מאורעות, דיאגרמת ון וכללי ההסתברות · הסתברות · כיתה י׳

מטילים קובייה הוגנת. כל התוצאות האפשריות יחד הן מרחב המדגם $U=\{1,2,3,4,5,6\}$ . מאורע הוא קבוצה של תוצאות מתוך $U$ . נסתכל על שני מאורעות: $A$ — «יצא מספר זוגי», ו- $B$ — «יצא מספר גדול מ-3». לפני כל כלל, הסתכלו איפה כל תוצאה נמצאת בציור.

הטלת קובייה:

A

— זוגי,

B

— גדול מ-3

כל תוצאה נמצאת באזור אחד בלבד. האזור המשותף לשני העיגולים הוא

A \cap B

, והמלבן כולו הוא

U

לפי הציור: אילו תוצאות נמצאות ב- $A \cap B$ , אילו ב- $A \cup B$ ואילו ב- $\bar{A}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$A \cap B=\{4,6\}$ — גם זוגי וגם גדול מ-3. $A \cup B=\{2,4,5,6\}$ — לפחות אחד מהשניים. $\bar{A}=\{1,3,5\}$ — כל מה שנמצא מחוץ לעיגול של $A$ .

המילים של הפרק

A \cap B

חיתוך: $A$ וגם $B$

A \cup B

איחוד: $A$ או $B$ , או שניהם

\bar{A}

המאורע המשלים: כל מה שב- $U$ ואינו ב- $A$

A \cap B=\emptyset

מאורעות זרים: אין להם תוצאה משותפת

A \subseteq B

$A$ מוכל ב- $B$ : כל תוצאה של $A$ היא גם תוצאה של $B$

U \ ,\ \emptyset

מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי

שלוש דרכים לקבל הסתברות

P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}

ספירה, כשכל התוצאות שוות סיכוי. בקובייה: $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

P(A) \approx \frac{k}{n}

שכיחות יחסית: חוזרים על הניסוי $n$ פעמים, ו- $A$ קרה $k$ פעמים

P(A)=\frac{S_A}{S}

יחס שטחים: נקודה נבחרת באקראי בתוך צורה ששטחה $S$ , ו- $S_A$ הוא השטח של האזור של $A$

נקודה נבחרת באקראי על לוח ששטחו 1600 סמ״ר. על הלוח מסומן אזור ששטחו 200 סמ״ר. מה ההסתברות שהנקודה תיפול באזור המסומן?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{200}{1600}=\frac{1}{8}$ . ההסתברות היא החלק מהשטח שהאזור תופס. הצורה של האזור לא משנה, רק השטח שלו.

כללי ההסתברות

0 \leq P(A) \leq 1

לכל מאורע

\begin{aligned}P(U) &= 1 \\ \quad P(\emptyset) &= 0\end{aligned}

המאורע הוודאי והמאורע הבלתי אפשרי

A \subseteq B \ \Rightarrow \ P(A) \leq P(B)

מאורע שמכיל יותר תוצאות — הסתברות גדולה יותר או שווה

P(\bar{A})=1-P(A)

המשלים: $A$ ו- $\bar{A}$ יחד הם כל $U$

האיחוד — בלי לספור פעמיים

פעילות אינטראקטיבית

למה מחסרים את החיתוך?

בקובייה: $A$ — זוגי, $B$ — גדול מ-3. מה $P(A \cup B)$ ?

P(A \cup B)=\ ?

ב- $A$ שלוש תוצאות, וגם ב- $B$ שלוש תוצאות. האם ב- $A \cup B$ יש שש תוצאות?

3+3=6 \ ?

לא: 4 ו-6 נמצאות בשני העיגולים, ולכן נספרו פעמיים.

A \cap B=\{4,6\}

מורידים את מה שנספר פעמיים:

\begin{aligned}\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{2}{6} &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

בדיקה בציור: $A \cup B=\{2,4,5,6\}$ — ארבע תוצאות מתוך שש ✓

לעשות את הפעילות ב-elev

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

כשהמאורעות זרים, $P(A \cap B)=0$ , והנוסחה מתקצרת ל- $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ . הנוסחה קושרת ארבעה מספרים: כל שלושה מהם נותנים את הרביעי.

שתי שפות בשכבה

בשכבה 200 תלמידים. 120 לומדים ערבית, 70 לומדים צרפתית, ו-40 לומדים את שתי השפות. בוחרים תלמיד באקראי. $A$ — לומד ערבית, $B$ — לומד צרפתית.

\begin{aligned}P(A) &= \frac{120}{200} \\ &= 0.6 \\ \quad P(B) &= \frac{70}{200} \\ &= 0.35 \\ \quad P(A \cap B) &= \frac{40}{200} \\ &= 0.2\end{aligned}

מתרגמים כל מספר להסתברות

\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.6+0.35-0.2 \\ &= 0.75\end{aligned}

לפחות אחת משתי השפות

\begin{aligned}P(\overline{A \cup B}) &= 1-0.75 \\ &= 0.25\end{aligned}

אף אחת מהשתיים: המשלים של האיחוד

\begin{aligned}P(A \cap \bar{B}) &= 0.6-0.2 \\ &= 0.4\end{aligned}

ערבית בלבד: מ- $P(A)$ מורידים את החיתוך

$P(A)=0.7$ ו- $P(B)=0.5$ . האם $A$ ו- $B$ יכולים להיות זרים?

להציג את התשובה והפתרון

לא. אילו היו זרים, היה יוצא $P(A \cup B)=0.7+0.5=1.2>1$ , וזה בלתי אפשרי. לכן $P(A \cap B) \geq 0.2$ .

בכל שאלה על שני מאורעות, ציירו דיאגרמת ון ומלאו קודם את החיתוך. רק אחר כך ממלאים את מה שנשאר בכל עיגול, ובסוף את מה שמחוץ לשניהם.

שלוש טעויות בכללים.

P(A \cup B)=P(A)+P(B)

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

החיבור הפשוט נכון רק למאורעות זרים. אחרת החיתוך נספר פעמיים.

\begin{aligned}A \cap B &= \emptyset \ \Rightarrow \ B \\ &= \bar{A}\end{aligned}

\begin{aligned}B &= \bar{A} \ \Rightarrow \ A \cap B \\ &= \emptyset\end{aligned}

מאורעות משלימים הם תמיד זרים, אבל זרים אינם תמיד משלימים. בקובייה $\{1\}$ ו- $\{2\}$ זרים, ויחד הם לא כל $U$ .

P(A \cap \bar{B})=P(A)

P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)

« $A$ בלבד» הוא העיגול של $A$ בלי החיתוך.

תרגילים

תרגיל 1

מתוך עשרה קלפים הממוספרים 1 עד 10 בוחרים קלף אחד באקראי. $A$ — המספר זוגי, $B$ — המספר מתחלק ב-3. מהו $A \cap B$ ?

$\{6\}$
$\{3,9\}$
$\emptyset$
$\{2,3,4,6,8,9,10\}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\{6\}$

הפתרון:

\begin{aligned}A &= \{2,4,6,8,10\} \\ \quad B &= \{3,6,9\}\end{aligned}

רושמים את שני המאורעות

A \cap B=\{6\}

המספרים שנמצאים בשניהם

הנכונה: $\{6\}$ . $\{2,3,4,6,8,9,10\}$ הוא האיחוד, ו- $\{3,9\}$ הוא $B$ בלי החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מתוך עשרה קלפים הממוספרים 1 עד 10 בוחרים קלף אחד באקראי. $A$ — המספר זוגי, $B$ — המספר מתחלק ב-3. מה $P(A \cup B)$ ? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7

הפתרון:

A \cup B=\{2,3,4,6,8,9,10\}

שבעה קלפים

\begin{aligned}P(A \cup B) &= \frac{5}{10}+\frac{3}{10}-\frac{1}{10} \\ &= \frac{7}{10}\end{aligned}

אותה תשובה בנוסחת האיחוד

$0.8$ היא התשובה של מי שחיבר $\frac{5}{10}+\frac{3}{10}$ ושכח שהקלף 6 נספר פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מתוך עשרה קלפים הממוספרים 1 עד 10 בוחרים קלף אחד באקראי. $A$ — המספר זוגי, $B$ — המספר מתחלק ב-3. מה ההסתברות שהמספר אינו זוגי ואינו מתחלק ב-3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

\bar{A} \cap \bar{B}=\overline{A \cup B}

לא זה ולא זה: המשלים של האיחוד

1-0.7=0.3

הקלפים $\{1,5,7\}$

«לא זה ולא זה» הוא המשלים של «לפחות אחד». מי שחישב $1-P(A \cap B)$ קיבל את המשלים של «שניהם».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

אם $A$ ו- $B$ מאורעות משלימים, אז הם זרים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}B &= \bar{A} \ \Rightarrow \ A \cap B \\ &= A \cap \bar{A} \\ &= \emptyset\end{aligned}

לתוצאה אי אפשר להיות גם ב- $A$ וגם מחוץ ל- $A$

נכון. המשלים מכיל בדיוק את מה שאינו ב- $A$ , ולכן אין לו שום תוצאה משותפת עם $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אם $A$ ו- $B$ מאורעות זרים, אז הם משלימים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}A &= \{1\} \\ \ B &= \{2\} \\ \quad A \cap B &= \emptyset\end{aligned}

בקובייה: זרים

A \cup B=\{1,2\} \neq U

אבל יחד הם לא כל מרחב המדגם

לא נכון. משלימים הם זרים וגם יחד מכסים את כל $U$ . זרים אינם חייבים לכסות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון: $P(A)=0.5$ , $P(B)=0.4$ ו- $P(A \cup B)=0.7$ . מצאו את $P(A \cap B)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

נוסחת האיחוד

\begin{aligned}0.7 &= 0.5+0.4-P(A \cap B) \ \Rightarrow \ P(A \cap B) \\ &= 0.2\end{aligned}

מבודדים את החיתוך

הנוסחה קושרת ארבעה מספרים. מי שענה $0.9$ חיבר את $P(A)$ ו- $P(B)$ ושכח שהאיחוד נתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון: $P(A)=0.6$ ו- $P(B)=0.7$ . מה נכון בוודאות?

$A \subseteq B$
$A$ ו- $B$ זרים
$P(A \cap B) \geq 0.3$
$P(A \cup B)=1.3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $P(A \cap B) \geq 0.3$

הפתרון:

P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)

נוסחת האיחוד, הפוכה

P(A \cup B) \leq 1 \ \Rightarrow \ P(A \cap B) \geq 0.6+0.7-1=0.3

הסתברות אינה עולה על 1

הנכונה: $P(A \cap B) \geq 0.3$ . אילו היו זרים, האיחוד היה $1.3>1$ . ו- $A \subseteq B$ אפשרי, אבל לא בטוח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשכונה 80 משפחות. 36 מחזיקות כלב, 28 מחזיקות חתול, ו-12 מחזיקות גם כלב וגם חתול. בוחרים משפחה באקראי. מה ההסתברות שאין לה כלב ואין לה חתול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.35

הפתרון:

36+28-12=52

משפחות עם כלב או חתול — החיתוך נספר פעם אחת

80-52=28

בלי אף אחד מהשניים

\frac{28}{80}=0.35

ההסתברות

מי שחישב $80-36-28=16$ הוריד את 12 המשפחות שבחיתוך פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כדור נוחת בנקודה אקראית במגרש ששטחו 600 מ״ר. בתוך המגרש ארגז חול ששטחו 90 מ״ר. מה ההסתברות שהכדור לא ינחת בארגז החול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.85

הפתרון:

\begin{aligned}P(A) &= \frac{90}{600} \\ &= 0.15\end{aligned}

יחס שטחים: ארגז החול מתוך המגרש

\begin{aligned}P(\bar{A}) &= 1-0.15 \\ &= 0.85\end{aligned}

המשלים

השאלה היא על המשלים. $0.15$ היא ההסתברות לנחות בתוך ארגז החול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מטילים קובייה. $A$ — יצא 6, $B$ — יצא מספר זוגי. איזו טענה נכונה?

$A$ ו- $B$ זרים
$A$ ו- $B$ משלימים
$B \subseteq A$ , ולכן $P(B) \leq P(A)$
$A \subseteq B$ , ולכן $P(A) \leq P(B)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $A \subseteq B$ , ולכן $P(A) \leq P(B)$

הפתרון:

\begin{aligned}A &= \{6\} \\ \quad B &= \{2,4,6\}\end{aligned}

רושמים את המאורעות

A \subseteq B \ \Rightarrow \ \frac{1}{6} \leq \frac{3}{6}

כל תוצאה של $A$ היא גם של $B$

הנכונה: $A \subseteq B$ . $A$ ו- $B$ אינם זרים: ל-6 יש מקום בשניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — מבקרים במוזיאון

תרגיל 11

ההסתברות שמבקר במוזיאון הוא מנוי של המוזיאון גדולה ב- $0.2$ מההסתברות שהוא אינו מנוי. א. בוחרים באקראי מבקר במוזיאון. מה ההסתברות שהוא מנוי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

\begin{aligned}P(M) &= x \\ \quad P(\bar{M}) &= x-0.2\end{aligned}

נסמן $M$ — המבקר מנוי

x+(x-0.2)=1

מאורע והמשלים שלו: סכום ההסתברויות 1

\begin{aligned}2x &= 1.2 \Rightarrow x \\ &= 0.6\end{aligned}

פותרים

$P(M)=0.6$ ו- $P(\bar{M})=0.4$ , וההפרש ביניהן $0.2$ ✓. המלכודת: לענות $0.2$ — זה ההפרש, לא ההסתברות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ההסתברות שמבקר במוזיאון הוא מנוי היא $0.6$ . $45\%$ מהמבקרים מגיעים בסיור מודרך, ו- $25\%$ מהמבקרים אינם מנויים ואינם מגיעים בסיור מודרך. ב. בוחרים באקראי מבקר. מה ההסתברות שהוא מנוי ו/או מגיע בסיור מודרך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

G

נסמן $G$ — מגיע בסיור מודרך. «ו/או» הוא האיחוד $M \cup G$

P(\bar{M} \cap \bar{G})=0.25

מחוץ לשני העיגולים בדיאגרמת ון

\begin{aligned}P(M \cup G) &= 1-0.25 \\ &= 0.75\end{aligned}

האיחוד הוא המשלים של «אף אחד מהשניים»

$0.75$ . הנתונים $0.6$ ו- $0.45$ לא נחוצים לשאלה הזאת: מה שמחוץ לאיחוד כבר נתון. הם כן נותנים את החיתוך: $0.6+0.45-0.75=0.3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המילים של הפרק

שלוש דרכים לקבל הסתברות

כללי ההסתברות

האיחוד — בלי לספור פעמיים

תרגילים

חזרה — מבקרים במוזיאון

השיעור הבא מחכה ב-elev