

כל משבצת פנימית היא הסתברות של «גם וגם». סכום כל המשבצות הפנימיות הוא 1.

קוראים את הטבלה

בוחרים באקראי אדם מהסקר. $Y$ — צעיר, $R$ — נוסע ברכבת.

\begin{aligned}P(R) &= 0.12+0.08 \\ &= 0.2\end{aligned}

סכום העמודה של הרכבת

P(Y \cap R)=0.12

משבצת אחת

\begin{aligned}P(R \mid Y) &= \frac{0.12}{0.4} \\ &= 0.3\end{aligned}

מבין הצעירים: מחלקים בסכום השורה

\begin{aligned}P(Y \mid R) &= \frac{0.12}{0.2} \\ &= 0.6\end{aligned}

מבין נוסעי הרכבת: מחלקים בסכום העמודה

נסמן $C$ — נוסע ברכב. מה ההסתברות שאדם מהסקר אינו נוסע ברכב, אם ידוע שהוא מבוגר?

להציג את התשובה והפתרון

$P(\bar{C} \mid \bar{Y})=\frac{0.14+0.08}{0.6}=\frac{0.22}{0.6}=\frac{11}{30}$ . או דרך המשלים: $1-\frac{0.38}{0.6}=\frac{11}{30}$ .

לפני כל חילוק שאלו: מה ידוע? מה שידוע הוא המכנה — השורה או העמודה שלו, ולא כל הטבלה.

שלוש טעויות בהסתברות מותנית.

P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}

P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

מחלקים בהסתברות של התנאי — מה שכתוב אחרי הקו.

P(A \mid B)=P(A \cap B)

P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

«בהינתן» אינו «וגם». $P(A \cap B)$ מחושבת מתוך כל $U$ , ו- $P(A \mid B)$ מתוך $B$ בלבד.

P(A \mid B)=P(B \mid A)

P(A \mid B) \cdot P(B)=P(B \mid A) \cdot P(A)

המונה זהה, המכנים שונים. שתיהן שוות רק כש- $P(A)=P(B)$ .

תרגילים

תרגיל 1

	מסלול ארוך	מסלול קצר	סה״כ
ברכב	75	75	150
באוטובוס	25	75	100
סה״כ	100	150	250

בסקר בקרב 250 מבקרים בפארק לאומי נשאלו המבקרים איך הגיעו ובאיזה מסלול טיילו. בוחרים מבקר באקראי. מה ההסתברות שהמבקר טייל במסלול הארוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{75+25}{250} &= \frac{100}{250} \\ &= 0.4\end{aligned}

סכום העמודה של המסלול הארוך, חלקי כל המבקרים

אין כאן תנאי, ולכן המכנה הוא כל 250 המבקרים.

ההגדרה

P(A∣B)P(A \mid B)P(A∣B) אינה P(B∣A)P(B \mid A)P(B∣A)

טבלה של הסתברויות

תרגילים

חזרה — מתנדבים בשכונה

חזרה — קורקינט ואופניים

חזרה — מבחן שחייה במחנה

חזרה — משמרות בחברה

חזרה — הסמכה למצילים

חזרה — מבחנים במכון לשפות

השיעור הבא מחכה ב-elev

$P(A \mid B)$ אינה $P(B \mid A)$