סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים כמו בשאלון: חקירה של מכפלה עם קיצון בקצה ומספר פתרונות, פרמטר ומשוואה עם שורש שמסננת פתרון, וחקירה של מנה. סעיפים של אותה שאלה חולקים את אותו פתיח.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: תחום, נגזרת מלאה, נקודות חשודות כולל קצוות, סימנים משני הצדדים, וגבהים מ-ff.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

תחום: x≤x \leq ____ ; חיתוך עם ציר xx: x=x= ____ (הקטן) ו-x=x= ____ (הגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום: x≤x \leq 10 ; חיתוך עם ציר xx: x=x= -2 (הקטן) ו-x=x= 10 (הגדול)

הפתרון:

10−x≥0 ⇒ x≤1010-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 10

תחום

(x+2)10−x=0 ⇒ x=−2 x=10\begin{aligned}(x+2)\sqrt{10-x} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= 10\end{aligned}

מכפלה מתאפסת כשגורם מתאפס

x=10x=10 הוא גם קצה התחום וגם חיתוך עם הציר. הוא יחזור בסעיף ג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ב. מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 6 , y=y= 16

הפתרון:

f′(x)=10−x−x+2210−x=18−3x210−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{10-x}-\frac{x+2}{2\sqrt{10-x}} \\ &= \frac{18-3x}{2\sqrt{10-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=6 ;  x<6: f′>0  6<x<10: f′<0\begin{aligned}x &= 6 \ ;\ \ x<6: \ f'>0 \\ \ \ 6<x<10: \ f'<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-

f(6)=8⋅2=16\begin{aligned}f(6) &= 8 \cdot 2 \\ &= 16\end{aligned}

הגובה

מקסימום (6, 16)(6,\,16). בנגזרת של 10−x\sqrt{10-x} יש מינוס מנגזרת הפנימית, ומי ששוכח אותו מקבל 22−x210−x\frac{22-x}{2\sqrt{10-x}}, שמתאפס רק ב-x=22x=22, מחוץ לתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ג. מה סוג הנקודה (10, 0)(10,\,0)?

  1. מינימום מקומי בקצה התחום
  2. מינימום מוחלט
  3. אינה נקודת קיצון, כי f′(10)f'(10) לא מוגדרת
  4. מקסימום בקצה התחום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מינימום מקומי בקצה התחום

הפתרון:

6<x<10: f′<06<x<10: \ f'<0

הפונקציה מגיעה לקצה בירידה

f(−3)=−1⋅13<0f(-3)=-1 \cdot \sqrt{13}<0

יש ערכים קטנים מ-00

הנכונה: מינימום מקומי בקצה. הוא לא מוחלט: משמאל ל-−2-2 הפונקציה שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

y = (x + 2)√(10 − x)
y = 10(−2,0)(6,16)(10,0)-4-3-2-101234567891011-10-8-6-4-224681012141618xy

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ד. היעזרו בסקיצה שבשרטוט. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=10f(x)=10?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f(6)=16>10f(6)=16>10

המקסימום מעל הקו y=10y=10

x<6: ↗ עד 16x<6: \ \nearrow \ \text{עד} \ 16

פתרון אחד בעלייה

6<x≤10: 16↘06<x \leq 10: \ 16 \searrow 0

ופתרון אחד בירידה

שני פתרונות. הקו y=10y=10 חותך את הגרף פעם בעלייה ופעם בירידה. מי שעונה 11 שכח את החלק שאחרי המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+64−3xf(x)=a\sqrt{x^2+64}-3x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=6x=6. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

f′(x)=axx2+64−3f'(x)=\frac{ax}{\sqrt{x^2+64}}-3

גוזרים עם הפרמטר

f′(6)=6a10−3=0 ⇒ a=5\begin{aligned}f'(6) &= \frac{6a}{10}-3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 5\end{aligned}

קיצון פנימי: הנגזרת מתאפסת

a=5a=5. התנאי הוא על f′f'. מי שמציב ב-ff אין לו משוואה בכלל: לא נתון הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+64−3xf(x)=a\sqrt{x^2+64}-3x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=6x=6. ב. הציבו a=5a=5. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 6 , y=y= 32

הפתרון:

f(6)=5⋅10−18=32\begin{aligned}f(6) &= 5 \cdot 10-18 \\ &= 32\end{aligned}

הגובה

f′(0)=−3<0f′(15)=7517−3>0\begin{aligned}f'(0) &= -3<0 \qquad f'(15) \\ &= \frac{75}{17}-3>0\end{aligned}

ממינוס לפלוס

מינימום (6, 32)(6,\,32): הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס. f′(15)=7517−3=2417≈1.4f'(15)=\frac{75}{17}-3=\frac{24}{17} \approx 1.4, ולכן אחרי x=6x=6 הנגזרת חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+64−3xf(x)=a\sqrt{x^2+64}-3x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=6x=6. ג. הציבו a=5a=5. הוכיחו או הפריכו: גם x=−6x=-6 היא נקודת קיצון של הפונקציה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

5x=3x2+64 ⇒ 16x2=576 ⇒ x=±6\begin{aligned}5x &= 3\sqrt{x^2+64} \ \Rightarrow \ 16x^2 \\ &= 576 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 6\end{aligned}

המשוואה שבריבוע

x=−6: −30≠30x=-6: \ -30 \neq 30

בדיקה: נפסל

f′(−6)=−3−3=−6≠0\begin{aligned}f'(-6) &= -3-3 \\ &= -6 \neq 0\end{aligned}

והנגזרת לא מתאפסת שם

הטענה לא נכונה. x=−6x=-6 פותר רק את המשוואה שבריבוע. יש לפונקציה נקודת קיצון אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=x+25xf(x)=\frac{x+25}{\sqrt{x}}. א. מהו תחום ההגדרה?

  1. x>0x>0
  2. x≠0x \neq 0
  3. כל xx
  4. x≥0x \geq 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x>0x>0

הפתרון:

x≥0x \geq 0

שורש

x≠0 ⇒ x≠0\sqrt{x} \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 0

במכנה

הנכונה: x>0x>0. x≥0x \geq 0 שוכח שהשורש במכנה. x≠0x \neq 0 שוכח שמתחת לשורש אסור שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה f(x)=x+25xf(x)=\frac{x+25}{\sqrt{x}}. ב. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 25 , y=y= 10

הפתרון:

f′(x)=x−x+252xx=x−252xx\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x}-\frac{x+25}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \frac{x-25}{2x\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל המנה ומכנה משותף

x=25f(25)=505=10\begin{aligned}x &= 25 \\ \quad f(25) &= \frac{50}{5} \\ &= 10\end{aligned}

חשודה וגובה

f′(1)<0,  f′(36)>0f'(1)<0 ,\ \ f'(36)>0

מינימום

מינימום (25, 10)(25,\,10). המכנה 2xx2x\sqrt{x} חיובי בתחום, והסימן הוא של x−25x-25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה f(x)=x+25xf(x)=\frac{x+25}{\sqrt{x}}. ג. באיזה תחום הפונקציה יורדת?

  1. 0<x<250<x<25
  2. x>25x>25
  3. x>0x>0
  4. x<25x<25
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0<x<250<x<25

הפתרון:

0<x<25: x−25<0 ⇒ f′<00<x<25: \ x-25<0 \ \Rightarrow \ f'<0

יורדת

הנכונה: 0<x<250<x<25. «x<25x<25» כולל מספרים שליליים, שאינם בתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת