תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: תחום הגדרה, נגזרת של שורש, כלל המכפלה, משיק, נקודות קיצון, משוואה עם שורש ופרמטרים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=12−3xf(x)=\sqrt{12-3x}?

  1. x<4x<4
  2. x≥4x \geq 4
  3. x≤4x \leq 4
  4. x≥−4x \geq -4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x≤4x \leq 4

הפתרון:

12−3x≥0 ⇒ x≤412-3x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

מחלקים ב-−3-3 והופכים את הכיוון

הנכונה: x≤4x \leq 4. x≥4x \geq 4 לא הפך את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2+64f(x)=\sqrt{x^2+64}. חשבו את f′(6)f'(6).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

f′(x)=xx2+64f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+64}}

הנגזרת

f′(6)=610f'(6)=\frac{6}{10}

מציבים

0.60.6. 1010 הוא f(6)f(6), הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=2x+1−3f(x)=\sqrt{2x+1}-3. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2x+1=3 ⇒ 2x+1=9 ⇒ x=4\begin{aligned}\sqrt{2x+1} &= 3 \ \Rightarrow \ 2x+1 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מבודדים ומעלים בריבוע

בדיקה: 9−3=0\sqrt{9}-3=0 ✓. מי שכותב 2x+1=32x+1=3 שכח את הריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

נתונה f(x)=2xf(x)=2\sqrt{x}. המשיק לגרף בנקודה שבה x=4x=4 חותך את ציר ה-yy. מצאו את שיעור ה-yy של נקודת החיתוך.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f(4)=4f′(x)=1x ⇒ f′(4)=12\begin{aligned}f(4) &= 4 \\ \quad f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x}} \ \Rightarrow \ f'(4) \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y−4=12(x−4) ⇒ y=12x+2\begin{aligned}y-4 &= \frac{1}{2}(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x+2\end{aligned}

המשיק

22. f(0)=0f(0)=0 הוא חיתוך של הגרף, לא של המשיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=10x−xf(x)=10\sqrt{x}-x. מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 25 , y=y= 25

הפתרון:

f′(x)=5x−1=0 ⇒ x=25\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5}{\sqrt{x}}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 25\end{aligned}

חשודה

f(25)=50−25=25\begin{aligned}f(25) &= 50-25 \\ &= 25\end{aligned}

הגובה

f′(1)=4>0  f′(100)=−12<0\begin{aligned}f'(1) &= 4>0 \\ \ \ f'(100) &= -\tfrac{1}{2}<0\end{aligned}

מקסימום

מקסימום (25, 25)(25,\,25). הקצה (0,0)(0,0) הוא מינימום מקומי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: תחום ההגדרה של f(x)=x2−6x+9f(x)=\sqrt{x^2-6x+9} הוא כל xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x2−6x+9=(x−3)2≥0x^2-6x+9=(x-3)^2 \geq 0

ריבוע של ביטוי

הטענה נכונה. הביטוי מתאפס ב-x=3x=3, אבל אף פעם לא שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גזרו: f(x)=xx+2f(x)=x\sqrt{x+2}

  1. x+2+12x+2\sqrt{x+2}+\frac{1}{2\sqrt{x+2}}
  2. x+2+x2x+2\sqrt{x+2}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}
  3. x2x+2\frac{x}{2\sqrt{x+2}}
  4. 12x+2\frac{1}{2\sqrt{x+2}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x+2+x2x+2\sqrt{x+2}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}

הפתרון:

f′(x)=1⋅x+2+x⋅12x+2f'(x)=1 \cdot \sqrt{x+2}+x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}

כלל המכפלה

הנכונה היא הראשונה. בשלישית חסר ה-xx שכופל את נגזרת השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נתונה f(x)=5x2+144−3xf(x)=5\sqrt{x^2+144}-3x. באיזה xx המשיק לגרף מקביל לציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

5x=3x2+144 ⇒ 16x2=1296 ⇒ x=±9\begin{aligned}5x &= 3\sqrt{x^2+144} \ \Rightarrow \ 16x^2 \\ &= 1296 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 9\end{aligned}

מבודדים ומעלים בריבוע

x=9: 45=3⋅15 ✓x=−9: −45≠45\begin{aligned}x &= 9: \ 45 \\ &= 3 \cdot 15 \ \checkmark \qquad x \\ &= -9: \ -45 \neq 45\end{aligned}

בדיקה

רק x=9x=9. x=−9x=-9 פותר את המשוואה שבריבוע, לא את f′(x)=0f'(x)=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=ax−xf(x)=a\sqrt{x}-x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=36x=36. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

f′(x)=a2x−1f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{x}}-1

גוזרים

f′(36)=a12−1=0 ⇒ a=12\begin{aligned}f'(36) &= \frac{a}{12}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

משווים לאפס

מי ששוכח את ה-22 שבמכנה מקבל a=6a=6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=ax+bf(x)=\sqrt{ax+b}, ו-aa, bb פרמטרים. ידוע ש-f(0)=4f(0)=4, ושיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=0x=0 הוא 14\frac{1}{4}. מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= 2 , b=b= 16

הפתרון:

b=4 ⇒ b=16\begin{aligned}\sqrt{b} &= 4 \ \Rightarrow \ b \\ &= 16\end{aligned}

תנאי על ff

f′(0)=a216=a8=14 ⇒ a=2\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{2\sqrt{16}} \\ &= \frac{a}{8} \\ &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

תנאי על f′f'

f(x)=2x+16f(x)=\sqrt{2x+16}. תנאי על גובה הולך ל-ff, תנאי על שיפוע הולך ל-f′f'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת