סדרה 3 — מאתגר · פונקציית השורש — נגזרת וחקירה · כיתה י׳

עשר שאלות מאתגרות: תחום של סכום, מנה ומכפלה, נקודות חשודות, משיק וציר ה- $x$ , זיהוי פונקציה לפי הגרף ופרמטר. בכל שאלה שני צעדים לפחות.

לפני שמסמנים נקודה חשודה, בודקים שהיא בתחום. ולפני שכותבים «מקסימום» או «מינימום», בודקים את הסימן של $f'$ משני הצדדים.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x^2+x-6}$ ?

$x \leq -3$ או $x \geq 2$
$-3 \leq x \leq 2$
$x \geq 2$
$x \leq -2$ או $x \geq 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x \leq -3$ או $x \geq 2$

הפתרון:

x^2+x-6=(x+3)(x-2) \geq 0

מפרקים

x \leq -3 \ \text{או} \ x \geq 2

מחוץ לשורשים

הנכונה: $x \leq -3$ או $x \geq 2$ . « $x \leq -2$ או $x \geq 3$ » החליף את סימני השורשים: השורשים של $(x+3)(x-2)$ הם $-3$ ו- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x}$ . תחום ההגדרה של $f$ הוא קטע. השלימו.

____ $\leq x \leq$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5 $\leq x \leq$ 3

הפתרון:

x+5 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -5

השורש הראשון

3-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

השורש השני

-5 \leq x \leq 3

שניהם יחד

סכום מוגדר רק כששני המחוברים מוגדרים: לוקחים את החלק המשותף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\frac{x+6}{\sqrt{x+2}}$ . מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x+2}-\frac{x+6}{2\sqrt{x+2}}}{x+2} \\ &= \frac{x-2}{2(x+2)\sqrt{x+2}}\end{aligned}

כלל המנה ומכנה משותף

\begin{aligned}x &= 2 \ ;\ \ x<2: \ f'<0 \\ \ \ x>2: \ f'>0\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}f(2) &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

המכנה חיובי בכל התחום $x>-2$ , ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x-2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=(x+1)\sqrt{x+4}$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ ?

$y=\frac{9}{4}x$
$y=\frac{1}{4}x+2$
$y=\frac{9}{4}x+2$
$y=2x+2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y=\frac{9}{4}x+2$

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= 1 \cdot 2 \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההשקה $(0,\,2)$

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+4}+\frac{x+1}{2\sqrt{x+4}} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= 2+\frac{1}{4}\end{aligned}

כלל המכפלה

y=\frac{9}{4}x+2

ב- $x_0=0$ הגובה הוא המספר החופשי

הנכונה: $y=\frac{9}{4}x+2$ . « $y=2x+2$ » גזר רק את $x+1$ , « $y=\frac{1}{4}x+2$ » גזר רק את השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: הערך הקטן ביותר של $f(x)=x-6\sqrt{x}$ הוא $-9$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{3}{\sqrt{x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

חשודה

0<x<9: \ f'<0 \qquad x>9: \ f'>0

יורדת ואז עולה

\begin{aligned}f(9) &= 9-18 \\ &= -9\end{aligned}

הגובה

הטענה נכונה. מהקצה $(0,0)$ הפונקציה יורדת עד $-9$ ואז עולה בלי סוף: $-9$ הוא המינימום המוחלט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=\sqrt{x+5}$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של הנקודה שבה המשיק לגרף מקביל לישר $y=\frac{1}{4}x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{1}{2\sqrt{x+5}} &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ \sqrt{x+5} \\ &= 2\end{aligned}

אותו שיפוע

\begin{aligned}x+5 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1\end{aligned}

בריבוע; $-1$ בתחום ✓

$x=-1$ שלילי, ובכל זאת בתחום $x \geq -5$ . אין סיבה לפסול אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x)=x\sqrt{9-x}$ , ו- $f'(x)=\frac{18-3x}{2\sqrt{9-x}}$ . מיינו: אילו ערכי $x$ הם נקודות חשודות לקיצון?

נקודה חשודה
לא נקודה חשודה

$x=0$
$x=12$
$x=3$
$x=6$
$x=9$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=6$ — נקודה חשודה · $x=9$ — נקודה חשודה · $x=0$ — לא נקודה חשודה · $x=3$ — לא נקודה חשודה · $x=12$ — לא נקודה חשודה

הפתרון:

\begin{aligned}18-3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

אפס של הנגזרת

x \leq 9

$x=9$ קצה התחום; $x=12$ מחוץ לו

f(0)=0

$x=0$ הוא חיתוך עם ציר ה- $x$ , לא נקודה חשודה

חשודות: אפסי הנגזרת וגם קצוות התחום. אפס של הפונקציה אינו נקודה חשודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2-9}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=5$ חותך את ציר ה- $x$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.8

הפתרון:

\begin{aligned}f(5) &= 4 \\ \quad f'(5) &= \frac{5}{\sqrt{16}} \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}y-4 &= \frac{5}{4}(x-5) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{5}{4}x-\frac{9}{4}\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}0 &= \frac{5}{4}x-\frac{9}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{9}{5}\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$

$x=1.8$ . שימו לב: $1.8$ אינו בתחום של $f$ , אבל המשיק הוא ישר, והוא מוגדר לכל $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גרף של פונקציית שורש

בשרטוט גרף של פונקציית שורש. הגרף מתחיל בנקודה $(4,\,-1)$ , פונה שמאלה, ועובר בנקודות $(3,\,0)$ ו- $(0,\,1)$ . איזו פונקציה מתאימה?

$f(x)=\sqrt{x+4}-1$
$f(x)=\sqrt{4-x}-1$
$f(x)=\sqrt{x-4}-1$
$f(x)=\sqrt{4-x}+1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $f(x)=\sqrt{4-x}-1$

הפתרון:

4-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

פונה שמאלה ומתחיל ב- $x=4$

\begin{aligned}f(4) &= -1 \\ \ f(3) &= 0 \\ \ f(0) &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה בשלוש הנקודות

הנכונה: $\sqrt{4-x}-1$ . $\sqrt{x-4}-1$ פונה ימינה. $\sqrt{4-x}+1$ מתחיל ב- $(4,\,1)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+a}$ , ו- $a$ פרמטר. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=2$ הוא $\frac{1}{2}$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x}{\sqrt{x^2+a}} \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= \frac{2}{\sqrt{4+a}}\end{aligned}

גוזרים

\begin{aligned}\frac{2}{\sqrt{4+a}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \sqrt{4+a} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

משווים ומעלים בריבוע

בדיקה: $f'(2)=\frac{2}{\sqrt{16}}=\frac{1}{2}$ ✓. מי שכותב $4+a=4$ שכח את הריבוע ומקבל $a=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev