מאורעות בלתי תלויים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בנתב״ג מגרילים יעדים לשתי טיסות. לטיסה הראשונה יש 5 יעדים אפשריים, ולטיסה השנייה 7, ושתי ההגרלות לא משפיעות זו על זו. כל משבצת בלוח היא צירוף אחד של שני יעדים. לחצו והסתכלו איך השורה והעמודה נחתכות.

נסמן AA — ארה״ב בטיסה הראשונה, BB — דובאי בטיסה השנייה. לפי הלוח, מה P(A)P(A) ומה P(A∣B)P(A \mid B)?

להציג את התשובה והפתרון

P(A)=735=15P(A)=\frac{7}{35}=\frac{1}{5}, ו-P(A∣B)=15P(A \mid B)=\frac{1}{5}: משבצת אחת מתוך חמש בעמודה של דובאי. שוות: הידיעה על BB לא שינתה את AA.

ההגדרה ושלושה מבחנים

AA ו-BB בלתי תלויים אם הידיעה שאחד מהם קרה לא משנה את ההסתברות של השני. יש שלוש דרכים שקולות לבדוק זאת, כאשר 0<P(B)<10<P(B)<1:

P(A∣B)=P(A)P(A \mid B)=P(A)

הידיעה BB לא משנה את AA

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

כלל הכפל, בלי תנאי

P(A∣B)=P(A∣Bˉ)P(A \mid B)=P(A \mid \bar{B})

ל-AA אותה הסתברות כש-BB קרה וכש-BB לא קרה

למה שלושת המבחנים אומרים אותו דבר

P(A)=0.4P(A)=0.4, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∩B)=0.2P(A \cap B)=0.2. האם AA ו-BB בלתי תלויים?

להציג את התשובה והפתרון

0.4⋅0.5=0.2=P(A∩B)0.4 \cdot 0.5=0.2=P(A \cap B), ולכן כן. וכמו שההוכחה אומרת, גם P(A∣B)=0.20.5=0.4=P(A)P(A \mid B)=\frac{0.2}{0.5}=0.4=P(A).

אי-תלות בטבלה דו-ממדית

איך מגיעים לבית הספר? 200 תלמידים
באוטובוסלא באוטובוססה״כ
בנים543690
בנות6644110
סה״כ12080200

האם אופן ההגעה תלוי במין?

בוחרים תלמיד באקראי. AA — מגיע באוטובוס, BB — בן.

P(A∣B)=5490=0.6\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{54}{90} \\ &= 0.6\end{aligned}

בין הבנים

P(A∣Bˉ)=66110=0.6\begin{aligned}P(A \mid \bar{B}) &= \frac{66}{110} \\ &= 0.6\end{aligned}

בין הבנות: המבחן השלישי מתקיים

P(A)=120200=0.6\begin{aligned}P(A) &= \frac{120}{200} \\ &= 0.6\end{aligned}

בין כל התלמידים: גם המבחן הראשון

P(A∩B)=54200=0.27=0.6⋅0.45\begin{aligned}P(A \cap B) &= \frac{54}{200} \\ &= 0.27 \\ &= 0.6 \cdot 0.45\end{aligned}

והמבחן השני, עם P(B)=90200=0.45P(B)=\frac{90}{200}=0.45

זרים אינם בלתי תלויים

זה הבלבול הנפוץ ביותר בפרק. זרים פירושו שהמאורעות אינם יכולים לקרות יחד. אז אם AA קרה, BB בוודאות לא קרה: הידיעה שינתה הכול. לכן מאורעות זרים שהסתברויותיהם חיוביות הם תמיד תלויים: P(A∩B)=0P(A \cap B)=0, אבל P(A)⋅P(B)>0P(A) \cdot P(B)>0.

ניסויים חוזרים בלתי תלויים

כשחוזרים על ניסוי והחזרות לא משפיעות זו על זו, כופלים לאורך המסלול. את «לפחות פעם אחת» מחשבים דרך המשלים, «אף פעם לא».

מבחן עם שלוש שאלות

במבחן שלוש שאלות. מיכל פותרת כל שאלה נכון בהסתברות 0.8, ואין קשר בין השאלות.

0.83=0.5120.8^3=0.512

שלוש תשובות נכונות: מסלול אחד

0.23=0.0080.2^3=0.008

אף תשובה נכונה

1−0.008=0.9921-0.008=0.992

לפחות תשובה נכונה אחת: המשלים

3⋅0.82⋅0.2=0.3843 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2=0.384

בדיוק שתיים: שלושה מסלולים, בכל אחד המכפלה 0.8⋅0.8⋅0.20.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2

מה ההסתברות שמיכל תפתור נכון בדיוק שאלה אחת?

להציג את התשובה והפתרון

3⋅0.8⋅0.22=0.0963 \cdot 0.8 \cdot 0.2^2=0.096. בדיקה: 0.512+0.384+0.096+0.008=10.512+0.384+0.096+0.008=1 ✓

כדי להוכיח אי-תלות, מספיק מבחן אחד שמתקיים. כדי להראות תלות, מספיק מבחן אחד שאינו מתקיים.

שלוש טעויות באי-תלות.

P(A∩B)=0.1⋅0.3P(A \cap B)=0.1 \cdot 0.3
P(A∩B)=0P(A \cap B)=0

כאן AA ו-BB זרים, עם P(A)=0.1P(A)=0.1 ו-P(B)=0.3P(B)=0.3: אין להם תוצאה משותפת. כלל המכפלה P(A)⋅P(B)P(A) \cdot P(B) שמור למאורעות בלתי תלויים.

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)

המכפלה הפשוטה נכונה רק במאורעות בלתי תלויים. בכל מקרה אחר כופלים בהסתברות המותנית, כמו בעץ בלי החזרה.

0.8+0.8+0.8=2.40.8+0.8+0.8=2.4
1−0.23=0.9921-0.2^3=0.992

חיבור הסתברויות של מאורעות שאינם זרים סופר פעמיים, ואפילו עובר את 1. «לפחות פעם אחת» מחשבים דרך המשלים.

תרגילים

תרגיל 1

AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.6P(B)=0.6. מה P(A∩B)P(A \cap B)?

  1. 0.180.18
  2. 00
  3. 0.90.9
  4. 0.50.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0.180.18

הפתרון:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=0.3⋅0.6=0.18\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B) \\ &= 0.3 \cdot 0.6 \\ &= 0.18\end{aligned}

המבחן השני, כנתון

הנכונה: 0.180.18. 0.90.9 הוא סכום ולא מכפלה. 00 נכון למאורעות זרים, לא לבלתי תלויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.6P(B)=0.6. מה P(A∪B)P(A \cup B)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.72

הפתרון:

P(A∩B)=0.3⋅0.6=0.18\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.3 \cdot 0.6 \\ &= 0.18\end{aligned}

אי-תלות

P(A∪B)=0.3+0.6−0.18=0.72\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3+0.6-0.18 \\ &= 0.72\end{aligned}

נוסחת האיחוד

אי-תלות אינה זרות: החיתוך הוא 0.180.18, לא 00. מי שענה 0.90.9 שכח להחסיר אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∩B)=0.25P(A \cap B)=0.25. המאורעות AA ו-BB בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

P(A)⋅P(B)=0.5⋅0.4=0.2\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.5 \cdot 0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}

המכפלה

0.2≠0.250.2 \neq 0.25

המבחן השני אינו מתקיים

לא נכון: המאורעות תלויים. P(A∣B)=0.250.4=0.625≠0.5P(A \mid B)=\frac{0.25}{0.4}=0.625 \neq 0.5 — הידיעה על BB מעלה את ההסתברות של AA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

אם AA ו-BB זרים, ו-P(A)>0P(A)>0 ו-P(B)>0P(B)>0, אז AA ו-BB תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(A∩B)=0P(A \cap B)=0

זרים

P(A)⋅P(B)>0P(A) \cdot P(B)>0

מכפלה של שני מספרים חיוביים

P(A∩B)≠P(A)⋅P(B)P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)

המבחן השני אינו מתקיים

נכון. אם AA קרה, BB בוודאות לא קרה: P(B∣A)=0≠P(B)P(B \mid A)=0 \neq P(B). זרים ובלתי תלויים הם כמעט הפכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A)=0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B)=0.7. מצאו את P(B)P(B).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

0.7=0.4+p−0.4p0.7=0.4+p-0.4p

נסמן p=P(B)p=P(B). נוסחת האיחוד, עם P(A∩B)=0.4pP(A \cap B)=0.4p

0.3=0.6p ⇒ p=0.5\begin{aligned}0.3 &= 0.6p \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

פותרים

מי שענה 0.30.3 השתמש בנוסחה של מאורעות זרים, 0.7−0.40.7-0.4. כאן החיתוך הוא 0.4p0.4p, ולא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חטיבת בינייםחטיבה עליונהסה״כ
בחוג רובוטיקה483280
לא בחוג192128320
סה״כ240160400

בחטיבה 400 תלמידים. הטבלה מראה כמה מהם משתתפים בחוג רובוטיקה. נסמן RR — משתתף בחוג, MM — לומד בחטיבת הביניים. האם RR ו-MM בלתי תלויים?

  1. לא: בחטיבת הביניים יותר משתתפים, 48 מול 32
  2. כן: P(R∣M)=P(R∣Mˉ)=0.2P(R \mid M)=P(R \mid \bar{M})=0.2
  3. אי אפשר לדעת בלי לדעת כמה בנים יש בחוג
  4. לא: P(R∩M)=0.12≠0.2P(R \cap M)=0.12 \neq 0.2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כן: P(R∣M)=P(R∣Mˉ)=0.2P(R \mid M)=P(R \mid \bar{M})=0.2

הפתרון:

P(R∣M)=48240=0.2\begin{aligned}P(R \mid M) &= \frac{48}{240} \\ &= 0.2\end{aligned}

בחטיבת הביניים

P(R∣Mˉ)=32160=0.2\begin{aligned}P(R \mid \bar{M}) &= \frac{32}{160} \\ &= 0.2\end{aligned}

בחטיבה העליונה: אותו שיעור

P(R∩M)=48400=0.12=0.2⋅0.6\begin{aligned}P(R \cap M) &= \frac{48}{400} \\ &= 0.12 \\ &= 0.2 \cdot 0.6\end{aligned}

גם המבחן השני מתקיים

הנכונה: כן. 48 מול 32 משווה מספרים, אבל בחטיבת הביניים יש גם יותר תלמידים. 0.120.12 צריך להשוות ל-P(R)⋅P(M)=0.2⋅0.6P(R) \cdot P(M)=0.2 \cdot 0.6, ולא ל-0.20.2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מטילים מטבע הוגן ארבע פעמים. מה ההסתברות שלפחות פעם אחת יצא «עץ»?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.9375

הפתרון:

(12)4=116\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}

אף פעם לא «עץ»: ארבע פעמים «פלי»

1−116=1516=0.9375\begin{aligned}1-\frac{1}{16} &= \frac{15}{16} \\ &= 0.9375\end{aligned}

המשלים

ארבע ההטלות בלתי תלויות, ולכן כופלים. 4⋅12=24 \cdot \frac{1}{2}=2 אינו הסתברות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במבחן שלושה תרגילים. עמית פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.9, את השני בהסתברות 0.8 ואת השלישי בהסתברות 0.5, ואין קשר בין התרגילים. מה ההסתברות שעמית יפתור נכון את שלושת התרגילים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.36

הפתרון:

0.9⋅0.8⋅0.5=0.360.9 \cdot 0.8 \cdot 0.5=0.36

אי-תלות: כופלים

מסלול אחד בעץ של שלושה שלבים. אין צורך בעץ המלא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במבחן שלושה תרגילים. עמית פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.9, את השני בהסתברות 0.8 ואת השלישי בהסתברות 0.5, ואין קשר בין התרגילים. מה ההסתברות שעמית יפתור נכון בדיוק שני תרגילים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.49

הפתרון:

0.9⋅0.8⋅0.5=0.360.9 \cdot 0.8 \cdot 0.5=0.36

הראשון והשני נכונים, השלישי לא

0.9⋅0.2⋅0.5=0.090.9 \cdot 0.2 \cdot 0.5=0.09

הראשון והשלישי נכונים, השני לא

0.1⋅0.8⋅0.5=0.040.1 \cdot 0.8 \cdot 0.5=0.04

השני והשלישי נכונים, הראשון לא

0.36+0.09+0.04=0.490.36+0.09+0.04=0.49

שלושה מסלולים זרים

כאן ההסתברויות שונות, ולכן כל מסלול מחושב לבד. 3⋅0.363 \cdot 0.36 מניח שכל המסלולים שווים — ואינם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.2P(A)=0.2 ו-P(B)=0.5P(B)=0.5. השלימו.

P(A∣B)=P(A \mid B)= ____ ; P(A∣Bˉ)=P(A \mid \bar{B})= ____ ; P(Aˉ∩Bˉ)=P(\bar{A} \cap \bar{B})= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P(A∣B)=P(A \mid B)= 0.2 ; P(A∣Bˉ)=P(A \mid \bar{B})= 0.2 ; P(Aˉ∩Bˉ)=P(\bar{A} \cap \bar{B})= 0.4

הפתרון:

P(A∣B)=P(A)=0.2\begin{aligned}P(A \mid B) &= P(A) \\ &= 0.2\end{aligned}

המבחן הראשון

P(A∣Bˉ)=P(A∣B)=0.2\begin{aligned}P(A \mid \bar{B}) &= P(A \mid B) \\ &= 0.2\end{aligned}

המבחן השלישי

P(Aˉ∩Bˉ)=0.8⋅0.5=0.4\begin{aligned}P(\bar{A} \cap \bar{B}) &= 0.8 \cdot 0.5 \\ &= 0.4\end{aligned}

גם Aˉ\bar{A} ו-Bˉ\bar{B} בלתי תלויים

כשמאורעות בלתי תלויים, גם המשלימים שלהם בלתי תלויים. בדיקה: P(A∪B)=0.2+0.5−0.1=0.6P(A \cup B)=0.2+0.5-0.1=0.6, והמשלים שלו 0.40.4 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת