סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בדרגה בינונית: תחום של ביטוי ריבועי, כלל המכפלה, משיק, תחומי עלייה, משוואה עם שורש, נקודת קיצון, זוגיות ופרמטר.

אחרי כל העלאה בריבוע: בודקים במשוואה המקורית. ואת שיעור ה-yy של נקודה מחשבים ב-ff, לא ב-f′f'.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−4xf(x)=\sqrt{x^2-4x}?

  1. 0≤x≤40 \leq x \leq 4
  2. x≥0x \geq 0
  3. x≥4x \geq 4
  4. x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4

הפתרון:

x(x−4)≥0x(x-4) \geq 0

מפרקים

x≤0 או x≥4x \leq 0 \ \text{או} \ x \geq 4

פרבולה פתוחה למעלה: מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4. 0≤x≤40 \leq x \leq 4 הוא בדיוק המקום שבו הביטוי שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2+7f(x)=\sqrt{x^2+7}. חשבו את f′(3)f'(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

f′(x)=xx2+7f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+7}}

הנגזרת, אחרי צמצום

f′(3)=316=34\begin{aligned}f'(3) &= \frac{3}{\sqrt{16}} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

מציבים

0.750.75. מי ששוכח את נגזרת הפנימית מקבל 18\frac{1}{8}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=xx+1f(x)=x\sqrt{x+1}. חשבו את f′(3)f'(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.75

הפתרון:

f′(x)=x+1+x2x+1f'(x)=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}

כלל המכפלה

f′(3)=2+34=2.75\begin{aligned}f'(3) &= 2+\frac{3}{4} \\ &= 2.75\end{aligned}

מציבים

שני מחוברים. מי שגוזר רק את השורש מקבל 14\frac{1}{4}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=6x+3f(x)=\sqrt{6x+3}. המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 חותך את ציר ה-yy. מצאו את שיעור ה-yy של נקודת החיתוך.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f(1)=3f′(x)=36x+3 ⇒ f′(1)=1\begin{aligned}f(1) &= 3 \\ \quad f'(x) &= \frac{3}{\sqrt{6x+3}} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 1\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y−3=1⋅(x−1) ⇒ y=x+2\begin{aligned}y-3 &= 1 \cdot (x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= x+2\end{aligned}

המשיק

המשיק חותך ב-22. f(0)=3f(0)=\sqrt{3} הוא החיתוך של הגרף, לא של המשיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x2−2x+5f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}. באיזה תחום הפונקציה עולה?

  1. x<1x<1
  2. x>1x>1
  3. כל xx
  4. x>0x>0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x>1x>1

הפתרון:

f′(x)=x−1x2−2x+5f'(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+5}}

הנגזרת

x>1: f′>0x>1: \ f'>0

המכנה חיובי, והסימן הוא של x−1x-1

הנכונה: x>1x>1. התחום הוא כל xx, כי (x−1)2+4>0(x-1)^2+4>0. ב-x<1x<1 הפונקציה יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=xx+8f(x)=x\sqrt{x+8}
f′(x)=x+8+x2x+8f'(x)=\sqrt{x+8}+\frac{x}{2\sqrt{x+8}}
f′(1)=3+13f'(1)=3+\frac{1}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(1)=3+13f'(1)=3+\frac{1}{3} → f′(1)=3+16f'(1)=3+\frac{1}{6}

הפתרון:

129=16\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}

המחובר השני

הנגזרת נכונה. בהצבה נשכח ה-22 שבמכנה: 2⋅3=62 \cdot 3=6, לא 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: למשוואה x+2=x−4\sqrt{x+2}=x-4 שני פתרונות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x+2=x2−8x+16 ⇒ x2−9x+14=0 ⇒ x=7 x=2\begin{aligned}x+2 &= x^2-8x+16 \ \Rightarrow \ x^2-9x+14 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7 \\ \ x &= 2\end{aligned}

בריבוע

x=2: 4=2≠−2\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

בדיקה: נפסל

הטענה לא נכונה. פתרון אחד, x=7x=7: 9=3=7−4\sqrt{9}=3=7-4 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=8x−xf(x)=8\sqrt{x}-x. מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 16 , y=y= 16

הפתרון:

f′(x)=4x−1=0 ⇒ x=4 ⇒ x=16\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4}{\sqrt{x}}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 16\end{aligned}

חשודה

f(16)=32−16=16\begin{aligned}f(16) &= 32-16 \\ &= 16\end{aligned}

הגובה

f′(4)=1>0  f′(25)=−15<0\begin{aligned}f'(4) &= 1>0 \\ \ \ f'(25) &= -\tfrac{1}{5}<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-

מקסימום (16, 16)(16,\,16). מי ששוכח לצמצם את 82x\frac{8}{2\sqrt{x}} מקבל x=64x=64.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

האם f(x)=25−x2f(x)=\sqrt{25-x^2} זוגית?

  1. גם זוגית וגם אי-זוגית
  2. זוגית
  3. אי-זוגית
  4. לא זוגית ולא אי-זוגית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב זוגית

הפתרון:

−5≤x≤5-5 \leq x \leq 5

תחום סימטרי

f(−x)=25−(−x)2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \sqrt{25-(-x)^2} \\ &= f(x)\end{aligned}

זוגית

הנכונה: זוגית. הגרף סימטרי לציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=ax+1f(x)=\sqrt{ax+1}, ו-aa פרמטר. ידוע ש-f′(0)=2f'(0)=2. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f′(x)=a2ax+1 ⇒ f′(0)=a2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a}{2\sqrt{ax+1}} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= \frac{a}{2}\end{aligned}

גוזרים עם הפרמטר

a2=2 ⇒ a=4\begin{aligned}\frac{a}{2} &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

משווים

aa הוא נגזרת הפנימית, ולכן הוא במונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת