סדרה 4 — מתקדם · פונקציית השורש — נגזרת וחקירה · כיתה י׳

עשר שאלות מתקדמות: משוואה עם שורש שמסננת פתרון, מנה, משיק וצירים, פרמטר ממשיק, קיצון בקצה וקריאת הגרף של $f'$ . כל שאלה משלבת שני רעיונות של הפרק.

שאלו בכל שאלה: מה ידוע לי על $f$ (גובה) ומה על $f'$ (שיפוע)? ובכל פתרון שיצא מהעלאה בריבוע, בדיקה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=2\sqrt{x^2+12}-x$ . מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{\sqrt{x^2+12}}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= \sqrt{x^2+12}\end{aligned}

מבודדים

\begin{aligned}4x^2 &= x^2+12 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

בריבוע

\begin{aligned}x &= 2: \ 4 \\ &= 4 \ \checkmark \qquad x \\ &= -2: \ -4 \neq 4\end{aligned}

בדיקה

\begin{aligned}f(2) &= 8-2 \\ &= 6\end{aligned}

ממינוס לפלוס: מינימום

$6$ , ב- $x=2$ . מי שלא פסל את $x=-2$ היה מחשב גם $f(-2)=10$ ומתבלבל בין השניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=\frac{x+16}{\sqrt{x}}$ . מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 16 , $y=$ 8

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x}-\frac{x+16}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \frac{x-16}{2x\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל המנה ומכנה משותף

\begin{aligned}x &= 16 \\ \quad f(16) &= \frac{32}{4} \\ &= 8\end{aligned}

חשודה וגובה

f'(4)<0 ,\ \ f'(25)>0

מינימום

מינימום $(16,\,8)$ . מי שהופך את הסדר במונה מקבל $\frac{16-x}{2x\sqrt{x}}$ , ואז מסמן בטעות מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+16}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=3$ חותך את ציר ה- $y$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.2

הפתרון:

\begin{aligned}f(3) &= 5 \\ \quad f'(3) &= \frac{3}{5}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}y-5 &= \frac{3}{5}(x-3) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{5}x+\frac{16}{5}\end{aligned}

המשיק

$\frac{16}{5}=3.2$ . $f(0)=4$ הוא החיתוך של הגרף, והמשיק עובר מתחתיו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2-4x+8}$ . מהי נקודת המינימום של הפונקציה?

$(0,\,2\sqrt{2})$
$(2,\,4)$
אין לפונקציה מינימום
$(2,\,2)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $(2,\,2)$

הפתרון:

f'(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+8}}

הנגזרת

\begin{aligned}x &= 2 \ ;\ \ f(2) \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

חשודה וגובה

הנכונה: $(2,\,2)$ . « $(2,\,4)$ » שכח לקחת שורש: $x^2-4x+8=4$ , אבל $f(2)=\sqrt{4}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=\sqrt{x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ עובר בנקודה $(-7,\,0)$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= \sqrt{1+a} \\ &= s \\ \quad f'(1) &= \frac{1}{2s}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}0-s &= \frac{1}{2s}(-7-1) \ \Rightarrow \ s^2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים את $(-7,0)$ במשוואת המשיק

\begin{aligned}1+a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

$s^2=1+a$

$a=3$ : $f=\sqrt{x+3}$ , והמשיק $y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{4}$ מתאפס ב- $x=-7$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: ל- $f(x)=\sqrt{x-4}$ אין נקודות קיצון, כי $f'(x)$ אף פעם לא מתאפסת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x \geq 4 \\ \quad f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x-4}}>0\end{aligned}

עולה בכל פנים התחום

\min (4,\,0) \ \text{קצה}

מהקצה הפונקציה עולה

הטענה לא נכונה. יש מינימום בקצה התחום, $(4,\,0)$ . נקודות חשודות הן גם קצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x)=x\sqrt{x+27}$ . מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -54

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+27)+x}{2\sqrt{x+27}} \\ &= \frac{3x+54}{2\sqrt{x+27}}\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}x &= -18 \ ;\ \ f'<0 \ \text{לפני} \\ \ f'>0 \ \text{אחרי}\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}f(-18) &= -18 \cdot 3 \\ &= -54\end{aligned}

הגובה

מינימום מוחלט $-54$ . הקצה $(-27,\,0)$ הוא מקסימום מקומי בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגרף של f′

בשרטוט הגרף של הנגזרת $f'$ של הפונקציה $f(x)=8\sqrt{x}-2x$ , בתחום $x>0$ . בנקודה שבה הגרף של $f'$ חותך את ציר ה- $x$ , לפונקציה $f$ יש נקודת קיצון. מהו שיעור ה- $y$ שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4}{\sqrt{x}}-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

קוראים מהשרטוט, ובודקים

\begin{aligned}f(4) &= 16-8 \\ &= 8\end{aligned}

הגובה מ- $f$ , לא מ- $f'$

$8$ . מהשרטוט רואים רק ש- $x=4$ . הגובה $f'(4)=0$ הוא של הנגזרת; את הגובה של $f$ מקבלים רק מהצבה ב- $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פותרים את המשוואה $\sqrt{2x+7}=x+2$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2x+7=x^2+4x+4

x^2+2x-3=0

(x+3)(x-1)=0

\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= -3\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=1 ,\ x=-3$ → $x=1 \qquad (x=-3: \ \sqrt{1} \neq -1)$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 1: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 1+2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \\ \ -3+2 &= -1\end{aligned}

נפסל

השורה האחרונה לא בדקה. אגף ימין $x+2$ חייב להיות אי-שלילי, כי הוא שווה לשורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x)=\sqrt{6-2x}+x$ . מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

x \leq 3

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-1}{\sqrt{6-2x}}+1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{6-2x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2.5\end{aligned}

חשודה

\begin{aligned}f(2.5) &= 1+2.5 \\ &= 3.5 \\ \quad f(3) &= 3\end{aligned}

מקסימום, והקצה נמוך ממנו

$3.5$ . הקצה $x=3$ נותן $3$ : הוא מינימום מקומי, לא הערך הגדול ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev