פותרים יחד · הסתברות · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: טבלה דו-ממדית מאחוזים, שתי קופסאות ובייס, משחקים שתלויים זה בזה עם פרמטר, שתי שקיות שמהן מסיקים הרכב, ובדיקת אי-תלות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — טבלה דו-ממדית מאחוזים

פעילות אינטראקטיבית

בבית ספר 500 תלמידים. 40% מהם לומדים במגמת מחשבים. מבין הלומדים במגמת מחשבים 75% בנים, ומבין שאר התלמידים 50% בנים. נסמן $C$ — לומד במגמת מחשבים, $M$ — בן. א. בנו טבלה דו-ממדית של מספרי התלמידים. ב. בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהוא בן? ג. ידוע שנבחרה בת. מה ההסתברות שהיא לומדת במגמת מחשבים?

\begin{aligned}n &= 500 \\ \quad P(C) &= 0.4 \\ \quad P(M \mid C) &= 0.75 \\ \quad P(M \mid \bar{C}) &= 0.5\end{aligned}

לחצו «להתחיל». האחוזים של הבנים הם אחוזים מתוך המגמה, לא מתוך כל בית הספר.

א. עמודות

\begin{aligned}0.4 \cdot 500 &= 200 \\ \quad 500-200 &= 300\end{aligned}

מגמת מחשבים ושאר התלמידים.

א. בנים

\begin{aligned}0.75 \cdot 200 &= 150 \\ \quad 0.5 \cdot 300 &= 150\end{aligned}

בנים בכל עמודה. הבנות הן מה שנשאר: 50 במגמה ו-150 מחוצה לה.

א. שוליים

\begin{aligned}150+150 &= 300 \\ \quad 50+150 &= 200\end{aligned}

סכום השורה של הבנים ושל הבנות. בדיקה: $300+200=500$ ✓

ב.

\begin{aligned}P(M) &= \frac{300}{500} \\ &= 0.6\end{aligned}

שורת הבנים, חלקי כל התלמידים.

ג.

\begin{aligned}P(C \mid \bar{M}) &= \frac{50}{200} \\ &= 0.25\end{aligned}

ידוע שנבחרה בת: המכנה הוא שורת הבנות, 200, ולא 500.

הנתון 75% הוא $P(M \mid C)$ , ולא $P(C \mid M)$ . מהטבלה: $P(C \mid M)=\frac{150}{300}=0.5$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם המאורעות $C$ ו- $M$ בלתי תלויים?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $P(C \mid M)=0.5$ , אבל $P(C)=0.4$ . בין הבנים שיעור הלומדים במגמה גבוה יותר.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שתי קופסאות: הסתברות שלמה ובייס

פעילות אינטראקטיבית

שני כדורים מאחת משתי קופסאות

בקופסה א׳ 3 כדורים לבנים ו-2 שחורים. בקופסה ב׳ כדור לבן אחד ו-3 שחורים. בוחרים אחת משתי הקופסאות באקראי, בהסתברות שווה, ומוציאים ממנה שני כדורים בלי החזרה. נסמן $A$ — נבחרה קופסה א׳, $S$ — שני הכדורים שחורים. א. מה ההסתברות ששני הכדורים שחורים? ב. ידוע ששני הכדורים שחורים. מה ההסתברות שנבחרה קופסה א׳?

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{10}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{5}{6}$

מה השלב הראשון בעץ?

בחירת הקופסה: $\frac{1}{2}$ לכל אחת

להציג את התשובה והפתרון

קודם נבחרת קופסה, ורק ממנה מוציאים כדורים.

הוצאת כדור מתוך כל 9 הכדורים יחד

להציג את התשובה והפתרון

הכדורים לא מעורבבים: מוציאים רק מהקופסה שנבחרה.

\begin{aligned}P(A) &= P(\bar{A}) \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הסתברות שווה לשתי הקופסאות

מה ההסתברות לשני שחורים מקופסה א׳?

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$

להציג את התשובה והפתרון

אחרי השחור הראשון נשארו 4 כדורים, ורק אחד מהם שחור.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}$

להציג את התשובה והפתרון

זו הוצאה עם החזרה.

\begin{aligned}P(S \mid A) &= \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{10}\end{aligned}

בלי החזרה

ומקופסה ב׳?

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

נשארו 3 כדורים, ומהם 2 שחורים.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$

להציג את התשובה והפתרון

שוב עם החזרה. הכדור הראשון לא חוזר לקופסה.

\begin{aligned}P(S \mid \bar{A}) &= \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

בלי החזרה

איך מקבלים את $P(S)$ ?

מחברים את שני המסלולים, וכל אחד מוכפל ב- $\frac{1}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

נוסחת ההסתברות השלמה.

מחברים $\frac{1}{10}+\frac{1}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם לכפול בהסתברות לבחור כל קופסה. הסכום $0.6$ גדול מדי.

\begin{aligned}P(S) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{20}+\frac{5}{20} \\ &= \frac{3}{10}\end{aligned}

תשובה לסעיף א

בסעיף ב ידוע ששני הכדורים שחורים. איזו הסתברות מבקשים?

$P(A \mid S)$

להציג את התשובה והפתרון

התנאי הוא מה שידוע: שני שחורים.

$P(S \mid A)$

להציג את התשובה והפתרון

זה הכיוון מהקופסה אל הצבע. כבר חישבנו אותה: $\frac{1}{10}$ .

\begin{aligned}P(A \mid S) &= \frac{\frac{1}{20}}{\frac{3}{10}} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

בייס: המסלול דרך קופסה א׳, חלקי כל המסלולים של «שני שחורים»

להציג את התשובה והפתרון

א. $P(S)=\frac{3}{10}$ . ב. $\frac{1}{6}$ . $\frac{1}{10}$ היא $P(S \mid A)$ , הכיוון ההפוך. $\frac{5}{6}$ היא ההסתברות שנבחרה קופסה ב׳.

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה ההסתברות שנבחרה קופסה א׳, אם ידוע ששני הכדורים לבנים?

להציג את התשובה והפתרון

1. בקופסה ב׳ יש כדור לבן אחד בלבד, ולכן שני לבנים יכולים לבוא רק מקופסה א׳. בייס מאשר: $P(A \cap W)=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{20}$ , וזו גם כל $P(W)$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שלושה משחקי שש-בש ופרמטר

פעילות אינטראקטיבית

דנה ויואב משחקים שלושה משחקי שש-בש, ואין תוצאת תיקו. במשחק הראשון ההסתברות שדנה תנצח היא $\frac{1}{2}$ . אם דנה ניצחה במשחק מסוים, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא $p$ . אם הפסידה, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא $\frac{1}{3}$ . נסמן $W$ — ניצחון של דנה, $L$ — הפסד. א. הביעו באמצעות $p$ את ההסתברות שדנה תנצח בשלושת המשחקים. ב. ההסתברות הזאת היא $\frac{2}{9}$ . מצאו את $p$ . ג. מה ההסתברות שדנה תנצח בדיוק במשחק אחד?

\begin{aligned}P(W_1) &= \frac{1}{2} \\ \quad P(W_{k+1} \mid W_k) &= p \\ \quad P(W_{k+1} \mid L_k) &= \frac{1}{3}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בכל שלב של העץ ההסתברות תלויה במה שקרה במשחק הקודם.

א.

\begin{aligned}P(WWW) &= \frac{1}{2} \cdot p \cdot p \\ &= \frac{p^2}{2}\end{aligned}

מסלול אחד: ניצחון, ואחריו פעמיים «ניצחון אחרי ניצחון».

ב.

\begin{aligned}\frac{p^2}{2} &= \frac{2}{9} \ \Rightarrow \ p^2 \\ &= \frac{4}{9} \ \Rightarrow \ p \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

$p=-\frac{2}{3}$ נפסל: הסתברות אינה שלילית.

ג. מסלולים

WLL ,\quad LWL ,\quad LLW

הניצחון היחיד יכול לבוא בכל אחד משלושת המשחקים.

ג. ענפים

\begin{aligned}P(L \mid W) &= 1-p \\ &= \frac{1}{3} \\ \quad P(L \mid L) &= 1-\frac{1}{3} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

ההסתברויות להפסד, אחרי ניצחון ואחרי הפסד.

ג. חישוב

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{18}+\frac{1}{18}+\frac{2}{18}

כל מסלול לפי הסדר שלו.

ג.

=\frac{5}{18}

שלושת המסלולים זרים, ולכן מחברים.

שלושת המסלולים של סעיף ג אינם שווים: המסלול $LWL$ עובר פעמיים בענף של $\frac{1}{3}$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

מה ההסתברות שדנה תנצח במשחק השני?

להציג את התשובה והפתרון

הסתברות שלמה על המשחק הראשון: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — שתי שקיות: מוצאים את ההרכב

פעילות אינטראקטיבית

בשקית א׳ 10 מטפחות: $n$ אדומות, והשאר כחולות. בשקית ב׳ 8 מטפחות: 6 אדומות ו-2 כחולות. מוציאים באקראי מטפחת אחת מכל שקית. ההסתברות ששתי המטפחות באותו צבע היא $0.55$ . נסמן $E$ — שתי המטפחות באותו צבע. א. מצאו את $n$ . ב. ידוע ששתי המטפחות באותו צבע. מה ההסתברות ששתיהן אדומות?

\begin{aligned}P(E) &= 0.55 \\ \quad n &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנעלם הוא מספר, אבל המשוואה בנויה מהסתברויות של מסלולים.

מסלולים

\frac{n}{10} \cdot \frac{6}{8}+\frac{10-n}{10} \cdot \frac{2}{8}

באותו צבע: אדומה ואדומה, או כחולה וכחולה. השקיות בלתי תלויות, ולכן כופלים.

משוואה

\begin{aligned}\frac{6n+20-2n}{80} &= 0.55 \ \Rightarrow \ 4n+20 \\ &= 44\end{aligned}

מכנה משותף 80.

א.

n=6

6 אדומות ו-4 כחולות בשקית א׳. בדיקה: $\frac{36+8}{80}=0.55$ ✓

ב.

\begin{aligned}P(RR) &= \frac{6}{10} \cdot \frac{6}{8} \\ &= \frac{36}{80} \\ &= 0.45\end{aligned}

המסלול אדומה-אדומה.

ב.

\begin{aligned}P(RR \mid E) &= \frac{0.45}{0.55} \\ &= \frac{9}{11}\end{aligned}

$RR$ מוכל ב- $E$ , ולכן $P(RR \cap E)=P(RR)$ .

בסעיף ב המכנה הוא $0.55$ , ולא 1: ידוע שהמטפחות באותו צבע.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה ההסתברות שהמטפחת משקית א׳ אדומה, אם ידוע שהמטפחות בצבעים שונים?

להציג את התשובה והפתרון

$P(\bar{E})=1-0.55=0.45=\frac{36}{80}$ . המסלול אדומה מא׳ וכחולה מב׳: $\frac{6}{10} \cdot \frac{2}{8}=\frac{12}{80}$ . לכן $\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — מתי המאורעות בלתי תלויים?

פעילות אינטראקטיבית

כלבים ובתים פרטיים

ביישוב 400 משפחות, ו-160 מהן מחזיקות כלב. 250 משפחות גרות בבית פרטי, ו- $x$ מהן מחזיקות כלב. נסמן $D$ — מחזיקה כלב, $H$ — גרה בבית פרטי. מצאו את $x$ שבעבורו $D$ ו- $H$ בלתי תלויים.

$x=100$

$x=160$

$x=125$

$x=40$

איזה מבחן הכי נוח כאן?

$P(D \mid H)=P(D)$

להציג את התשובה והפתרון

את $P(D)$ יודעים, ו- $P(D \mid H)=\frac{x}{250}$ . משוואה אחת פשוטה.

$P(D \cap H)=P(D)+P(H)$

להציג את התשובה והפתרון

זה אינו אחד המבחנים. המבחן השני הוא מכפלה, לא סכום.

\begin{aligned}P(D) &= \frac{160}{400} \\ &= 0.4\end{aligned}

ההסתברות בלי תנאי

מה המשוואה?

$\frac{x}{250}=0.4$

להציג את התשובה והפתרון

בהינתן $H$ מחלקים במספר המשפחות שגרות בבית פרטי.

$\frac{x}{400}=0.4$

להציג את התשובה והפתרון

בהינתן $H$ המכנה הוא 250, לא כל היישוב.

\begin{aligned}\frac{x}{250} &= 0.4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 100\end{aligned}

100 משפחות בבית פרטי מחזיקות כלב

איך בודקים במבחן אחר?

$P(D \mid \bar{H})=\frac{60}{150}$

להציג את התשובה והפתרון

שאר הכלבים: $160-100=60$ , מתוך $400-250=150$ משפחות.

$P(D \mid \bar{H})=\frac{60}{400}$

להציג את התשובה והפתרון

המכנה הוא המשפחות שאינן גרות בבית פרטי: 150.

\begin{aligned}P(D \mid \bar{H}) &= \frac{60}{150} \\ &= 0.4 \\ &= P(D \mid H)\end{aligned}

המבחן השלישי מתקיים ✓

והמבחן השני?

$\frac{100}{400}=0.4 \cdot 0.625$

להציג את התשובה והפתרון

$P(H)=\frac{250}{400}=0.625$ .

$\frac{100}{400}=0.4 \cdot 0.4$

להציג את התשובה והפתרון

$P(H)$ אינה $0.4$ , ו- $0.4 \cdot 0.4=0.16 \neq 0.25$ .

\begin{aligned}P(D \cap H) &= 0.25 \\ &= 0.4 \cdot 0.625\end{aligned}

גם הוא מתקיים, כמו שההוכחה מבטיחה

להציג את התשובה והפתרון

$x=100$ . $x=160$ בא מחלוקה ב-400 במקום ב-250, והוא שם את כל הכלבים בבתים פרטיים. $x=125$ הוא חצי מהבתים הפרטיים, בלי קשר ל- $P(D)$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

אילו היה $x=120$ : מה היה $P(D \mid \bar{H})$ , ומה זה אומר?

להציג את התשובה והפתרון

$P(D \mid \bar{H})=\frac{40}{150}=\frac{4}{15}$ , ו- $P(D \mid H)=\frac{120}{250}=0.48$ . השתיים שונות, ולכן המאורעות תלויים: בבתים פרטיים מחזיקים כלב יותר.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

בבית ספר 400 תלמידים. 25% מהם לומדים במגמת אמנות. מבין הלומדים במגמת אמנות 80% בנות, ומבין שאר התלמידים 40% בנות. בוחרים תלמיד באקראי.

ההסתברות שנבחרה בת: ____ ; ההסתברות שהתלמיד לומד במגמת אמנות, אם ידוע שנבחר בן: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ההסתברות שנבחרה בת: 0.5 ; ההסתברות שהתלמיד לומד במגמת אמנות, אם ידוע שנבחר בן: 0.1

הפתרון:

\begin{aligned}0.25 \cdot 400 &= 100 \\ \quad 400-100 &= 300\end{aligned}

במגמה ומחוצה לה

\begin{aligned}0.8 \cdot 100 &= 80 \\ \quad 0.4 \cdot 300 &= 120\end{aligned}

בנות בכל עמודה

\frac{80+120}{400}=0.5

שורת הבנות

\begin{aligned}\frac{100-80}{400-200} &= \frac{20}{200} \\ &= 0.1\end{aligned}

בנים במגמה, חלקי כל הבנים

נסמן $G$ — בת, $A$ — מגמת אמנות. בסעיף השני המכנה הוא 200 הבנים. 80% הוא $P(G \mid A)$ ולא $P(A \mid G)$ — אחוז הבנות מתוך המגמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בקופסה א׳ 4 כדורים אדומים וכדור ירוק אחד. בקופסה ב׳ 2 אדומים ו-3 ירוקים. בוחרים קופסה באקראי, בהסתברות שווה, ומוציאים ממנה שני כדורים בלי החזרה. ידוע ששני הכדורים אדומים. מה ההסתברות שנבחרה קופסה א׳? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.857

הפתרון:

\begin{aligned}P(R \mid A) &= \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

שני אדומים מקופסה א׳

\begin{aligned}P(R \mid \bar{A}) &= \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{10}\end{aligned}

שני אדומים מקופסה ב׳

\begin{aligned}P(R) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \\ &= \frac{7}{20}\end{aligned}

הסתברות שלמה

\begin{aligned}P(A \mid R) &= \frac{\frac{3}{10}}{\frac{7}{20}} \\ &= \frac{6}{7} \approx 0.857\end{aligned}

בייס

$0.6$ היא $P(R \mid A)$ , הכיוון ההפוך. בייס מחלק את המסלול של קופסה א׳ בסכום שני המסלולים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

רון משחק שלושה משחקי שש-בש מול המחשב, ואין תיקו. במשחק הראשון ההסתברות שינצח היא $0.6$ . אחרי ניצחון, ההסתברות לנצח במשחק הבא היא $p$ . אחרי הפסד, ההסתברות לנצח במשחק הבא היא $0.4$ . ההסתברות שרון ינצח בשלושת המשחקים היא $0.384$ . השלימו.

$p=$ ____ ; ההסתברות שרון ינצח בדיוק במשחק אחד: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $p=$ 0.8 ; ההסתברות שרון ינצח בדיוק במשחק אחד: 0.2

הפתרון:

\begin{aligned}0.6 \cdot p^2 &= 0.384 \ \Rightarrow \ p^2 \\ &= 0.64 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.8\end{aligned}

מסלול הניצחונות

WLL: \ 0.6 \cdot 0.2 \cdot 0.6=0.072

אחרי ניצחון, הפסד $0.2$ ; אחרי הפסד, הפסד $0.6$

LWL: \ 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.2=0.032

הפסד, ניצחון, הפסד

LLW: \ 0.4 \cdot 0.6 \cdot 0.4=0.096

הפסד, הפסד, ניצחון

0.072+0.032+0.096=0.2

מחברים

שלושת המסלולים שונים זה מזה. $p=-0.8$ נפסל: הסתברות אינה שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשקית א׳ 5 מטפחות: $n$ צהובות, והשאר ירוקות. בשקית ב׳ 10 מטפחות: 3 צהובות ו-7 ירוקות. מוציאים באקראי מטפחת אחת מכל שקית. ההסתברות ששתי המטפחות בצבעים שונים היא $0.54$ . מצאו את $n$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\frac{n}{5} \cdot \frac{7}{10}+\frac{5-n}{5} \cdot \frac{3}{10}

צהובה מא׳ וירוקה מב׳, או ירוקה מא׳ וצהובה מב׳

\begin{aligned}\frac{7n+15-3n}{50} &= 0.54 \ \Rightarrow \ 4n+15 \\ &= 27\end{aligned}

מכנה משותף 50

n=3

בדיקה: $\frac{21+6}{50}=0.54$ ✓

«צבעים שונים» הם שני מסלולים. מי שכתב רק $\frac{n}{5} \cdot \frac{7}{10}$ קיבל משוואה שאין לה פתרון שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בבית ספר 500 תלמידים, ו-150 מהם משתתפים בחוג מדע. בבית הספר 300 בנות, ו- $x$ מהן משתתפות בחוג. מצאו את $x$ שבעבורו «משתתף בחוג מדע» ו«בת» הם מאורעות בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

\begin{aligned}P(S) &= \frac{150}{500} \\ &= 0.3\end{aligned}

נסמן $S$ — משתתף בחוג, $G$ — בת

\begin{aligned}P(S \mid G) &= \frac{x}{300} \\ &= 0.3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 90\end{aligned}

המבחן הראשון

\begin{aligned}P(S \mid \bar{G}) &= \frac{60}{200} \\ &= 0.3\end{aligned}

בדיקה במבחן השלישי ✓

בהינתן «בת» המכנה הוא 300 הבנות. מי שפתר $\frac{x}{500}=0.3$ קיבל $x=150$ — כל המשתתפים בנות, תלות מלאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — טבלה דו-ממדית מאחוזים

2 — שתי קופסאות: הסתברות שלמה ובייס

3 — שלושה משחקי שש-בש ופרמטר

4 — שתי שקיות: מוצאים את ההרכב

5 — מתי המאורעות בלתי תלויים?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev